參數不確定下的磁懸浮雙轉子系統的動態特性*

張辰川,王念先,王東雄

(武漢科技大學 a.冶金裝備及其控制教育部重點實驗室；b.湖北省機械傳動與制造工程重點實驗室, 武漢 430081)

0 引言

航空發動機中以電磁軸承(Active Magnetic Bearings, AMB)支承的雙轉子系統取代傳統機械軸承支承的雙轉子系統，可顯著降低系統的復雜程度，減輕發動機重量，優化發動機結構，以及獲得更高的可靠性[1]，是未來高推重比、高性能的新型發動機的重要發展方向。

磁懸浮雙轉子系統作為未來新型航空發動機的關鍵組成部件，其動力學特性直接影響發動機的整體性能，而研究磁懸浮雙轉子系統的動力學特性關鍵在于AMB支承特性的確定。現有研究中，關于AMB的支承特性大多是通過電磁力模型獲取AMB的位移剛度系數和電流剛度系數，進而獲取控制系統的傳遞函數來得到AMB的支承等效剛度和阻尼[2]。趙雷等[3]通過建立PID控制算法下AMB的支承剛度和阻尼模型，并展開相關研究。但該方法只有在控制系統的傳遞函數確定時才可能對支承等效剛度和阻尼進行理論計算，對于傳遞函數不明確的非線性控制算法并不適用。Xu Y、Zhou J等[4-5]是基于已有對象展開，缺乏磁懸浮支承特性變化規律的系統描述，不能直接用來研究磁懸浮雙轉子系統的動力學特性。目前，由于魯棒控制下的AMB的傳遞函數并不明確，無法建立AMB的支承剛度和阻尼模型，進而導致AMB支承特性的不確定性，而對于AMB存在支承特性不確定性的系統可以通過傳統轉子動力學中的不確定量化的方法對其展開研究。

針對傳統轉子動力學中存在不確定性問題的研究方法主要有概率方法[6-11]、模糊方法[12-14]和區間分析方法。其中，區間分析方法對系統不確定參數的概率分布和樣本空間范圍要求不高，適合于磁懸浮轉子系統這種非隨機過程系統的動力學響應特性分析。Qiu Zhiping,Qi Wuchao等[15-17]通過區間攝動方法分析不確定結構的動態響應，得到了很多有益的結論。方勃、王軍等[18-19]用區間分析方法得到了固有頻率隨系統參數的變化關系，得出了轉子臨界轉速的變化范圍。Fu C等[20]通過四階Magnus級數展開式的區間精細積分方法，分析了不同不確定性參數下單轉子系統的瞬態響應。Ma Y等[21]通過區間數學和模態疊加算法分析了具有不確定但有界參數的轉子系統動態響應范圍。

可看出，利用區間分析法能有效的對存在不確定性的轉子系統的動力學特性展開研究，但以上研究所采用的轉子模型多為機械軸承支承的單轉子模型。而磁懸浮雙轉子系統中，由于中介軸承的存在，內外轉子間的動態耦合將十分嚴重，AMB支承特性的不確定性導致雙轉子系統的動力學特性更加復雜。因此，本文將區間法引入到磁懸浮雙轉子系統的研究中，將AMB支承特性的不確定性量轉化為‘未知而有界’的區間，建立基于區間法的磁懸浮雙轉子系統的動力學模型，對存在支承特性不確定性的磁懸浮雙轉子系統的動力學特性展開研究，從而為磁懸浮雙轉子系統的應用奠定基礎。

1 區間法建模

1.1 確定系統的動力學方程

多電航空發動機轉子部件的核心多為一個復雜的磁懸浮雙轉子系統，為了對磁懸浮雙轉子系統展開研究，設計了一種永磁軸承和電磁軸承混合支承的磁懸浮雙轉子實驗平臺，其主要結構如圖1所示，內轉子和外轉子通過兩個永磁軸承(Permanent Magnetic Bearing，PMB)作為中介軸承實現耦合，外轉子由兩個AMB懸浮支承。外轉子左端和內轉子右端分別通過彈性膜片聯軸器連接到兩臺高速電機上，允許一定的軸向偏移和角度偏轉，從而可以調節內外轉子的軸向自由度。

1、8. 中介軸承 2、7. AMB轉子 3. 內轉子 4. 圓盤2 5. 外轉子 6. 圓盤3 9. 圓盤1

根據圖1所示磁懸浮雙轉子系統的結構特點，采用考慮轉動慣量和陀螺效應的Euler-Bernoulli梁元件來描述轉軸，將內轉子離散為12個節點，外轉子離散為23個節點，并且將內外轉子的圓盤視為剛性圓盤得到如圖2所示的磁懸浮雙轉子系統的簡化模型。圖2中節點3和14與節點8和34所在的位置為中介軸承，節點19和節點30為AMB，節點10為內轉子圓盤，節點23和26為外轉子圓盤。

