充液柔性接管軸向耦合阻抗理論研究

蘇明珠，孫玉東，王鎖泉，郝夏影

（中國船舶科學研究中心船舶振動噪聲重點實驗室；江蘇綠色船舶技術重點實驗室，江蘇無錫214082）

0 引 言

柔性接管是用于管路系統中位移補償和減振降噪的重要元件，其動態特性的研究，對于管系振動噪聲傳遞和響應計算分析及減振降噪效果實現至關重要。Pinnington（1997）[1]指出，通過降低波速，由編織橡膠構成的柔性管和波紋管能同時提供振動和聲波的衰減。阻抗是連接激勵和響應之間關系的動力學參數，可以反映元件本身的動力學特性。對于柔性接管而言，其彈性部分一般為橡膠或橡膠-金屬（非金屬）織物混合結構，其柔性管壁與管內液體介質存在較強的聲振耦合效應。為了考慮柔性接管結構中振動波和流體介質中聲波的相互耦合，全面反映柔性接管的聲學特性，從而精確預報管路系統的聲振傳遞特性和元器件的減振降噪效果，需開展充液柔性接管的耦合阻抗研究。

近年來，俄羅斯克雷洛夫國家科學中心Sokolov（2014）[2]和Popkov（2012）[3]分別進行了包含耦合阻抗在內的柔性接管全阻抗矩陣元素的理論和測試方法研究，其中Sokolov 給出了正交各向異性和粘彈性充液軟管作為梁模型的阻抗矩陣元素的理論公式，Popkov給出了測量機械阻抗、聲阻抗和兩者耦合阻抗的測試裝置和方法。針對包含軟管的管路系統，Munjal和Thawani（1997）[4]根據管段傳遞矩陣，研究了軟管對入射的彎曲波、縱波和聲波的傳遞損失，以及軟管材料彈性參數、阻尼參數和長度、管段數、壁厚、內徑、彎管角度等各種因素對隔振和聲衰減的影響。Drew 等（1998）[5]描述了包含協調器的柔性軟管的理論模型，得到了管端壓力波和流動波關系的頻率相關阻抗矩陣，計算了完整系統的流體噪聲特性。在國內，哈爾濱工程大學李帥軍（2015）[6]對輸流管路的流體-結構相互作用研究進展進行了較為全面的回顧。西北工業大學的樊澤明（2013）[7]回顧了直管和彎管的充液管道線性、非線性流固耦合振動模型及分析方法。對于軟管類管路元件，孫玉東等（2004）[8]以彈性直管為對象，不考慮泊松耦合影響，給出了軸向、橫向機械阻抗和聲阻抗的解析結果。

本文在考慮泊松耦合的基礎上，對充液柔性接管聲阻抗、軸向機械阻抗及耦合阻抗進行了理論推導，與不考慮泊松耦合的阻抗結果進行了對比，分析了材料和幾何參數等相關因素對軸向阻抗的影響。研究結果可作為試驗測量的考核依據，并為試驗裝置的設計提供參考。

1 充液柔性接管軸向耦合阻抗的理論推導

1.1 充液柔性接管軸向耦合方程及其通解

管壁的縱波和內部介質的一維聲波的耦合控制方程組為

式中：Fx、Ux、P 和Uf分別是管壁縱向力、管壁縱向運動速度、管路中液體動壓力和管路中流體運動速度；A 和Ap分別是管道公稱面積和管壁橫截面積；E 和μ 分別是管道材料的楊氏模量和泊松比；x 為沿管路軸向坐標；ρp是管壁材料密度；ρf為管內流體密度；E'V為考慮管壁彈性修正后的體積模量。對于薄壁管，

