看八省聯考卷 解鎖導數壓軸

曹鳳山

函數與導數問題往往因為難度太大而讓人吐槽，又因為解法靈活背景深刻而魅力十足，更由于價值高而讓人既愛又恨難以割舍.這類問題高考將會如何考，如何備考、求解是大家比較關心的問題之一.

八省聯考，相信各位同學都“親自”參與.這次超大規模的聯考，你發揮得怎樣呢？壓軸題拿了多少分？

新題速遞（2021·八省聯考卷）已知函數f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當x＞-時，f(x)≥0；

（2）若g(x)≥2+ax，求a.

分析對于（1），有些同學“習慣性動作”直接求導：f′(x)=ex-cosx+sinx，發現f′(x)=0 沒有辦法求出零點，也不能判定導函數的符號，要求出函數f(x)的最小值簡直天方夜譚.宣布這是一道難題，與自己無緣！

實際上，觀察函數f(x)=ex-sinx-cosx的結構，含有指數函數ex，三角函數sinx，cosx（而且熟悉sinx+cosx=根據這兩個函數的性質，①x≥時，即x≥時f(x)≥0一定成立，只要證明在上f(x)≥0.

看到這些函數能想到什么？

指數函數ex單調遞增，特值點（0，1），正弦、余弦函數的有界性、周期性.

（當然，這里的范圍大一些也沒有關系，如x≥1 時ex≥e＞2≥sinx+cosx，f(x)≥0更明顯成立，也不用再合一變形）

不能全部解決也不放棄局部解決！

雖然研究范圍壓縮了，求最值的思路還是同樣不能實現.

再審讀問題，本題是證明！不是求最小值問題.從證明視角出發，可以對待證明的形式ex-sinx-cosx≥0加以分析.聯想解題經驗，為了求導后不再含有指數函數ex，可以適當變形.

敲黑板

前面不能求零點的根本原因在于含有指數函數ex.

令p(x)=，，由p′(x)==0得到x=0，即函數p(x)在上單調遞增，在上單調遞減，所以p(x)≤p(0)=1.

抽絲剝繭，分而治之，步步為營終得解.

綜合①②③，有f(x)≥0.

（2）若g(x)≥2+ax，即h(x)=ex+sinx+cosx-2-ax≥0，由于h′(x)=ex-sinx+cosx-a含有參數，更難以確定零點、單調性等.

不少同學喜歡分離參數，嘗試一下肯定無功而返，游走于“解題套路”很難解決這些不按模式命制的試題.

注意觀察函數特點，有h(0)=0，又函數h(x)的圖象是連續曲線，h(x)≥0，

所以x=0 應該是函數h(x)的極小值點.

由h′(x)=ex+cosx-sinx-a，得h′ (0)=2-a=0，所以a=2.

下面再證明充分性.

當a=2 時，h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，h′(x)=ex+cosx-sinx-2，

觀察導函數的特征，與函數f(x)極其類似，再求導，h′′(x)=ex-cosx-sinx.

又因為h′(0)=0，所以函數h(x)在上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，故當x＞-時，h(x)≥h(0)=0.

而當x≤-時，所以h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x≥0成立.

得證.

從以上求解過程分析我們可以發現，對于函數與導數解答題：

1.試題以核心知識為主線，基礎知識必須掌握牢固.

壓軸題突出函數的主線，重點知識重點考，如本題中要充分利用指數函數ex，三角函數sinx，cosx的性質，極小值的概念，導數與函數性質的關系等.基礎不牢地動山搖，備考與解題過程中要時時注意“回歸數學原點”.

2.函數與導數問題具有綜合性.

既有知識、技能的綜合考查，如本題綜合考查指數函數、三角函數的圖象與性質、導數有關知識等，更注意數學思想方法的考查，如轉化與化歸思想、函數思想、數形結合思想等，對運算及邏輯推理要求也較高.

3.函數與導數問題核心在于研究、利用函數性質.

函數是中學數學的一條主線，函數思想是第一位的，導數只是研究函數性質的工具，不能濫用求導，不能喧賓奪主.試題求解的靈活性在于，研究的函數對象不一定是直接給定的形式，要根據課本學習過的函數模型、依據解題基本經驗，通過模式識別等合理選擇函數形式，或者采取移項、乘、除、乘方、開方等手段改變研究對象的形式.

4.認識導數工具的優勢與特點.

導數是研究函數性質的工具，但是也要認識到這一工具的優勢：可以研究較為復雜的函數，可以研究函數的局部性質（直白點就是處理一些特殊點（附近）的性質），這類問題一般會有一些比較特殊的位置，要格外認真觀察，充分利用，如本題中的x=0，在2020 全國高考試卷中，山東卷、全國一卷最后一題都是同樣的特點.

5.從題型結構出發解題.

這類解答題不少是“階梯性問題”，即第一步是后續解題的臺階，利用前面的結果就可以拾階而上，而不是每一小問都重起爐灶，如本題在解決（2）的過程中要充分利用（1）的結果.

同時，對于壓軸問題求解，不能期望一蹴而就，還要有信心、有毅力、有耐心.要注意考試策略的靈活運用，考場最實惠的策略是多拿分，對于壓軸題可以缺步解答、跳步解答、部分解答等等，如本題（1）通過函數性質分析已經可以解決大部分問題，在（1）的結論基礎上，（2）也可以解決一部分等等.