圖2 磁懸浮雙轉子系統的簡化模型

各剛性圓盤單元、彈性軸段單元和軸承單元的運動方程可參考文獻[22]。由圖2設內轉子的廣義位移矢量為：

(1)

式中，yk和zk(k= 1, 2, …, 12)表示內轉子節點1～12的平動位移，θyk和θzk(k= 1, 2, …, 12)表示內轉子節點1～12的轉動位移。通過組裝內轉子上各軸段和圓盤的運動方程，可得內轉子運動方程為：

(2)

式中，ML、JL和KL分別為內轉子子系統的質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣，ΩL為內轉子的旋轉角速度，QL為作用在內轉子系統的廣義力，在這里只考慮因圓盤偏心距引起的不平衡力,則圓盤不平衡力Qd可表示為：

(3)

式中，fu為不平衡量，基于上式則QL可表示為：

(4)

式中，Qd1為內轉子圓盤1的不平衡力。

同理，設外轉子的廣義位移矢量為：

(5)

其中，yk和zk(k= 13, 14, …, 35)表示節點13～35的平動位移，θyk和θzk(k= 13, 14, …, 35)表示節點13～35的轉動位移。通過組裝外轉子上各軸段和圓盤的運動方程，可得外轉子的運動方程為：

(6)

式中，MH、JH和KH分別為外轉子子系統的質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣，ΩH為外轉子的旋轉角速度，QH為作用在外轉子系統的廣義力,在這里只考慮因圓盤偏心距引起的不平衡力,則可表示為：

(7)

式中，Qd2和Qd3分別為外轉子圓盤2和圓盤3的不平衡力。

基于上述分析，并根據圖2所示AMB和中介軸承的節點編號，將AMB和中介軸承的剛度和阻尼加入到剛度矩陣和陀螺矩陣中即可得到磁懸浮雙轉子的運動方程，磁懸浮雙轉子系統的動力學方程可表示為：

(8)

式中，CAMB和CIB分別為AMB的阻尼矩陣和中介軸承的阻尼矩陣，KAMB和KIB分別為AMB的剛度矩陣和中介軸承的剛度矩陣，具體形式可參考附錄公式，為了簡化方程和方便描述，將磁懸浮雙轉子系統的運動方程用下式表示：

(9)

1.2 磁懸浮雙轉子系統的區間法模型

上述建立的是確定性的磁懸浮雙轉子系統運動方程。當傳遞函數不明確的情況下，蔣科堅等[23]通過在線測量方法得到了AMB的等效支承剛度和等效支承阻尼隨頻率變化的曲線。而通過該測量方法得到AMB的支承特性隨頻率的變化曲線相對復雜，在這種情況下，難以對AMB的支承特性進行定量化描述，這時，將AMB的支承特性的轉化為‘未知而有界’的區間就顯得尤為方便。

為考慮磁懸浮轉子系統支承特性的不確定性，本節將引入Chebyshev正交多項式的區間分析方法。

(10)

考慮不確定性的系統運動微分方程可表示為：

(11)

(12)

式中，u0為響應初值,uI為響應區間。這里采用Chebyshev正交多項式的區間分析方法來求解上式的響應區間,第一類Chebyshev正交多項式為：

Ck(x)=coskθ,x∈[-1,1]

(13)

式中，θ=arccos(x) ∈ [0,π]，k為非負整數。Ck(x)在x∈ [-1,1]上關于權函數ρ(x)=(1-x2)1/2正交。

Ck1,k2,···,kr(ZI)=cosk1θ1cosk2θ2···coskrθr

(14)

式(12)的響應解可用截斷的n階切比雪夫近似表示：

(15)

(16)

(17)

當不確定區間變量定義為在任意區間范圍內時，可通過下式轉化為標準區間：

(18)

2 區間法驗證

區間法在傳統轉子動力學的應用已有大量研究，為了更好的把傳統轉子動力學上的區間法應用到磁懸浮轉子系統的不確定問題上，首先為了保證區間方法的正確性與有效性，本小節將采用文獻[20]中的模型進行驗證，轉子模型如圖3所示，具體的確定物理參數可參考文獻[20]。對圖3的單轉子進行恒定角加速度的瞬態響應進行研究，研究過程中將角加速度取為55 rad/s2，時間步長取為1 ms。在轉子系統中求解響應的常用方法是Newmak-β法，本小節將采用Newmark-β法與Chebyshev區間分析方法相結合來驗證區間模型的正確性。

