借力數學抽象 提升思維品質

王宏官

數學本質上是研究抽象的東西，主要包括:從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征.

在學習過程中，如何發展自己的數學抽象素養，促思維品質的提升？

策略之一：挖掘定理公式推導過程中蘊含的思想方法，發展抽象思維品質

教材中正弦定理與余弦定理的推導方法中都用到了向量法和解析法，這兩種方法也正是我們解決三角形應用問題中常用的兩種思維角度.

敲黑板

教材中一些定理、性質和公式的推導過程往往隱藏了某一重要的數學思想或方法.我們不能只關注概念、法則和它們的應用，應多一份追求與思考，追根溯源，關注這些概念和法則產生過程、推導方法、滲透的數學思想與方法.

例1已知△ABC 的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6，那么的值為________.

解析1（常規解法）利用余弦定理的推論與數量積的定義即可求解.

解析2（借助余弦定理的推導）注意到中向量與的形式，首尾相接.在△ABC中，平方得,代入解得

教材中有這樣一道習題：

在△ABC中，求 證：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

再看這樣一道泰州聯考題：

在 △ABC中，a=3,b=4,c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為________.

敲黑板

你的教材，多久沒碰啦？仔細閱讀過幾遍？

解題時如果我們想不到應用上題結論，而感到應用正弦、余弦定理無從下手時，應該跳出解三角形范疇，聯想到余弦定理與向量數量積的關系，得

由上可以看出它們的轉化也正是基于余弦定理的推導過程，在具體情境中思考問題的背后是否隱藏了某些規律，抽象出其本質，達到多題歸一、多題一解之效.因此我們要善于從課本中概念、公式、定理的形成過程中發現規律、方法，發展抽象思維品質，提升數學抽象素養.

策略之二:積累從具體到抽象的活動經驗，提升數學抽象的思維品質

教材中有這樣一道例題：

直線y=x-2 與拋物線y2=2x相交于點A,B，求證：OA⊥OB.

面對這樣的問題，我們可以反思：能使OA⊥OB成立的關鍵條件是什么？

可以質疑：“拋物線y2=2x”中的“2”與“直線y=x-2”中的“2”是“巧合”？

嘗試將此系數進行一般化，抽象為一般：

直線y=x-2p與拋物線y2=2px(p＞0) 相交于點A,B，OA⊥OB成立嗎？

發現此命題成立.

繼續反思：直線的斜率只能為“1”嗎？

嘗試將直線方程改為y=x2-2，推理發現OA與OB并不垂直.而將直線y=x-2改為直線y=2(x-2) 后，才會出現OA⊥OB.由此我們可再抽象為一般化的結論：

結論1直線y=k(x-2p) 與拋物線y2=2px(p＞0) 相交于點A,B，有OA⊥OB.

結論2過定點(2p,0)的動直線和拋物線y2=2px(p＞0) 相交于兩點A,B，O為原點，有OA⊥OB.

從上述命題探究過程中，可發現：

結論3若一直線與y2=2px(p＞0) 相交于兩點A,B，O為原點，且OA⊥OB，則直線AB必過定點(2p,0).

由于O點是拋物線上一點，進一步一般化得到：

結論4若M(x0,y0)為y2=2px(p＞0) 上一定點，過點M作拋物線的兩條互相垂直的弦MA,MB，則直線AB必過定點(x0+2p,-y0).

結論5M(x0,y0)為y2=2px(p＞0) 上一定點，過點(x0+2p,-y0)的動直線與拋物線交于兩點A,B，則MA⊥MB.

至此，“直線、拋物線、頂點”這三個條件都已經進行了一般化（抽象）推廣.

如果再將“兩條互相垂直的弦”一般化為：兩條弦斜率之積為定值.進一步可得到：

結論6M(x0,y0)為y2=2px(p＞0) 上一定點，AB為拋物線的動弦，若kMA kMB=λ，則直線AB過定點

還可以進一步抽象，將曲線改為圓、橢圓、雙曲線后，看看會得到什么樣的結論.

策略之三：熟悉常用的數學抽象方式，促成一般性思考問題的習慣

1.由特殊到一般的抽象方式

先看下面的問題：

例2 (2018·北京卷)設n為正整數，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈ {0,1},k=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，記M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)].當n=3時，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)……

分析當n=3 時，集合A={α|α=(t1,t2,t3),t1,t2,t3∈ {0,1}},α=（1，1，0）,β=（0,1,1），

所以，M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2，

M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.

通過對特殊情形“n=3”的探尋，我們可以進一步感知M(α,)β蘊含的信息，明確要研究M(α,)β的取值勢必要去掉絕對值的符號，自然需要討論xn和yn的大小關系，會尋找到解決問題的入口.

2.由整體到局部進行抽象方式

例3已知t為常數，函數y=|x2-2x-t|在區間[0,3]上的最大值為2，則t=______.

解析1（常規解法）通過二次函數的對稱軸和區間的關系，結合圖象進行分類討論.

解析2（換元法）將y=|x2-2x-t|中的x2-2x換元為u，那么原函數就轉化為y=|u-t|.先分析內層函數u=x2-2x.由x∈[0,3]，得u∈[-1,3].

問題就等價轉化為：函數y=|u-t|在u∈[-1,3] 上的最大值為2，t=______.

借助絕對值的幾何意義，從而轉化為：u是區間[-13，]上的任意一點，且u與數軸上一點t的距離的最大值為2，求t的位置.很容易得到t=1.

數學抽象是學習數學的核心和靈魂，直接影響數學方法與思想的形成與構建.我們平時研究數學問題要學會由表及里，由淺入深，善于總結思辨，透過現象抓住本質，抽象歸納出解決問題的方法和思想，這樣才能構建出完整的數學結構體系，提升自己自己的思維能力.