式中，EV為剛性管中流體的體積模量，R為管道的平均半徑，e為管壁厚度。

對于式（1）～（4）所表示的考慮泊松耦合的聲彈性梁柔性接管軸向方程，可采用以下無量綱形式：

式中，ux為管壁縱向位移，uf為管道流體縱向位移，L為管長。

設時間簡諧因子為ejωt，進一步采用以下無量綱參數：

采用式（6）和式（7）中的無量綱變量和參數，假設沿軸向坐標的解有以下形式：

將式（8）代入式（1）～（4），得到λ的一元四次方程：

即對應于泊松耦合管道中結構和流體的無量綱縱波波數λ1和λ2，可按下式計算：

從而得到方程組的線性疊加通解為

式中，

1.2 充液柔性接管軸向全阻抗矩陣及矩陣元素的推導

根據管路元器件阻抗的定義，兩端狀態量之間的關系以阻抗矩陣表示：

阻抗矩陣中各元素定義為

式中，Y為式（15）左端的激勵力，X為式（15）右端的速度響應。

由式（15）和式（16），很容易得到入口端輸入聲阻抗為

出口端輸入聲阻抗為

即Z22= -Z11，表示柔性圓管兩端的對稱性。

聲傳遞阻抗為

式（20）表示柔性圓管阻抗符合互易原理。

機械傳遞阻抗為

當μ ≠0，即考慮泊松耦合時，所有耦合阻抗矩陣元素的推導結果如下。

聲-機械輸入阻抗為

聲-機械傳遞阻抗為

機械-聲輸入阻抗為

機械-聲傳遞阻抗為

2 幾何、材料參數對阻抗結果的影響

利用上面推導的公式，對充液柔性接管幾何和材料參數變化下包含耦合阻抗在內的阻抗特性，進行MATLAB程序計算。基本計算參數如下：

式中：Qm,i為實測徑流值，為實測徑流平均值，m/s；Qs,i為模擬徑流值，為模擬徑流平均值，m/s。

水：ρf= 998 kg/m3，EV= 2.18 × 109Pa；

鋼管：ρps= 7 800 kg/m3，Es= 2.1× 1011Pa，μs= 0.29；

橡膠管[8]：ρpR= 1200 kg/m3，ER= 3× 109Pa，μR= 0.48；

幾何參數：L = 1 m，R = 0.05 m，e = 5 mm。

2.1 考慮耦合作用下橡膠管的各阻抗計算結果

由圖1～4可見，考慮泊松耦合作用下的橡膠管的輸入阻抗和傳遞阻抗在低頻時吻合，在高頻則出現差異。圖1中聲阻抗最小值所在頻率，即反共振頻率大約為100 Hz。圖3中機械阻抗最小值所在頻率約為450 Hz。圖2中聲-機械阻抗和圖4中機械-聲阻抗的輸入和傳遞阻抗同樣在低頻重合，其中輸入阻抗先共振再反共振，傳遞阻抗先反共振繼而出現共振，聲-機械阻抗和機械-聲阻抗的共振頻率接近，第一反共振頻率在170 Hz左右。

圖1 聲阻抗Fig.1 Acoustic impedance

圖2 聲-機械阻抗Fig.2 Acoustic-mechanical impedance

圖3 機械阻抗Fig.3 Mechanical impedance

圖4 機械-聲阻抗Fig.4 Mechanical-acoustic impedance

2.2 考慮耦合與不考慮耦合橡膠管的阻抗結果比較

當不考慮泊松耦合時，柔性接管軸向阻抗矩陣只存在聲阻抗和機械阻抗，聲-機械阻抗和機械-聲阻抗均為零。圖5～8為考慮與不考慮泊松耦合的橡膠管的阻抗結果比較，從阻抗幅值來看，考慮耦合阻抗計算得到的阻抗值略高于不考慮耦合阻抗的。同時，考慮泊松耦合影響計算得到的聲阻抗幅值-頻率曲線會出現管壁結構共振頻率，機械阻抗幅值-頻率曲線會出現聲共振頻率，體現了二者的耦合影響。

圖5 考慮耦合與不考慮耦合橡膠管的聲輸入阻抗Fig.5 Acoustic input impedance comparison between coupled and uncoupled rubber pipes

圖6 考慮耦合與不考慮耦合橡膠管的聲傳遞阻抗Fig.6 Acoustic transfer impedance comparison between coupled and uncoupled rubber pipes

圖7 考慮耦合與不考慮耦合橡膠管的機械輸入阻抗Fig.7 Mechanical input impedance comparison between coupled and uncoupled rubber pipes