圖3 文獻[20]的單盤懸臂轉子模型

在對轉子系統的分析和研究過程中總會遇到一些不確定性的因素，例如測量不精確，加工水平與條件等因素，導致結構的材料參數、幾何特性和外荷載等實際存在的不確定性。對圖3所示的轉子，進行各個參數不確定下的瞬態響應研究,響應結果如圖4所示。考慮轉子系統不平衡量與軸承阻尼不確定參數下，單盤懸臂轉子加速啟動過程中的響應如圖4a、圖4b所示。轉子系統的支承剛度一直難以精確定義，材料特性也處于分散狀態，在這種情況下，考慮支撐1的剛度和楊氏模量的不確定性對轉子系統的影響，響應結果如圖4c、圖4d所示。考慮軸內徑與軸1的長度的不確定性對轉子系統的響應結果如圖4e、圖4f所示。

從圖4中可看出，在達到振動幅值的時間有些許誤差，這主要是求解響應的積分方法導致的，精細積分方法在求解長時長的積分中具有較高的計算效率和具有較高的計算精度，本文主要是用區間方法來研究支承特性不確定下的磁懸浮系統的動態特性，因此不考慮高效率和高精度等算法問題，從圖中可看出響應幅值的上下界和文獻[20]的計算結果基本一致，從而可知本文所使用求解響應區間方法是合理和有效的。

(a) 文獻[20]的仿真結果 (b) 本文計算結果

3 磁懸浮雙轉子系統的響應特性分析

針對圖2所示的模型，本節將分別從支承特性不確定性下的磁懸浮雙轉子系統加速啟動過程中瞬態響應和定轉速下的穩態響應的展開分析，其中磁懸浮雙轉子系統確定性的物理參數為:PMB的剛度為1×107N/m，阻尼為1×104N·s/m，軸單元的彈性模量E= 2.1 ×1011Pa，泊松比μ= 0.269，密度ρ= 7850 kg/m3。

3.1 瞬態特性分析

3.1.1 變剛度下的磁懸浮雙轉子系統的瞬態響應

從圖5可看出，轉子系統的響應出現了兩個振動峰值，其中低頻峰值對AMB的等效支承剛度變化較為敏感，隨著等效支承剛度的增加，低頻峰值位置會向高頻方向移動。同時，從圖中還可看出，當支承特性不確定性時，雙轉子系統的動態響應在低頻峰值附近受支承特性的影響程度較大，且動態響應的區間范圍隨等效支承剛度區間中值的增加而增大，而在高頻附近，支承特性的不確定性對系統動態響應的影響十分有限。

從圖6中可看出，在剛度區間1×105～1×106N/m低階頻峰值附近響應的不確定程度大致在10%左右，而在剛度區間1×106～1×107N/m低頻峰值附近響應的不確定程度會大幅度增長，最大達到40%左右，可見在該剛度區間內，低頻峰值附近響應受支承特性不確定的影響程度較大。在剛度區間1×105～1×107N/m內，低頻附近響應的不確定程度與剛度近似呈現冪函數的關系,擬合出來的關系式為:

(19)

圖5 圓盤1的瞬態響應

圖6 低頻峰值響應的不確定度與剛度的關系

表1 低頻峰值動態響應區間

3.1.2 變阻尼下的磁懸浮雙轉子系統的瞬態響應

(a) 剛度區間中值為5×105 N/m (b)剛度區間中值為5×106 N/m

從圖7中可知，當等效支承阻尼的區間中值位于500～8000 N·s/m時，阻尼的變化雖然不會改變峰值的位置，但是當阻尼增大時能夠很好的抑制低頻振動峰值，同時，通過三幅圖對比可知，當支承特性不確定時，低頻動態響應的區間范圍都隨著等效支承阻尼的區間中值的增大而減小。

通過3.1節不確定度β定義的方式，分別計算出圖7中各低頻峰值響應的不確定度，得出這三個等效支承剛度區間中值下低頻峰值響應的不確定度隨阻尼的關系如圖8所示。

從圖8中可以看出，在不同等效支承剛度區間中值下，低頻峰值動態響應范圍的不確定度都會隨著阻尼的增大而減小，并且不確定度最終都將趨近于10%左右。同時通過擬合可知，低頻峰值動態響應范圍的不確定度與阻尼也近似呈現冪函數變化的關系。

