突破直線過定點問題中的運算障礙—以2020 年全國卷Ⅰ解析幾何題為例

>>>張曉立

圓錐曲線中的定點問題一直是近幾年高考的熱點， 很多同學做此類題時都有基本的解題思路，但大部分人對于其中的運算卻心存畏懼，對于運算條件的分析、式子結構的合當變形、運算方向的把握等能力有所欠缺.

2020 年全國卷Ⅰ第20 題考查的是圓錐曲線中直線過定點的問題，考生的解法主要有兩種：第一種是直接設出直線CD 的方程x=my+n，通過運算得出m，n 的關系， 再代回直線方程中，即可求出直線CD 所過的定點，難點是整合題中的條件；第二種是先設出主動點P 的縱坐標y0，進而用y0表示出從動點C，D，再求出直線CD 的方程，難點是運算化簡.

無論是第一種解法還是第二種解法， 考生的解題障礙多集中在后面的運算上，面對冗長的式子、繁雜的結構，考生往往會產生畏難情緒，雖然有解題思路，卻在運算中找不到出口，導致丟分.那么，該如何突破這些運算障礙呢？可從以下幾點著手解決.

一、目標驅動策略

（2020 年全國卷Ⅰ，理20 題）已知A，B 分別為橢圓的左、右頂點，G 為E 的上頂點，.P 為直線x=6 上的動點，PA 與E 的另一交點為C，PB 與E 的另一交點為D.

（1）求E 的方程；

（2）證明：直線CD 過定點.

分析：第一問E 的方程為x29 +y2=1.方法常規，運算簡單，不再詳細說明.

第二問采用直接設直線方程的方法： 若直線CD 斜率不為0 時， 設直線CD 的方程為x=my+n，C（x1，y1），D（x2，y2） .由題意可知-3＜n＜3.

得（m2+9）y2+2mny+n2-9=0.

難點：很多學生止步于3y1（x2-3）=y2（x1+3），因為這個式子不易整理成只含y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2的結構，從而無法結合韋達定理得出m，n 的關系.

應對策略1：

我 們 期 待 式 子 中 出 現y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2這種結構，將3y1（x2-3）=y2（x1+3）化為這里y1，y2是以比的形式出現的，而我們期待的是積y1y2的出現.又，D 點在橢圓上，滿足

兩式相 乘 可 得27y1y2=-（x1+3）（x2+3），即27y1y2=-（my1+n+3）（my2+n+3），此時兩側均符合我們期待的結構特點， 可順利進行后面的運算：

將①代 入 得（27+m2）（n2-9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0.

應對策略2：

對 于3 y1（x2-3）=y2（x1+3）， 也 有 同 學 將x1=my1+n，x2=my2+n 代入上式， 整理為2my1y2=（9-3n）y1+（n+3）y2，但這個式子并不符合我們的期待，因為9-3n 和n+3 并不一定相等，所以無法合并出y1+y2來，但危機中往往蘊含生機，試想如果我們從9-3n=n+3 入手去猜滿足題意的n 的值，會猜想然后證明能夠滿足題意就可以了.

所以2my1y2=（9-3n）y1+（n+3）y2，即滿足題意。 此時直線CD 的方程為，即直線CD 過定點又直線CD 斜率不為0 時，則直線CD 的方程為y=0，過點綜上，直線CD 過定點

通過以上分析， 我們可以發現運算方向的重要性，由目標驅動聯想，去構造，去猜想，這樣可以使我們的運算方向變得清晰明確.

二、特殊位置引領

第二問證明直線CD 過定點，也可以用P 點縱坐標來表示出直線CD， 可設P（6，y0），C（x1，y1），D（x2，y2）. 則直線AP 的 方程為（x+3），即：

難點：學生得到C，D 坐標，用C，D 表示直線CD，之后對上述方程進行化簡整理，這個環節存在很大的困難，知道思路，但該方程結構復雜，式子繁瑣，而考場時間有限，很多人信心不足，沒有勇氣繼續做下去。

應對策略1：特殊位置分析

當直線CD 斜率為0 時，直線CD 的方程為：y=0；當直線CD 斜率不存在時，滿足，即y02=3，此時直線CD 方程為兩直線交點為在找到后，再證明點在直線CD 上，這樣運算方向就會更加明確. 若用向量和共線來證明一般直線CD 也過T 點的話， 不僅可以避免對斜率存在與否的討論，而且運算結構形式也發生了改變，所得式子直接可以約掉分母，大大降低了運算難度，證明過程如下：

顯然成立，結論得證.

應對策略2：動態對稱分析

除了剛才的特殊位置分析法之外， 我們還可以通過動態分析來找到定點T 的特征，動點P 在直線x=6 上運動， 對于任意一個位置的點P， 總能找到一個點P0， 使P0與P 關于x 軸對稱，相應地也就可以找到C0和D0，使C0與C、 D0與D 關于x 軸對稱，那么直線C0D0與直線CD 也是關于x 軸對稱的，則它們的交點必在x 軸上.這種動態分析也可以理解為對稱性分析，可挖掘出定點在坐標軸上這一特征. 對于直線過定點問題，我們常通過動態對稱分析、特殊位置分析找到交點，引領方向，再去證明其他情況下這個特殊點仍然成立，運用從特殊到一般的思想使我們的解題方向更加明確，進而提高解題的效率和準確性.

從2020 年的高考題來看，解析幾何題的解答思路比較常規，難點是運算，目標驅動策略和特殊位置引領策略都可以為我們提供運算方向，優化運算形式，使我們在解題中變被動為主動，提高解題效率.

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