基于半解析法的功能梯度圓錐板自由振動特性

田宏業，劉 朋，胡志寬，邱立凡，陶 沙

（中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082）

0 引 言

復合材料結構由于其輕質高強、隱身性能好、耐腐蝕等優點在船舶與海洋工程領域的應用越來越廣泛，且在工程應用中遵循著從次承力結構到主承力結構的規律。這就勢必導致復合材料結構工作在非常復雜甚至極端的動態環境中，承受著不同性質的動態載荷，并可能導致復合材料結構產生有害振動，引起結構疲勞破壞，對結構的穩定性和系統的安全性構成極大的威脅。因此，開展復合材料結構振動特性規律研究，及時發現復合材料結構振動薄弱環節，對指導復合材料結構工程應用具有重要的意義。

在此研究方面，劉明[1]采用高階夾層板理論研究了多種新型功能梯度材料軟夾芯夾層板殼的自由振動；張玲[2]研究了四邊簡支邊界條件下功能梯度矩形板自由振動特性；牛燕[3]考慮熱環境的作用，運用一階剪切變形理論和von-Karman 型應變位移關系，通過Hamilton 原理推導出功能梯度圓錐曲板的非線性動力學偏微分方程；Abdelkader等人[4]基于四變量板理論對任意梯度的功能梯度板進行了自由振動分析；Jooybar[5]研究了碳納米管（CNT）功能梯度材料板殼在厚度方向上的分布、幾何參數、邊緣約束的彈性系數、溫度升高和初始熱應力對頻率參數的影響等；王金朝[6]基于能量原理研究了不同板殼結構的振動特性，并通過對錐-柱-球殼組合殼體進行振動試驗，驗證了理論方法的可行性。

由以上研究可知，目前國內外學者對功能梯度矩形板、圓柱板等結構的振動特性進行了深入的分析，但對功能梯度圓錐板結構自由振動研究有待豐富。為此，本研究以功能梯度圓錐板為研究對象，基于一階剪切變形理論開展一般邊界條件下圓錐板結構自由振動特性研究，并探究材料和幾何參數對其振動特性的影響，旨在為功能梯度圓錐板工程應用提供理論依據。

1 理論方法

1.1 幾何模型

圖1為功能梯度圓錐板幾何模型，坐標系為O(s，θ，z)；圓錐板結構沿曲率s方向曲率半徑為∞，垂直于曲率s方向半徑為R = s·sinα0，沿s方向結構長度為L，沿θ方向轉角為?(0≤?＜2π)，厚度為h。

圖1 圓錐板結構模型與坐標系Fig.1 Structure model and coordinate system of functionally graded conical panel

