基于有限元法改進螺栓連接剛度模型*

馬雅麗，劉國超，危家勇，李燦燦，梁 晨

(大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引言

螺栓連接性能的主要指標之一就是其剛度，它直接影響結構性能甚至于機器整機性能或精度，所以各國學者開展了大量研究。螺栓連接剛度主要由螺栓剛度和被連接件剛度兩部分串聯而成[1]。對于螺栓剛度而言，在德國、英國等各大標準中，均將螺栓等效為均質的圓柱進行剛度計算，計算方法已經基本達到統一。而國內外學者對被連接件剛度的研究主要從其受壓層應力分布和受壓層面積變化兩方面入手。常用的方法有解析法、有限元法和實驗法。CRC Press[2]在建立被連接件剛度求解的解析公式時，基于實驗和有限元分析結果，提出了兩點假設：被連接件的受壓層應力沿其徑向均勻分布；被連接件的受壓層面積沿軸向呈空心圓柱體變化。在被連接件的受壓層應力沿徑向均勻分布的基礎上，Fritsche G 等[3]提出受壓層面積沿軸向呈空心圓錐體變化，并且求解了圓錐角為45°時的被連接件剛度。Budynas R G等[4]先后求解了圓錐角為45°和30°時的被連接件剛度，提出圓錐角為30°時被連接件剛度計算結果更為準確。德國工程師協會(VDI)通過實驗建立了被連接件受壓層面積變化的圓錐角的經驗公式[5]。Juvinall R C等[6-7]對螺栓連接進行了有限元和實驗分析，建立了被連接件受壓層面積關于螺栓直徑和被連接件厚度變化的經驗公式。Motosh Nabil[8]通過有限元分析螺栓與被連接件接觸區域內的節點位移求解了被連接件的剛度，并建立了其經驗公式。 Wileman J[9]根據實驗分析結果，提出了被連接件受壓層應力并非均勻分布，而是近似滿足于徑向距離的4次關系式。Cao J[10]使用I-Scan壓力分布系統測試被連接件受壓層應力分布，得出被連接件受壓層應力與螺栓的接觸區域和非接觸區域分布并不相同，在與螺栓接觸區域內受壓層應力滿足徑向距離的2次關系式，而只有在與螺栓的非接觸區域，才滿足徑向距離的四次關系式。

目前大部分學者在研究預緊力作用下被連接件受壓層應力和受壓層面積變化時，多考慮被連接件厚度相同和材料屬性相同的情況，實際上這兩類參數都會影響被連接件受壓層應力分布和受壓層面積變化，從而影響剛度計算結果。基于有限元方法，研究了被連接件的彈性模量和厚度因素對被連接件剛度的影響，改進了螺栓連接剛度計算方法。

1 螺栓連接的有限元模型與分析

1.1 構建螺栓連接的有限元模型

為了更準確分析被連接件的彈性模量與厚度對被連接件剛度的以及螺栓連接剛度的影響，文中采用常規螺栓連接的有限元建模方法，構建了螺栓連接的有限元模型，如圖1所示。

圖1 螺栓連接有限元模型

模型分為被連接件A、被連接件B、螺桿和螺母4部分。將被連接件A左端和被連接件B右端全部固定，螺母與螺桿之間的旋合部分完全粘接，螺母與被連接件A之間、 被連接A與被連接件B之間、被連接件B與螺桿頭之間建立有摩擦接觸對，摩擦系數全部設定為0.3。在螺桿上建立預緊單元，施加預緊載荷8500 N。被連接件A、被連接件B、螺桿和螺母全部選用八節點的solid186單元，同時為了避免邊緣效應，被連接件A和被連接件B接觸區域的長度和寬度取為螺栓直徑的9倍。螺桿和螺母的材料屬性彈性模量設定為216 000 MPa和泊松比設定為0.3保持不變。

(a) 剛度隨被連接件厚度與螺栓直徑比變化 (b) 剛度隨彈性模量比值變化

1.2 被連接件材料的彈性模量對其剛度的影響

采用常規的被連接件剛度的研究方法，將被連接的剛度、厚度和彈性模量轉化為無量綱的量，分析被連接件剛度隨被連接A、被連接B的彈性模量和厚度的變化規律，并建立其解析公式，如式(1)所示：

(1)

式中，Kc為被連接件剛度；EA和EB分別為被連接件A和被連接件B的材料彈性模量，Em為被連接件A和被連接件B的等效材料彈性模量，Em=EAEB/(EA+EB)[4-5]；TA和TB分別為被連接件A和被連接件B的厚度，T為被連接件總厚度，T=TA+TB；d為螺栓直徑。

采用參數化分析方法分析剛度比Kc/Emd隨被連接件材料彈性模量比EA/EB的變化規律?？刂票贿B接件厚度比TA/TB不變。為了比較被連接件A和被連接件B的材料彈性模量不同對被連接件剛度的影響，將被連接件A和被連接件B的材料彈性模量分為三種組合方式：控制被連接件A和被連接件B的關系分別為EA=EB、EA=2EB和EA=3EB。被連接件厚度與螺栓直徑比T/d變化范圍從1.2～4，由于T/d<2.4時，被連接件剛度比變化幅度較大，而當T/d>2.4時，被連接件剛度比變化幅度較小，所以T/d的每次變動范圍被非均勻化處理，T/d<2.4時，每次變動0.2，T/d>2.4時，每次變動0.4。三種被連接件材料彈性模量組合方式的剛度計算結果如表1所示。

表1 材料影響下的被連接件剛度 (N/μm)

