基于線性觀測器和狀態反饋的多率輸出采樣控制

孫 娜

(山西工商學院 計算機信息工程學院，山西 太原 030006)

隨著數字化測量技術與智能儀器的快速發展，采樣控制系統[1～3]已經受到很大的重視。采樣系統是一個混雜系統，它是由一個連續時間的被控對象和一個離散時間控制器組成。采樣控制指對所需要的物理信號進行采樣，得到的采樣信息經過計算機進行處理進而產生控制。在狀態反饋控制[4～6]中，最優控制、系統的鎮定性都需要狀態變量的有效信息，但在實際工業應用中，由于多率采樣[7]方案的引入，使得控制器使用的量測信息在同一時刻可能不能全部獲得，因而基于狀態信息的狀態反饋控制也難以實現。已有一些文獻通過對狀態變量的信息進行估計進而設計相應的控制器來保證系統穩定。文獻[8～10]提出通過利用已有的輸入、輸出狀態信息來重構一個動態系統(觀測器)去預估系統狀態的不可測信息，但這些觀測器函數的構造在維數上都有不同要求。本文首先通過利用多率采樣信息構造系統狀態的線性函數，這樣避免重建整個狀態向量信息。其次，證明利用預定義函數進行狀態反饋時閉環系統的穩定性。特別地，在這一部分，也提出所設計的預定義狀態反饋控制器也適合于不可觀測系統。最后，通過數值仿真案例證明所提方法的有效性。

1 問題描述與建模

考慮一個連續時間線性時不變系統，其狀態空間方程表示如下：

其中，x(t)∈n，u(t)∈m和y(t)∈r分別為系統(1)的狀態變量、控制輸入和被控輸出；A,B,C分別是維數為n×n,n×m,r×n的定常矩陣且(A,B)是可控的、(A,C)是可觀測的。

本文假定系統(1)所有的狀態變量即系統量測輸出的采樣周期為T.則上述的連續時間狀態方程離散為下列離散時間LTI模型：

當輸入向量以周期T進行采樣，量測輸出向量在t=lT0進行采樣，系統表示如下：

(4)

其中l=0,1,2,…，N-1.當t=kT時，xk=x(kT),uk=u(kT),C0、D0以及輸出向量yk+1定義如下：

(5)

文獻[10]中指出，當N≥υ時，可以定義如下的狀態反饋控制器：

(6)

在本文中，可以證明N≥υ時不是一個必要條件。

考慮離散時間LTI模型：

其中(AT,BT)是可控的,(AT,C)是可觀測的。

可以采取以下形式的控制器：

u(kT)=Fx(kT)

(7)

(7)中F是適當維數的常矩陣，通過利用多率采樣信息來實現(7)的控制。

將xk+1=ATxk+BTuk代入(7)中得：

Fxk+1=F(ATxk+BTuk)=FATxk+FBTuk

等價的有：

Fxk=FATxk-1+FBTuk-1

(8)

由yk+1=C0xk+D0uk得：C0xk=yk+1-D0uk等價的有：

C0xk-1=yk-D0uk-1

(9)

如果FATxk-1和C0xk-1是已知的，通過yk和uk-1的信息可以得到Fxk.為了實現這個目的，應該求解FAT=PC0.

如果FAT=PC0有解，可以寫成如下形式：

(10)

其中q是一個正整數且取決于所給定的線性函數。令μ是滿足條件(10)的所有q的最小值，用μ表示可控性維數。由于有很多q是滿足條件(10)，依據不同實際情況選取合適的q值。利用(8)和(9)，所需要的狀態反饋函數Fxk可以定義如下：

Fxk=Pyk+(FBT-PD0)uk-1

(11)

具體推導如下：

將FAT=PC0代入(8)式得：Fxk=PC0xk-1+FBTuk-1，將C0xk-1=yk-D0uk-1代入

Fxk=PC0xk-1+FBTuk-1得：Fxk=P(yk-D0uk-1)+FBTuk-1，整理得：

Fxk=Pyk+(FBT-PD0)uk-1

P的值由FAT=PC0計算得出，輸出向量yk由式子(5)得到，P和yk共同作為已知的輸入序列。

2 閉環系統穩定性分析

在本節，我們對離散時間線性時不變系統進行穩定性分析。為了保證(11)式狀態反饋函數Fxk的實現，Fxk=PC0應該有解。開環系統的輸入信息由以下動力學系統得到：xk+1=ATxk+BTuk，進而，閉環動力學系統可以寫成：

xk+1=(AT+BTF)xk

(12)

