混合式教學模式在《高等數學》教學中的應用探討

甘小霞 覃菊瑩

（廣西大學 廣西·南寧 530004）

隨著信息技術的高度發展，信息技術的應用已滲透到教學的各個環節，高校教學的環境和條件也相應發生了改變。比如，依靠網絡技術，翻轉課堂的設計、微課視頻的錄制更靈活、更容易實現；學生對學習資源的訪問更靈活、更自主等。在傳統課堂教學的基礎上，出現了線上教學模式、線上線下相結合的教學模式等。其中，線上線下相結合的混合式教學模式得到了普遍的認可，它主張把線上教學和線下教學有機融合，充分發揮各自的教學優勢，既要體現教師引導、啟發、監控教學過程的主導作用，又要充分體現學生作為學習過程主體的主動性、積極性與創造性，二者優勢互補，從而獲得更佳的教學效果。這很符合高等數學教學改革的目標，因此，本文作者也根據《高等數學》課程的教學特點和教學目標，采用了線上線下混合式教學模式，并作了如下實踐研究。

1 線上教學實踐分析

2020上半學年特殊時期，線下課堂無法正常開展，傳統課堂受到了巨大的沖擊，幾乎所有的課程都只能采用線上教學進行授課。這期間，依托騰訊課堂，本文作者承擔的高等數學課程也采用了線上授課模式，結合慕課、網易公開課等開展課外學習補充，QQ群進行答疑討論等多種線上方式，打破地點限制，完成了疫情期間的線上線下教學工作。學生的學習感受調查反饋為：學習氛圍不濃，不容易進入學習狀態，聽課中更容易走神；但回放功能和線上答疑使得答疑解惑更靈活，對學習有一定幫助。教師實踐調查反饋為：課堂互動展開不如線下課堂，在激勵學生進一步思考問題、培養學生創新能力和應用能力這方面不如線下課堂。本次線上教學的線下考試結果：及格率低于往屆學生，考試結果也表明，線上教學的教學效果不如線下傳統課堂教學。

本文作者經過這次線上教學實踐，對線上、線下教學的優缺點有了進一步的實踐認識，積累下寶貴的線上、線下混合式教學實踐經驗。本次教學實踐也驗證了一個共識——在目前的信息技術條件下，線上教學仍無法取代線下教學，但可以成為線下傳統課堂的有益補充。

2 混合式教學的必要性

本文作者承擔的《高等數學》教學，是班級人數將近200人的大課堂，上下冊每冊課堂課時只有80課時，知識內容量大，相對教學內容而言，課堂學時較為緊張。若單靠傳統的課堂教學模式，課程內容的深度和廣度都無法得到充分的展開，線下課堂學時對課程內容的制約明顯。

而本次疫情期間線上教學實踐經驗表明，這個掣肘可以通過引入一定的線上課堂來打破，因為線上課堂不受空間、時間、人數的約束。同時通過多層次的混合式教學設計，可以幫助學生提高學習興趣、學習深度和廣度、學習效率、學習效果。

3 教學設計案例

將信息化教學設計應用到整個教學環節，需要教師在教學中，根據教學目標來明確各個教學環節的作用，分析傳統課堂的課前、課中、課后，線上、線下教學的結合點，明確每個設計的實際目標，以便把知識更好地傳授給學生，同時讓學生在學習知識的過程中獲得各方面能力的加強和提升。

以下以“定積分概念”為例，按照教學目標設計相應的教學環節。

（1）授課內容：定積分的概念及其性質。線下傳統課堂計劃學時：2學時。

教學目標：理解定積分的概念及幾何意義；掌握定積分的基本性質。

（2）課前設計：

設計目的：通過問題，引導學生去思考割圓術蘊含的數學思想，并嘗試自己給出進一步的猜想和實踐證明，培養學生的探索精神，化被動學習為主動學習。

采用模式：線上發布PPT文檔。

文檔內容如下：

三國時代數學家劉徽的割圓術

劉徽割圓術是建立在圓面積論的基礎之上的。他首先論證：將圓分割成多邊形，分割來越細，多邊形的邊數越多，多邊形的面積就和圓面積沒有差別了。越割越細，多邊形和圓面積的差越小。如此割了再割，最后終于和圓合為一體，毫無差別了。