1.2 運動學關系與應力合力

基于一階剪切變形理論，功能梯度圓錐板任意點的位移分量由參考面位移和轉角表示：

式中，u，v和w分別表示參考面上任意點在s、θ和z方向的位移；ψs和ψθ分別表示參考面法線繞θ和s方向的轉角；t表示時間。

功能梯度圓錐板參考面應變-位移關系為

式中，A和B表示Lamé參數[7-8]，對本文圓錐殼結構而言，A=1，B=s·sinα0。

根據文獻[9]和式（2）功能梯度圓錐板的幾何方程，功能梯度圓錐板應力分量和應變分量之間的關系可表示為

式中，Cij（i，j=1,2,3,4,5,6）為彈性剛度系數，詳細表達式可參考文獻[9]。

通過將應力沿功能梯度圓錐殼厚度上積分即可得到力和力矩，根據廣義胡克定律，用應變表示應力，最終可以將力和力矩用終面應變和曲率分量表示[10]，即

式中，Ns、Nθ和Nsθ為面應力，Ms、Mθ和Msθ為力矩，Qs、Qθ為橫向剪切力，κ為剪切修正因子，其取值通常為κ=5/6。

由式（4）本構關系可知，功能梯度材料存在拉伸-彎曲耦合，但不存在拉伸-剪切耦合。Aij、Bij和Dij為拉伸、拉伸-彎曲耦合和彎曲剛度系數，其具體表達式為

式中，彈性常數Qij(z)為厚度方向z的函數，其定義如下：

本研究中功能梯度圓錐板由陶瓷和金屬混合制成，楊氏模量E(z)、密度ρ(z)以及泊松比μ(z)沿厚度方向連續，可進行以下線性組合：

式中，下角標c和m分別代表陶瓷和金屬，體積分數Vc遵循以下四參數冪律分布：

式中，p為冪律指數；a，b，c為材料參數。FGMI和FGMII的體積分數Vc在參考面z=0處對稱，所有組成相的體積分數之和為1[8]，即

功能圓錐板應變能可定義為

功能梯度圓錐板動能函數可表示為

式中，

功能梯度圓錐板四邊布置五組彈簧來模擬一般邊界條件，其一般邊界條件方程式如下：

存儲在邊界彈簧中的勢能Usp可表示為

1.3 位移函數

為克服邊界的不連續性，本研究中位移容許函數采用改進的傅里葉級數來表示，不同位移分量可表示為

功能梯度圓錐板拉格朗日方程可表示為

將式（10）、（11）和（14）分別代入式（17），通過對未知系數求偏導可得

整理可得如下矩陣形式：

式中，K、M、和H 分別表示剛度矩陣、質量矩陣和未知系數矩陣。通過解方程（19）可獲得功能梯度圓錐板結構的特征頻率和模態陣型。

2 數值計算

2.1 收斂性研究和有效性驗證

從理論表達式中可以看出，計算精度依賴于位移表達式的限制項數。因此，收斂性研究關鍵在于選擇適當的截斷項，同時通過與已有文獻對比驗證本文方法的有效性。

（1）收斂性研究

不同邊界參數下約束剛度Γ對彈性邊界條件下功能梯度圓錐板頻率參數的影響如圖2所示。

無量綱邊界約束參數Γ?（?=u,v,w,s,θ）為相應的彈簧剛度與參考彎曲剛度D 的比率，即Гu=ku/D，Гv=kv/D，Гw=kw/D,Гs=Ks/D，Гθ=Kθ/D，其中D=Emh3/12(1-μm2)為結構剛度系數。當Γ?=0 時，邊界自由；當Γ?=∞時，邊界剛固；Гu=101～105范圍時，頻率參數Ω 迅速增加，為彈性邊界條件。本文以下算例中各種邊界條件通過表1功能梯度圓錐板彈簧剛度值確定。

圖2 基頻參數Ω隨功能梯度圓錐板彈性約束參數的變化Fig.2 Variation of Ω versus Γ for functionally graded conical shell

表1 一般邊界條件下圓錐板彈簧剛度值Tab.1 Corresponding spring stiffness values of conical shell for general boundary conditions

表1 中，F、C、S、Ei分別表示自由、固支、簡支及彈性邊界條件。

功能梯度圓錐板不同截斷系數下前三階頻率參數的收斂性情況如圖3所示。從圖3中可以看出，所提出的統一方法收斂速度快，穩定性好。鑒于當前解的優良數值特性，本研究定義截斷數M=N=15。

為進一步驗證本研究方法的有效性，將本文結果與已有文獻進行了對比分析，如表2 所示。由表2 可知，一般邊界條件下，本文方法結果與現有文獻結果一致性較高，表明本文基于收斂性分析成果，采用邊界彈簧來模擬一般邊界條件是可行的。

圖3 圓錐板的頻率參數Ω隨截斷數M、N的變化Fig.3 Variation of Ω versus M and N for functionally graded conical panels

表2 具有不同冪律指數p的功能梯度圓錐板的前九階頻率（Hz）的比較Tab.2 Comparison of the first nine-order frequencies(Hz)of functionally graded conical shells with different p

2.2 功能梯度圓錐板自由振動特性

在收斂性分析成果的基礎上，計算得到一般邊界條件下功能梯度圓錐板結構自由振動特性，如表3所示。

表3 具有不同邊界條件的功能梯度圓錐板的前六階頻率參數Tab.3 First six-order Ω of the functionally graded conical panels with different boundary conditions

