淺析可逆矩陣的作用及其逆矩陣的反作用

孟慶云 王玉雷

【摘要】可逆矩陣是矩陣家族中最重要的一類.可逆矩陣由于其可逆的性質（可以在研究對象的一側乘上可逆矩陣，并可以通過在同一側繼續乘上其逆矩陣而將其消去），使得可逆矩陣的作用來去自如，其應用靈活、有效.本文從作用的角度，以實例分析的方式解析可逆矩陣的作用及其逆矩陣的反作用，進一步解析矩陣實現線性變換的機理，從而幫助我們了解矩陣的運動變換屬性.

【關鍵詞】可逆矩陣;線性變換;作用;反作用

引 言

從矩陣的定義來看，矩陣是一個數表，是信息的載體，這體現的是矩陣的靜態作用.然而更多的時候，矩陣是通過運算，特別是矩陣乘法運算實現其對研究對象的動態作用.我們以“榜樣”這個詞作為類比：當我們說張三是我們學習的榜樣，那么這里“榜樣”是一個名詞，但其反映更多的是張三所起到的是能對我們產生積極影響的作用.可逆矩陣由于其可逆性，使得其成為刻畫和描述可逆過程的得力工具.本文中，我們以實例分析的方式探析可逆矩陣的運動變換屬性，從而拓展對可逆矩陣及其逆矩陣的理解與運用.

1 實例

通常，信息用二元域上的n維向量表示.在發送端，明文信息α經過加密矩陣K（n階可逆方陣）的作用（K左乘α）得到密文信息β=Kα，這是加密的過程.加密過的信息β經過傳輸到達信息的接收端，還需要解密還原成明文信息才能被識別.這一過程需要解密矩陣X（即加密矩陣K的逆矩陣）的作用.具體為解密矩陣X左乘作用在密文β上，即Xβ=XKα=K-1Kα=α，

從而將明文信息α還原.

由此可看出：任意n階可逆矩陣可充當加密矩陣對明文信息進行加密，而其逆矩陣則為解密矩陣，可將加密過的信息進行解密還原，兩者所起到的作用是相反的.事實上，可逆矩陣在保密通信中有著深入廣泛的應用.[1]

由此可看出：A左乘α的效果是將α逆時針旋轉θ角，從而得到，如圖2所示.由此，我們稱A=cos θ-sin θsin θcos θ（其中θ為任意給定的角度）為逆時針旋轉矩陣.

反之，注意到矩陣A可逆，且A-1=cos θsin θ-sin θcos θ.將A-1左乘繼續作用在α上，可得A-1將順時針旋轉θ角變回α，如圖3所示.即A-1為順時針旋轉矩陣，其能夠將平面上過原點的向量作順時針旋轉.在此例中，我們看到旋轉矩陣能使向量旋轉的動態作用.

值得注意的是，例2中的旋轉矩陣與例3中的沿線反射矩陣都是正交矩陣，這是一類特殊的可逆矩陣.這類矩陣所引起的變換稱為正交變換，它們是保內積的變換，從而是保距也是保夾角的變換.因此，這類變換將一個圖形變成與之全等的圖形.

更多的圖形變換如：縮放變換、平移變換均可由相應的矩陣來實現，并且這些變換是可逆變換，相應的矩陣也均是可逆矩陣.我們需要注意的是投影變換也可以由相應的矩陣來實現，只是投影變換不是可逆變換，相應的矩陣不再是可逆矩陣.[2]

2 理論基礎

從以上幾個例子可以看出：如若說可逆矩陣A提供一種作用，而A的逆矩陣提供的則是與A相反的一種反作用，且矩陣對向量的作用可通過矩陣左乘相應向量來實現.運用矩陣乘法結合律，對向量多個連續作用，可通過相應的多個矩陣的乘積來實現，從而使得可逆矩陣的應用靈活有效.

定理 對矩陣做一次初等行變換，其結果等于在原矩陣的左端乘上相應的初等矩陣;對矩陣做一次初等列變換，其結果等于在原矩陣的右端乘上相應的初等矩陣.

由于可逆矩陣是初等矩陣的乘積，因此對矩陣做初等變換就是通過可逆矩陣實現的.從這個理論層面，我們也可以理解矩陣的運動變換屬性.

更廣泛地，對于給定數域F上的n維線性空間V，記V上的所有線性變換構成的F上的線性空間為L（V）.在取定V的一組基下，我們知道：

這里，Fn為數域F上的n維向量空間，Mn（F）為F上所有n階方陣構成的n2維線性空間.＼[3＼] 我們借助以上兩個線性同構，再通過矩陣作用于向量的坐標，可以實現所有線性變換對線性空間的作用.比如：例2中的2階旋轉矩陣實現的是對2維向量空間中向量的旋轉變換.由此，從動態的角度來看，矩陣的本質是作用、是運動、是變換.而其中可逆矩陣提供可逆變換.

特別地，將Mn（F）中的可逆矩陣拿出來，按矩陣的乘法構成一個群，稱之為域F上的一般線性群，記為GLn（F）.對于一般的抽象群G，通過建立G到群GLn（F）的同態映射，則可以賦予抽象群G中每個元素一個作用，即其同態像也就是其所對應的矩陣的作用，從而使得G有更廣泛、豐富的內涵，由此進一步研究抽象群G的性質與結構，這便是群的表示理論.

3 總結

本文通過幾個例子從實用性和幾何直觀兩個方面來說明和闡述可逆矩陣的動態作用以及其逆矩陣的反作用，并進一步解釋可逆矩陣實現矩陣的初等變換以及矩陣實現向量的線性變換機理，從而幫助我們了解矩陣的作用、運動與變換的動態屬性，最后，借助矩陣的動態作用，引出群表示理論的思想方法.

【參考文獻】[1]熊小兵.可逆矩陣在保密通信中的應用＼[J＼].大學數學，2007，23（3）：108-112.

[2]王志俊，姜詠梅，田記.矩陣在圖形學幾何變換中的應用＼[J＼].高等數學研究，2014（1）：87-88，99.

[3]北京大學數學系幾何與代數教研室.高等代數（第三版）＼[M＼].北京：高等教育出版社，2003.