亞純函數涉及重值分擔5個小函數結論的改進

譚 洋，劉永奇

(北京師范大學珠海分校應用數學學院，廣東 珠海 519085)

0 引言

設f(z)，ɡ(z)，h(z)為非常數亞純函數，a為復常數.如果f(z)-a與ɡ(z)-a有相同的零點，而且每個零點的重數也相同，則稱a為f(z)與ɡ(z)的CM公共值；如果不考慮零點的重數，則稱a為f(z)與ɡ(z)的IM公共值.類似地，如果f(z)-h(z)與ɡ(z)-h(z)有相同的零點，且每個零點的重數也相同，則稱h(z)為f(z)與ɡ(z)的CM公共函數；如果不考慮零點的重數，則稱h(z)為f(z)與ɡ(z)的IM公共函數.

則稱a(z)為f(z)與ɡ(z)的“IM”公共小函數.顯然若a(z)為f(z)與ɡ(z)的IM公共小函數，則a(z)必為f(z)與ɡ(z)的“IM”公共小函數.

用NE(r，a)表示f(z)-a(z)和ɡ(z)-a(z)具有相同重級的公共零點的計數函數，每個零點僅計1次.如果

則稱a(z)為f(z)與ɡ(z)的“CM”公共小函數.

1929年，Nevanlinna證明了下述著名的五值定理：

定理A[2]設f(z)，ɡ(z)為2個非常數亞純函數，aj(j=1，2，3，4，5)為C上的5個判別的復數.如果aj(j=1，2，3，4，5)為f(z)與ɡ(z)的IM公共值，則f(z)≡ɡ(z).

Nevanlinna提出下述著名問題：將定理A中常數換為小函數，定理A是否仍然成立？圍繞這一問題，許多學者進行了廣泛的研究，相關結果可參閱文獻[3-6].2000年，李玉華和喬建永[5]得到下面定理：

定理B 設f(z)，ɡ(z)為2個非常數亞純函數.如果aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)為f(z)與ɡ(z)的IM公共小函數，則f(z)≡ɡ(z).

根據定理B的證明，容易得到下面的定理C，它是定理B的簡單的推廣.

定理C 如果將定理B中IM替換成“IM”，定理B仍成立.

2001年，姚衛紅[6]得到下面的結果：

定理D 設f(z)，ɡ(z)為2個非常數亞純函數.如果存在f(z)與ɡ(z)的5個判別小函數aj(z)(j=1，2，…，5，可有一個為∞)，滿足Ek)(aj，f)=Ek)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，其中k為正整數且k≥16，則f(z)≡ɡ(z).

本文在文獻[6]的基礎上，應用Nevanlinna值分布理論，對上述定理D的結果進行改進，所得結果進一步豐富了亞純函數的值分布理論.

1 幾個引理

引理1[1]若a(z)為f(z)與ɡ(z)的“CM”公共小函數，則a(z)必為f(z)與ɡ(z)的“IM”公共小函數.

引理2[7]設f(z)為非常數亞純函數，aj(z)∈S(f)∪{∞}(j=1，2，…，5).則有

這里ε為充分小的正數.

引理3[8]設f(z)，ɡ(z)為2個非常數亞純函數，且以0，1，∞為“CM”公共值.如果f(z)?ɡ(z)，則對任意一個f(z)與ɡ(z)的小函數a(z)，只要a(z)≠0，1，∞，有

這里r∈J，mesJ=+∞，r→+∞.

引理4設f(z)，ɡ(z)為2個非常數亞純函數，aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)，kj(j=1，2，…，5)為正整數或∞，且滿足k1≥k2≥…≥k5.如果

Ekj)(aj，f)=Ekj)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，

則有

證明由引理2有

即

(1)

類似可得

(2)

由(1)和(2)式有

2 主要定理及證明

定理1設f(z)，ɡ(z)為2個非常數亞純函數，aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)，kj(j=1，2，…，5)為正整數或∞，且滿足k1≥k2≥…≥k5.如果

Ekj)(aj，f)=Ekj)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，

(3)

且

(4)

則f(z)≡ɡ(z).

證明不失一般性，不妨設a1(z)=0，a2(z)=∞，a3(z)=1，a4(z)=a(z)，a5(z)=b(z).令

其中：

如果H1?0，則有m(r，H1)=S(r，f).下面估計N(r，H1)：

注意到

所以有

(5)

令

其中：

令

其中：

令

其中：

令

其中：

如果Hj?0(j=2，3，4，5)，同樣可以得到：

(6)

(7)

(8)

(9)

由(5)—(9)式可得

(10)

由(3)式同樣有

(11)

由(10)和(11)式得

(12)

由引理4和(12)式有

即

(13)

其中ε為充分小的正數，在不同地方可能不同.由條件(4)可知(13)式矛盾.因此，Hj(j=1，2，…，5)中至少有一個恒為零.不妨設H2≡0，則f(z)和ɡ(z)以0，1，∞，a(z)為“CM”公共小函數.由定理1的條件和引理3可知，f(z)和ɡ(z)以0，1，∞，a(z)，b(z)為“CM”公共小函數，則由定理C和引理1可得f(z)≡ɡ(z).同理，當Hj≡0(j=1，3，4，5)時亦有f(z)≡ɡ(z).

定理2設f(z)，ɡ(z)為2個非常數亞純函數，aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)滿足Ek)(aj，f)=Ek)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，其中k為正整數且k≥15，則f(z)≡ɡ(z).

證明在定理1中取k1=k2=…=k5=k即可得證.