具飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIR傳染病模型的遍歷性

牛新宇，呂 闖，鄭甲山

(1.吉林醫(yī)藥學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，吉林 吉林 132013；2.魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025)

1 預(yù)備知識(shí)

經(jīng)典的具飽和發(fā)生率的SIR模型具有如下形式：

(1)

其中：S表示易感者的數(shù)量，I表示感染者的數(shù)量，R表示康復(fù)者的數(shù)量，易感者的輸入量記為Λ，β表示疾病傳輸率，μ表示自然死亡率，ε表示因病死亡率，γ表示康復(fù)率，飽和系數(shù)記為α.在現(xiàn)實(shí)生活中，環(huán)境噪聲是普遍存在的.文獻(xiàn)[1]考慮環(huán)境白噪聲對(duì)系統(tǒng)(1)的影響，提出如下隨機(jī)模型：

(2)

其中：σ>0；B(t)是定義在完備的概率空間(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且其σ域流滿足通常條件.由于艙室R對(duì)疾病的傳輸不起作用，所以在模型(2)中直接將艙室R省略.

事實(shí)上，除了白噪聲之外，還有另外一種噪聲也對(duì)傳染病的傳輸起著重要作用.由于受到降水、溫度變化的影響，環(huán)境經(jīng)常在幾個(gè)不同的狀態(tài)間切換，與此對(duì)應(yīng)，在每一個(gè)不同的狀態(tài)下，系統(tǒng)(2)中的系數(shù)可能取不同的值.在這里假定環(huán)境狀態(tài)的切換由一個(gè)連續(xù)的Markov鏈r(t)(t≥0)來描述.其狀態(tài)空間為有限空間，記為S={1，2，…，N}；Markov鏈的生成子Γ=(γij)N×N定義為

(3)

于是方程(3)可以寫成

這里N(dt，dz)是一個(gè)泊松隨機(jī)測(cè)度，密度為dt×m(dz)，m是定義在R上的勒貝格測(cè)度.

將狀態(tài)切換考慮進(jìn)去，系統(tǒng)(2)可以化為

(3)

其中參數(shù)Λ(i)，β(i)，μ(i)，ε(i)，γ(i)，α(i)，σ(i)，i∈S均為正常數(shù).

在最近的文獻(xiàn)中，很多作者都討論過具M(jìn)arkov切換的隨機(jī)生物模型解的遍歷性[2-4]，但這些模型對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散陣都是非退化的，從而滿足一致橢圓條件.然而在模型(3)中擴(kuò)散陣為

顯見該矩陣是一個(gè)退化矩陣.因此在尋求系統(tǒng)(3)的遍歷性時(shí)，需要克服一些特定的困難，例如：確定系統(tǒng)的最大吸收集合；驗(yàn)證Markov過程(S(t)，I(t)，r(t))的強(qiáng)Feller性和不可約性.

2 強(qiáng)Feller性和不可約性

令(S(i)(t)，I(i)(t))滿足：

存在常數(shù)T>0使得

p(i)(T，(x，y)，(u，v))>0.

(4)

根據(jù)引理5.5[5]，對(duì)任意的t>0擴(kuò)散過程(S(t)，I(t)，r(t))是絕對(duì)連續(xù)的，其密度記為p(t，(x，y，i)，(u，v，j)).由引理2.3[6]知，p(t，(x，y，i)，(u，v，j))滿足如下方程：

(5)

其中p0定義如下：

通過與文獻(xiàn)[5]類似的討論可知，

由(4)與(5)式和Γ的不可約性知，對(duì)任意的(x，y，i)∈E×S和(u，v，j)∈E×S，存在常數(shù)T>0使得

p(T，(x，y，i)，(u，v，j))>0.

(6)

其中

p(t，(x，y，i)，(u，v，j))的連續(xù)性蘊(yùn)含著(S(t)，I(t)，r(t))是強(qiáng)Feller過程，所以(S(t)，I(t)，r(t))是所謂的T-過程[7].由文獻(xiàn)[1]知集合

是過程(S(i)(t)，I(i)(t))的最大吸收集，因此集合E×S是系統(tǒng)(3)的最大吸收集.于是(6)式蘊(yùn)含著(S(t)，I(t)，r(t))在E×S上是μ-不可約的T-過程，這里μ為定義在集合E和S的積測(cè)度.

為方便起見，取E×S為全空間，并始終假定(S(0)，I(0)，r(0))∈E×S.

3 遍歷性

令

定理1如果Rs>0，則(S(t)，I(t)，r(t))是遍歷的，即存在一個(gè)不變概率Π使得

其中：P(t，(x，y，k)，·)是(S(t)，I(t)，r(t))的轉(zhuǎn)移概率；‖·‖表示全變差范數(shù).

證明根據(jù)定理5.1[8]，要想證明遍歷性只需構(gòu)造一個(gè)函數(shù)V(x，y，i)∈C2(E×S)和一個(gè)緊集U?E使得對(duì)任意的i∈S，

這里A是一個(gè)算子，

其中：

類似于引理2.1[4]的討論可知，存在唯一正的u=(u1，u2，…，uN)′滿足

(2diag{μ(1)，μ(2)，…，μ(N)}-Γ)u=(σ2(1)，σ2(2)，…，σ2(N))′.

(7)

由于矩陣diag{μ(1)，μ(2)，…，μ(N)}-Γ是非奇異M-矩陣，所以方程

(diag{μ(1)，μ(2)，…，μ(N)}-Γ)v=
(β(1)-u1Λ(1)，β(2)-u2Λ(2)，…，β(N)-uNΛ(N))′

(8)

有唯一解v=(v1，v2，…，vN)′(該解不一定是正的).于是由(7)與(8)式可得

從而

(9)

有唯一正解[9]，記為?=(?1，?2，…，?N).

定義C2-函數(shù)V如下：

這里r是一個(gè)待定正數(shù).

令

V2=-logx-log(L-x-y)-log(x+y-l).

注意到(7)—(9)式，通過直接計(jì)算可得

其中

另一方面，

綜上，

記：

另外，Ki(x，y)為E×S上的有界函數(shù)，即存在M2>0使得|Ki(x，y)|≤M2.于是

取正數(shù)r，δ，κ(這里δ，κ可以取的充分小)使得

(10)

記：

D1={(x，y)∈E|0D3={(x，y)∈E|δ≤xD4={(x，y)∈E|δ≤x

當(dāng)y→0時(shí)，Ki(x，y)關(guān)于x一致收斂于0.由該結(jié)論與 (10)式得：在集合D1∪D2∪D3∪D4上，AV<-1.定義閉集

U={(x，y)∈E|δ≤x≤L，δ≤y≤L，l+κ≤x+y≤L-κ}，