關于玻爾對應原理的思考

張旸

(新疆醫科大學醫學工程技術學院 新疆 烏魯木齊 830000 )

在系統的量子力學建立之前，玻爾通過新的假設并借助經典物理學的結論得出了氫原子能級的精確公式[1].其中，對應原理發揮了很重要的作用，它的基本內容是：在大量子數極限下，量子體系的行為將漸進地趨于經典力學體系[2].

現在我們已經知道，量子力學和經典力學分別統治著微觀世界和宏觀世界，二者的理論形式有巨大差別，微觀與宏觀兩個世界似乎被割裂了.但世界只有一個，必須有一個橋梁將二者連起來.對應原理就是這樣一個橋梁.而且，如果把它的含義拓展開，就產生了理論形態可隨物理條件的變化而變化的重要思想.下面舉幾例進行說明.

1 單體的量子力學與經典力學的過渡

1.1 經典力學與量子力學的分界

宏觀與微觀是相對的概念，因此很難直接通過尺度確定量子效應是否顯著.普朗克將今天我們所說的普朗克常數稱為作用量子，其實就給出了一個判據.玻爾在一部文集的緒論中也說道：“這些理想化在把我們的普通感官印象條理化時的適用性，依賴于實際上可以認為是無限的光速，并依賴于作用量子的微小性”[3].經典力學中哪個量對應于作用量子(普朗克常數)呢？可以想到同名的作用量

(1)

它是動量點乘位移的一個路徑積分.量綱恰好與普朗克常數一致.若力學體系作用量遠大于普朗克常數，則適用于經典力學；若作用量與普朗克常數接近或小于它，則成為量子體系.

對示波器中運動的電子與原子中的電子的作用量做一比較.

1.1.1 示波器中的電子

按加速電壓為千伏數量級，根據電子的質量(me=9.1×10-31kg)和電荷量(e=1.6×10-19C)，可求出動量.而運動長度量級為L～1 m.再按公式S～p·L可得作用量的數量級為10-23J·s≈1011?.此時可忽略量子效應.實際上示波器中電子的運動就是按照經典力學進行計算的.

1.1.2 原子中的電子

以氫原子為例，由于角動量滿足

mvr=pr=n?

(2)

所以當n不大時，作用量顯然與普朗克常數量級一致.此時，量子效應不可忽略.

同樣是電子，由于作用量的數量級不同，支配其運動規律的物理理論迥然不同.可見作用量判據的重要性.

1.2 不確定關系(測不準關系)

海森堡不確定關系(測不準關系)直觀地給出了經典力學的限度，又是用普朗克常數表示的，即

(3)

那么當體系作用量遠大于普朗克常數，則可以認為?→0，這時不確定關系消失，質點的動量和坐標可以同時確定.量子效應消失，成為經典體系.

2 多體系統的量子力學到經典力學的過渡

多體系統的量子效應除了其內部每個粒子運動的量子特征之外，還有一個令人驚異的特征：全同粒子的不可分辨性.使得經典體系適用于玻爾茲曼統計，而量子體系適用于玻色統計或費米統計.那么量子體系在什么情形下過渡為經典體系呢？這里又有對應原理思想的體現.

設能量εl包含的粒子的運動狀態數為ωl(簡并度)，粒子數為al.則3種分布分別為[4]

(4)

其中α和β與系統的化學勢及溫度有關.由上式可以看出，當eα?1時，玻色分布與費米分布都過渡為玻爾茲曼分布，也就是量子體系過渡為經典體系，稱為經典極限條件.進一步，可將它的具體物理要求表示出來.考慮理想氣體，經典極限條件化為[4]

(5)

變形，可得

(6)

(7)

不等式左邊依然是體系內單個分子熱運動的作用量，右邊是普朗克作用量子.可見，多體系統的量子力學規律向經典力學規律過渡的關鍵依然是普朗克常數.只是，這時影響作用量的是溫度和粒子的平均間距.

3 總結

由上文的分析可以看到，量子力學與經典力學并不是毫不相干的兩個理論體系，在一定條件下可以發生過渡.玻爾對應原理的核心內容正是相信這樣一種過渡是對量子力學理論的正當要求.就是說，經典力學可以看做量子力學理論在體系作用量遠遠大于普朗克常數時的極限情形.對應原理的思想還可進一步推廣，相對論到經典力學的過渡、波動光學到幾何光學的過渡……一般地，任何更深刻的物理理論都應當在一定條件下過渡為較為淺近然而在一定范圍內高度精確的舊理論.這種思想在探尋新理論的過程中可以提供重要的理論指導.