圖8 考慮耦合與不考慮耦合橡膠管的機械傳遞阻抗Fig.8 Mechanical transfer impedance comparison between coupled and uncoupled rubber pipes

2.3 幾何參數對阻抗結果的影響

圖9～12為長度變化對橡膠管阻抗值變化的影響。可以看出，隨著長度的增加，共振頻率降低，反共振頻率也隨之減小。在低頻范圍內，充液橡膠管的阻抗值隨長度的增加而減小。圖13～16 為橡膠管口徑變化對阻抗值的影響，聲阻抗和耦合阻抗的共振與反共振頻率隨口徑的增大而減小，機械阻抗與之相反。同樣，在低頻范圍內，聲阻抗和耦合阻抗值隨口徑的增加而減小，機械阻抗值隨口徑的增大而增大。

圖9 長度變化對聲阻抗的影響Fig.9 Influence of length variation on acoustic impedances

圖10 長度變化對機械阻抗的影響Fig.10 Influence of length variation on mechanical impedances

圖11 長度變化對聲-機械阻抗的影響Fig.11 Influence of length variation on acoustic-mechanical impedances

圖12 長度變化對機械-聲阻抗的影響Fig.12 Influence of length variation on mechanical-acoustic impedances

圖13 口徑變化對聲阻抗的影響Fig.13 Influence of diameter variation on acoustic impedances

圖14 口徑變化對機械阻抗的影響Fig.14 Influence of diameter variation on mechanical impedances

圖15 口徑變化對聲-機械阻抗的影響Fig.15 Influence of diameter variation on acoustic-mechanical impedances

圖16 口徑變化對機械-聲阻抗的影響Fig.16 Influence of diameter variation on mechanical-acoustic impedances

2.4 充液鋼管與充液橡膠管的阻抗結果比較

圖17～20是橡膠管與鋼管的阻抗結果對比。結果表明，在低頻范圍內，鋼管的阻抗值明顯高于橡膠管的阻抗值，其共振頻率也高于橡膠管。鋼管的聲阻抗最小值所在頻率約為340 Hz，機械阻抗最小值所在頻率超過1 000 Hz，聲-機械阻抗和機械-聲阻抗的最小值所在頻率大約為630 Hz。

圖17 鋼管與橡膠管的聲阻抗比較Fig.17 Comparison of acoustic impedances between steel pipe and rubber pipe

圖18 鋼管與橡膠管的機械阻抗比較Fig.18 Comparison of mechanical impedances between steel pipe and rubber pipe

圖19 鋼管與橡膠管的聲-機械阻抗比較Fig.19 Comparison of acoustic-mechanical impedances between steel pipe and rubber pipe

圖20 鋼管與橡膠管的機械-聲阻抗比較Fig.20 Comparison of mechanical-acoustic impedances between steel pipe and rubber pipe

3 結 論

本文根據充液柔性接管軸向耦合控制方程，推導獲得了軸向阻抗的解析解，計算了各種相關參數對阻抗結果的影響，對比分析了考慮與不考慮泊松耦合及長度、口徑、橡膠管與鋼管材料不同時的阻抗計算結果，得出以下主要結論：

（1）充液柔性圓管軸向阻抗矩陣由聲阻抗、機械阻抗和聲-機械耦合阻抗、機械-聲耦合阻抗等子矩陣組成，各子矩陣元素遵循對稱性和互易性原理。

（2）耦合阻抗的算例表明，輸入阻抗先共振再反共振，傳遞阻抗先反共振繼而出現共振，聲-機械阻抗和機械-聲阻抗的共振及反共振頻率接近。

（3）考慮泊松耦合時，聲阻抗和機械阻抗會受到管壁結構共振與聲共振的影響，直觀體現二者的耦合作用。

（4）隨著充液軟管長度的增加，共振和反共振頻率降低。充液軟管口徑的增大，導致聲阻抗與耦合阻抗的共振與反共振頻率減小，機械阻抗結果與之相反。鋼管的阻抗值明顯大于橡膠管的阻抗值，其共振頻率也高于橡膠管，符合一般規律。

后續將對本文結果進行試驗測量和驗證，并對橫向耦合阻抗、正交各向異性軟管耦合阻抗等開展更多研究工作。