6邊形的面積與圓面積相差很多。

內接正12邊形面積=6邊形面積+6個藍色三角形面積，向圓面積趨近了一步。

正24邊形面積=6邊形面積+6個藍色三角形面積+12個黃色三角形面積，更加接近圓面積了。

顯然：正12邊形面積＜正24邊形面積＜正48邊形面積＜正96邊形面積……＜內接6*2N邊形面積＜圓面積。

內接6*2N邊形面積→圓面積。

問題1：請給出割圓術每一次切割對應的數學表達式。

問題2：“如此割了再割，最后終于和圓合為一體，毫無差別了。”這句話僅是主觀的感性認識，還是可以給出數學的嚴謹證明？劉徽割圓術的數學原理是什么？

（3）傳統線下課堂設計：

設計思路：通過對課前導引問題的分析，激發學生的學習興趣，引導學生進行歸納總結、展開類比，掌握由有限到無限、由特殊到一般、逆推等數學思想方法，培養獨立探索的精神和養成嚴謹思維的習慣。

授課方式：以前置問題為導引，以啟發式教學為主。具體設計如下。

首先，一起探討課前導學中的問題：劉徽割圓術的思維過程、極限思想的體現及其嚴謹性等。

記圓的半徑為r，

分割：當切割為正n邊形時，

提問：無論怎么割圓，總還是存在誤差。割得越多，誤差就越來越小嗎？你怎么判定誤差越來越??？能給出誤差的數學表達式嗎？是個單調數列嗎？割到的正多邊形的面積極限一定是圓的面積嗎？

通過上述一系列問題，逐步將學生引導到在極限存在證明中的單調有界定理應用，并通過對劉徽割圓術和阿基米德割圓術夾的比較，揭示夾逼思想和夾逼定理在極限計算中的應用，以及計算機實現近似計算的算法設計，比較兩種算法在人工計算和計算機計算中的優劣。從過去到現在，從數學思想、數學邏輯的縝密性到計算機技術的應用，帶領學生體會古代數學家的偉大和現代科技的發展。

其次，再與學生一起類比推廣到課前導學中的問題：由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成圖形的面積可以怎樣解決。

分割：我們先對[0,1]區間進行分割，如分為n等分，

求極限：對這個和式求極限

在這過程中，主要通過均分，并對剖分區間依次取左端點、右端點，區間內任意取點來進行高度計算，通過計算過程和計算結果的比較，將單調有界定理、夾逼定理等知識點的應用再次進行直觀展示，證明所求極限即為所求面積，進而將任意分割，分割足夠小，任意取點的概念提出。

最后，推演至一般曲線構成的曲邊梯形面積的求解問題，物理背景提出的變速直線運動的路程問題的計算，提煉出這些不同背景的問題的解決思路，都蘊含有分割、求和、取極限的思想，從而順理成章地得到定積分的定義。

（4）課后環節設計：

其次，根據批改中發現的問題，再適當安排一定量的線上課堂習題的講解和答疑，線上課堂可以反復回放，學生可以根據需要隨時觀看。

本節教學案例設計，主要目的是讓學生親歷知識的發現過程。教師在引導學生獲取知識的同時，指導學生進行探究式學習，讓學生充分參與教學活動，教授知識的同時培養學生的邏輯推理等能力。

4 結語

一個完整的線上、線下，課前、課中、課后的教學設計，必須依據教學定位有目的地進行。不論哪一種教學模式，只要是從學生的角度出發，以學生的學習和發展為中心，采用適當的教學手段和教學方法，在現有的軟件、硬件支撐下去進行教學設計，營造出好的學習氛圍，能更好地實現教學目標，就是好的教學模式。