CD播放器與數學

2003年，德國《世界報》不畏艱難，把數學題材引入報紙專欄，結果取得巨大成功。根據該專欄100篇文章結集的圖書《五分鐘數學》風靡全球，已被翻譯成英、法、俄、意、日、韓、土等十幾個語種。本書根據該書持續修訂后的第四版譯出。本書所有文章講了三個方面的問題，分別是數學是有用的，數學是迷人的，數學是自然的語言。這本書為我們挖掘了當代生活中蘊含的豐富有趣的數學素材，揭去了概率論、模算術、組合論、集合論、極值等高深概念的神秘面紗，也講述了數學發展史上的傳奇故事和偉大人物，啟發我們要繼續沿著數學道路去理解這個世界。

編碼與樣本理論

在普通家庭里可以看到的所有電器中，CD 播放器絕對是數學含量最高的裝備，它在兩個方面非常重要。首先，原始的連續信號，例如柏林愛樂樂團演出的錄音，被進行數字化處理，轉換成一個由0和1組成的有限集合。它每秒鐘的信號被采樣大約44000次——關于信號處理的定理告訴我們，這種水平的采樣，已經捕捉到人類耳朵能聽出來的所有細節。

無論是制作CD的過程，還是播放CD的過程，錯誤的產生都是不可避免的：也許CD上有一塊污漬，也許它被貓撓出了一道印子。想象一下：如果在傳輸幾兆的數據時，僅僅一個數位出現錯誤，就導致整個文件數據的丟失，那是多么巨大的問題！因此，CD播放器需要能夠“容忍”小的錯誤，這就需要用到更進一步的數學結果。

如果我們希望CD播放器的效果都很完美，那么設備和碟片都將昂貴到難以承受。

但是問題可以在另一種意義上得到解決，其奧妙就是“編碼理論”a——我們應該怎樣傳送數字化信息，才能使接收者總能讀出正確的信息，即便傳輸中出現一些錯誤也不例外？

如果你想發送十個字母長的摩爾斯電碼，但信號可能因編碼錯誤或天氣干擾而變形。

那么，你需要怎么做，才能夠保證你原始的十字信息能夠被完整地送達呢？第一個出現在我們腦海里的想法很可能是：發送者重復不斷地發送，接收者則將重復頻率最高的信息當作正確信息。對CD播放器而言，這種辦法將會增加太多太多的工作。為了更有效地解決問題，人們發明了一種技術，使得在實際傳輸的“強健”b版信號中，信號長度并沒有顯著的增加。

同時，傳輸模式已經變得對錯誤不敏感，即便出現相當程度的干擾，重現的聲音質量也不受影響。例如，甚至劃痕嚴重的CD也可以播放，并且聲音聽起來也沒有什么瑕疵。

很可惜，黑膠唱片沒有相應的技術，它上面的一粒灰塵都會被聽出來。

采樣理論

對音樂或其他聲音信號的原始資源，為了使它們能夠進入我們家里的音響系統，我們需要完成幾個步驟。首先，聲音需要數字化，也就是轉換成很長很長的，由0和1組成的序列。這個過程把信號從模擬的或說是連續的，轉換成數字化的，或者說是離散的形式。這是決定性的一步，因為只有數字化的材料，才不會在復制和處理過程中出現品質的降低。

數字化之所以可能，是因為我們人類聽覺的不完美。如果我們可以聽到任意高頻的“聲波”，那就不可能有CD存在。但事實上，我們聽不見超過20千赫的超聲波，所以聲音的數字化才得以成功實現。數字化過程分為兩步：

信號首先經過濾波器，信號中人類聽不到的高頻率部分被濾去。對我們的耳朵來說，所得到的結果與原來的信號沒有區別。

接著，我們利用這樣一個事實：只要每秒采樣的次數足夠，限定頻率范圍內的信號就可以被數字化，并可以根據后者精確地重建。

上述第二點所陳述的事實就是“采樣定理”，其準確的描述是這樣的：如果一個信號由若干頻率組成，其最高頻率為f。那么，只要采樣時間間隔不大于12f，信號就可以（根據采樣結果不失真地）重建。

例如，如果信號中最高的頻率是10千赫，那么，采樣間隔必須不大于120000秒。這就是說，每秒采樣次數要達到20000次。

這么說好像有些抽象，但這個定理可以用另一個領域的例子來說明。假設你有一個錄像機，它每秒錄像的幀數可以設置。你家小孩正坐在秋千上，而你正在給她錄像。在正常的幀數設置下，錄像會真實地重現小孩蕩秋千的場景。但如果你把每秒錄像的幀數設置得太低，場景就會被大大地歪曲：在錄像中秋千只移動了一點點，而事實上錄像機錯過了秋千一個完整的來回。采樣定理可以被比作錄像機的使用說明：對秋千如此這般的往返頻率，錄像機的每秒幀數必須達到如彼那般，否則就無法真實地錄下蕩秋千的場景。

[德]埃溫哈德·貝蘭茨

柏林自由大學數學教授，主要作品包括《無處不在的數學》等。

吳朝陽

南京大學數學系副教授，科普作者、譯者。