被連接件A和被連接件B的材料彈性模量不同會影響被連接件的剛度，無論T/d為何值，被連接件A和被連接件B的材料彈性模量比值越大，被連接件的剛度也就會越小。T/d越小，被連接件A和被連接件B的材料彈性模量不同對被連接件的剛度影響越大，當T/d=1.2時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了11.3%，當T/d=4時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了1.3%，如圖2a所示。

進一步分析被連接件A和被連接件B的材料彈性模量比值對其剛度的影響?？刂票贿B接件B的材料彈性模量和T/d=2不變。被連接件A的材料彈性模量以被連接件B的倍數均勻化增大，每次增大0.25倍?？紤]到工程螺栓連接實際情況，被連接件A的材料彈性模量最大值為被連接件B的3倍取EA=3EB。被連接件的剛度隨著被連接件A和被連接件B的材料彈性模量比值的變化規律如圖2b所示。根據上述分析結果，擬合出剛度比與其兩被連接件彈性模量之比的解析式：

Kc/Emd=-0.058EA/EB+1.309

(2)

1.3 被連接件厚度對其剛度的影響

采用參數化分析方法分析剛度比Kc/Emd隨被連接件厚度比TA/TB的變化規律?？刂票贿B接件厚度比EA/EB不變。為了比較被連接件A和被連接件B的厚度不同對被連接件剛度的影響，控制被連接件厚度T不變，將被連接件A和被連接件B的厚度分為三種組合方式：控制被連接件A和被連接件B的厚度的關系分別為TA=TB、TA=2TB和TA=3TB。被連接件厚度與螺栓直徑比T/d變化范圍從1.2～5.4，每次變動0.3。三種被連接件厚度組合方式下的剛度計算結果如表2所示。

表2 厚度影響下的被連接件剛度(N/μm)

被連接件A和被連接件B的厚度不同會影響被連接件的剛度，無論T/d為何值，被連接件A和被連接件B的厚度比值越大，被連接件的剛度也就會越小。T/d越小，被連接件A和被連接件B的厚度不同對被連接件的剛度影響越小，當T/d=1.2時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了3.5%，當T/d=5.4時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了12.8%，如圖3a所示。

(a) 剛度隨被連接件厚度與螺栓直徑比變化 (b) 剛度隨厚度比值變化

進一步分析被連接件A和被連接件B的厚度比值對其剛度的影響?？刂芓/d=3.6不變。被連接件A的厚度以被連接件B的倍數均勻化增大，每次增加0.25倍?？紤]到工程螺栓連接實際情況，被連接件A的厚度最大值為被連接件B的3倍取TA=4TB。被連接件的剛度隨著被連接件A和被連接件B的厚度比值的變化規律如圖3b所示。根據上述分析結果，擬合出剛度比與其兩被連接件厚度之比的解析式：

Kc/Emd=-0.031EA/EB+1.047

(3)

2 螺栓連接剛度的解析模型

通過第1節螺栓連接有限元模型分析結果可知，被連接件材料的彈性模量和厚度對其剛度有影響，并且被連接件剛度與其材料的彈性模量比和厚度比近似滿足工程線性關系。所以根據螺栓剛度的理論公式、被連接件剛度及其材料的彈性模量和厚度的關系建立螺栓連接的解析式。螺栓連接剛度由螺栓剛度和被連接件剛度兩部分串聯而成[1]：

(4)

式中，K為螺栓連接剛度；Kb為螺栓剛度；Kc為被連接件剛度。根據德國工程師協會(VDI)標準，螺栓剛度通常將螺栓等效為均質的圓柱進行求解[5]。

(5)

假設預緊力作用下的被連接件其受壓層應力徑向均勻分布，其受壓層面積軸向圓錐體變化[2]。如圖4所示。

圖4 被連接件受壓層面積的軸向變化

被連接件材料的彈性模量和厚度通過影響被連接件受壓層面積來影響其剛度，而受壓層面積的大小由圓錐角θm決定，聯合所擬合式(2)、式(3)，建立圓錐角θm隨被連接件材料的彈性模量和厚度變化的解析式：

(6)

被連接件的受壓層面積

(7)

根據胡克定律應力應變關系，被連接件的剛度為：

(8)

聯合式(4)～式(8)，螺栓連接的剛度為：

(9)

本節根據螺栓剛度的理論公式、被連接件剛度與其材料的彈性模量和厚度的關系建立螺栓連接的解析式。在相同的T/d的情況下，將通過式(9)的螺栓連接剛度計算結果與德國工程師協會(VDI)的實驗結果對比，如圖5所示。

圖5 螺栓連接剛度解析模型的對比驗證

對比結果表明：式9的螺栓連接剛度計算結果與德國工程師協會(VDI)的實驗結果誤差小于8%，式9的螺栓連接剛度計算較為準確。

3 結論

本文建立了螺栓連接的有限元模型，通過有限元仿真研究了被連接件材料的彈性模量與厚度對螺栓連接剛度的影響。得出結論如下：

(1)被連接件之間的彈性模量比值會影響被連接件剛度，與被連接之間的彈性模量相同的情況相比，兩者之間的比值越大，被連接件剛度也就會變得越小。剛度變小比例會受到螺栓直徑和被連接件厚度的影響，T/d越小，被連接件剛度減小比例就會越大。

(2)被連接件之間的厚度比值會影響被連接件剛度，與被連接之間的厚度相同的情況相比，兩者之間的比值越大，被連接件剛度也就會變得越小。剛度變小比例會受到螺栓直徑和被連接件厚度的影響，T/d越大，被連接件剛度減小比例就會越小。

(3)根據被連接件材料的彈性模量和厚度對被連接件剛度的影響，建立了受壓區域面積變化的公式，進而建立螺栓連接剛度的解析式。通過解析式的螺栓連接剛度計算結果與德國工程師協會(VDI)的實驗結果對比，誤差小于8%，螺栓連接剛度計算較為準確。