圖8 低頻峰值響應的不確定度與阻尼的關系

3.2 穩態特性分析

3.2.1 不平衡量位于內轉子圓盤上時的穩態響應

當不平衡量僅位于內轉子圓盤上時，取不平衡量大小fu= 1×10-5kg·m，轉速比rΩ為1.2，以接近低階振動峰值500 rad/s和遠離低階振動峰值1000 rad/s為例展開分析，內轉子圓盤1的穩態時域響應和相對應的軸心軌跡分別如圖9a、圖9b所示。為了研究不同轉速比下的影響規律，同時計算當轉速比rΩ為1.5時，對應角速度分別為500 rad/s和1000 rad/s下內轉子圓盤1的穩態時域響應和相對應的軸心軌跡如圖9c圖9d所示。

(a) 轉速為500 rad/s，轉速比為1.2 (b) 轉速為1000 rad/s，轉速比為1.2

從圖9中可知，當不平衡量僅位于內轉子上時，此時只存在內轉子轉頻，圖中軸心軌跡僅表現為單一的橢圓狀，且支承特性不確定的轉子都表現為正向渦動。同轉速比不同轉速下，轉速在低階臨界轉速附近時比越過低階臨界轉速后所導致的支承特性不確定的磁懸浮雙轉子系統時域響應和軸心軌跡的范圍要大，這也進一步驗證了前面分析的正確性。同轉速不同轉速比下，由于AMB支承特性的不確定性是相同的且只存在內轉子轉頻，故而轉子系統的時域響應以及軸心軌跡不會因為轉速比的變化而發生較大變化且時域響應和軸心軌跡的不確定性大致是相同的。

3.2.2 不平衡量位于內外轉子圓盤上的穩態響應

當不平衡量同時位于內轉子圓盤1和外轉子圓盤3上時，不平衡量大小都取為fu= 1×10-5kg·m，轉速比rΩ為1.2，同樣以接近低階振動峰值500 rad/s和遠離低階振動峰值1000 rad/s為例展開分析，磁懸浮雙轉子內轉子圓盤1的穩態時域響應和相對應的軸心軌跡分別如圖10a和圖10b所示，以及當轉速比為1.5時，內轉子圓盤1的穩態時域響應和相對應的軸心軌跡如圖10c和圖10d所示。

(a) 轉速為500 rad/s，轉速比為1.2 (b) 轉速為1000 rad/s，轉速比為1.2

從圖10中可知，當不平衡量同時位于內外轉子上時，此時同時存在內轉子轉頻和外轉子轉頻，圖中軸心軌跡均表現為內外交織的環形，且支承特性不確定的轉子都表現為正向渦動。同轉速比不同轉速下，轉速在低階臨界轉速附近時導致支承特性不確定的磁懸浮雙轉子系統的時域響應以及軸心軌跡的范圍也比轉速越過低階臨界轉速后所導致的時域響應和軸心軌跡的范圍要大，由于不同轉速引起內外轉子的轉頻不同，故而導致內轉子的時域響應和軸心軌跡前后表現出較大的差異。同轉速不同轉速比下，由于內轉子轉頻相同而外轉子轉頻不同，而導致內轉子疊加后的時域響應和軸心軌跡前后有所不同，但是同一時間點下，某位置坐標下的時域響應的范圍和軸心軌跡的不確定性程度大致是相同的。

4 結論

本文通過有限元法建立了一種磁懸浮雙轉子系統的理論模型，然后基于Chebyshev正交多項式的區間分析方法，分析了電磁軸承支承特性不確定的情況下，磁懸浮雙轉子系統瞬態特性和穩態特性，通過案例分析并對比仿真結果可以得出如下結論：

(1) 當支承特性不確定因子為10%時，在剛度區間為1×105～1×106N/m，低頻峰值響應的不確定程度基本穩定在10%左右，在剛度區間為1×106～1×107N/m，會增長到40%左右。且在剛度1×105～1×107N/m范圍內，低頻峰值附近動態響應區間范圍的不確定程度與剛度的變化近似呈現冪函數的關系。

(2) 阻尼增大能很好的抑制低頻振動峰值，同時也能降低支承特性不確定所帶來的低頻附近響應的不確定程度。當支承特性不確定因子為10%時，隨著阻尼的增大，低頻峰值附近響應的不確定程度最將趨近于10%。

(3) 通過對支承特性不確定下磁懸浮雙轉子系統的穩態分析可知，同轉速比下，轉速的變化會影響支承特性不確定下的磁懸浮雙轉子系統的穩態時域響應和軸心軌跡的范圍大小；同轉速下，轉速比對支承特性不確定下的磁懸浮雙轉子系統的穩態時域響應和軸心軌跡的影響會因為不平衡量的位置而表現出差異。