選取合適的F能夠保證閉環系統的穩定性。

如果Fxk=PC0沒有解即Fxk-PC0≠0，這表示狀態反饋函數Fxk的實現中出現錯誤。這種錯誤會影響整個閉環系統。因此，閉環系統動力學模型可以如下表示：

其中Δuk=uk-Fxk

(14)

因此，當且僅當系統(13)狀態矩陣的特征值在單位圓內，則閉環系統漸近穩定。

已有文獻[8][10]說明為了預估系統狀態所采用的線性函數方法僅適用于可觀測系統。本文證明對于利用預定義狀態反饋函數實現系統的控制中，系統的可觀測不是一個必要條件。

考慮以下經過采樣的一個不可觀測系統：

即使q≤N時，(10)式也可以滿足。當

(16)

則系統(15)是不可觀測的。

從(16)式中先選取l個線性無關行向量，此外再選取n-l個與之線性無關的行向量來構造矩陣Q，可得Q是非奇異矩陣。

根據(17)式和(18)式，l維可觀測子系統動態方程可以表示為：

n-l維不可觀測子系統動態方程表示為：

3 仿真結果

例1：考慮如下連續時間不鎮定系統，該系統包含9個狀態,1個輸出和1個輸入。

系統矩陣A,b,c表示如下：

其中：

該系統的特征根經過計算如下：

u(kT)=Fx(kT)

(25)

F=[F1F2]F1=[-9.34 -12.89 -19.28 -23.16 -31.88]

F2=[-5.16 -58.58 -19.15 24.16]

離散閉環系統的特征值如下：

該系統的采樣周期為T=0.6s，T0=0.12s.利用本文所設計的狀態反饋控制器(11)可以得到該仿真的最優控制器。其中，N=6,P的值給定如下：

P=103×[0.07 -0.41 0.92 -1.03 0.58 -0.13]

為了驗證所設計的方案，取狀態初始值為：

X0=[-2 -1 0 1.5 1 2.5 -1.5 3 -2.5]T.圖1是N=6時預定義狀態函數的值和它估計值的狀態響應曲線。

時間(s) 時間(s)

當Fxk=PC0沒有解時，系統在N=5時仍然可以達到穩定，這時系統(13)的所有特征值都落在單位圓內。圖2顯示了系統在N=5時真實值和近似估計值的狀態響應曲線。

圖3顯示了隨著采樣時刻的變化，根據預定義狀態反饋函數，得到的系統變量的誤差響應曲線。

圖3 采樣時刻的誤差響應曲線(當Fxk=PC0無解)

例2：用來證明所提出的控制器方案也適用于不可觀測系統。

考慮如下連續時間系統，該系統包含8個狀態,1個輸出，1個輸入。

系統矩陣A,b,c表示如下：

其中：

很容易看出，該系統有兩個穩定的不可觀測模式。利用本文第三部分對于不可觀測系統所設計的控制方案，可以把系統分解為可觀測和不可觀測兩種模式。利用第三部分的公式(17)和(18)，可以得到：

圖4 近似預估計值與測量值的比較(N=5)

4 小結

本文提出了一種新的計算狀態變量的方案——利用一個預定義線性函數設計狀態反饋控制器。該方案可以推廣應用到不可觀測系統，所提方案最大的優勢在于N≤ν時該方案仍然適用。對于一類不可觀測系統，本文也證明了即使Fxk=PC0沒有解系統仍然可以達到鎮定。利用兩個仿真案例證明了所提方案的有效性：在案例1中，對于一個含有9個狀態變量的連續時不變系統，利用預定義狀態反饋控制器，使得系統的預估計值和測量值基本沒有差別；在案例2中，對于一個含有8個狀態變量的不可觀測系統，也證明了本文所設計的控制器方案仍然適用。