從表3 可知，同一模態參數下，功能梯度圓錐板自由邊界振動頻率參數較其它邊界小，不同分布類型的頻率參數相差不大，且第一類分布類型較高于第二類分布類型。不同邊界條件下，功能梯度圓錐板模態陣型如圖4所示。

為充分探究一般邊界條件下功能梯度圓錐板結構和材料參數對自由振動特性的影響，本研究在收斂性分析的基礎上，探究了結構厚度h、冪指數p和材料參數a、b、c等對功能梯度圓錐板自由振動的影響。

圖4 不同邊界條件圓錐板的模態形狀Fig.4 Mode shapes for conical panels with different boundary conditions

（1）厚度h的研究

不同剪切修正因子下，結構厚度對功能梯度圓錐板自由振動特性的影響如圖5所示。

圖5 不同剪切修正系數圓錐板體的基頻參數與厚度h的關系Fig.5 Fundamental frequency parameters of conical panels versus h with different κ

由圖5 可知，具有不同剪切修正因子的功能梯度圓錐板板自由振動頻率參數隨結構厚度變化影響較大。同一剪切修正因子下，在一定厚度范圍內，功能梯度圓錐板頻率參數隨結構厚度變化呈近似線性關系。剪切修正因子主要影響較厚功能梯度圓錐板的振動特性，對小厚度結構影響較小。

（2）冪指數p的研究

剛性固定條件下，不同冪指數p 對功能梯度圓錐板FGMI(a=1/b=0.5/c=2/p)和FGMII(a=1/b=0.5/c=2/p)自由振動的影響如圖6所示。

由圖6 可知，對兩類功能梯度圓錐板而言，頻率參數隨冪指數增大呈總體減小趨勢，在冪指數低值段，頻率參數急劇減小，在高值段逐漸趨于平緩。同一冪指數下，不同類型功能梯度圓錐板頻率參數差別較小。

（3）材料參數a、b、c的研究

材料參數a、b、c對功能梯度圓錐板頻率參數的影響如圖7所示。為方便研究，不同材料參數組合成以下四種類型，類型1：a=1，b=c=0；類型2：a=1，b=0.5，c=2；類型3：a=0，b=-0.5，c=2；類型4：a=1，b=1，c=4。

圖6 功能梯度圓錐板FGMI和FGMII的一階頻率的變化Fig.6 Variations of the first-order frequencies of the functionally graded FGMI and FGMII conical panels

圖7 不同材料參數對第一類功能梯度圓錐板頻率參數的影響Fig.7 Influence of different material parameters on frequency parameters

由圖7可知，不同材料參數對功能梯度圓錐板頻率參數影響較大。p=5為四種功能梯度圓錐板頻率參數變化趨勢的拐點；類型1和類型2材料參數對功能梯度圓錐板頻率參數的影響基本一致。因此，為避免結構共振，在進行功能梯度材料設計及應用中，應充分考慮材料參數對結構頻率參數的影響。

3 結 論

本研究基于一階剪切變形理論，采用改進傅里葉級數構造功能梯度圓錐板的位移容許函數，并通過里茲法探究了一般邊界條件下功能梯度圓錐板結構的自由振動特性，研究成果可為相關理論研究及工程應用提供一定的數據積累。通過本文研究，得到了以下主要結論：

（1）數值算例方面，本文方法具有較好的收斂性和較高的求解精度；在收斂性方面，Γ?=0時邊界自由，當Γ?=∞時邊界剛固，Гu=10～105范圍時為彈性邊界條件，截斷系數M=N≥10時圓錐板結構計算結果收斂；在計算精度方面，本文結果與已有公開發表的文獻一致性較好。

（2）功能梯度圓錐板固有振動特性不僅與邊界條件有關，而且與其自身材料屬性有關，具有不同剪切修正因子的功能梯度圓錐板板自由振動頻率參數受結構厚度影響較大，同一剪切修正因子下，在一定厚度范圍內，功能梯度圓錐板頻率參數隨結構厚度變化呈近似線性關系；頻率參數隨冪指數增大呈總體減小趨勢，在冪指數低值段，頻率參數急劇減小，在高值段逐漸趨于平緩。