數(shù)形結(jié)合 培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力

周小青

（福建省廈門市康樂小學(xué)）

推理能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的核心概念，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。發(fā)展學(xué)生的推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，并能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。

一、以“形”促“觀”：培養(yǎng)學(xué)生推理能力的前提

推理是由此及彼的推演過程，沒有觀察就沒有辦法了解“此”與“彼”之間的關(guān)系，就談不上推理。因此，觀察是推理的重要前提。通過觀察找到“此”與“彼”的關(guān)系并進(jìn)行推理，直觀圖是一個很重要的載體。教學(xué)中，要通過直觀圖的“形”，促進(jìn)學(xué)生更好地觀察，使其將抽象的知識和關(guān)系直觀化，并用直觀圖進(jìn)行表示。這樣，學(xué)生就能在直觀觀察中發(fā)現(xiàn)問題，引發(fā)思考，從而培養(yǎng)推理能力。

如教學(xué)“植樹問題”一課時有這樣一道題：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？教學(xué)中，可以先讓學(xué)生畫圖表示如何栽種，并寫出答案。然后，引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考他們得出的三種種法有什么相同與不同，并提問：“你能利用圖示來解釋為什么只栽一端和兩端都不栽的列式依據(jù)嗎？”學(xué)生借助圖，從上往下觀察（也可以從下往上觀察），很快發(fā)現(xiàn)樹與間隔的關(guān)系，利用間隔與樹的一一對應(yīng)關(guān)系解釋三種不同種法的列式道理。最后，引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行比較，從相同處發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從不同中找本質(zhì)區(qū)別，引發(fā)思考。學(xué)生就會明白：觀察時要注意方法，做到有序觀察，有重點地觀察，多角度地觀察。這樣，學(xué)生在觀察中獲得了豐富的感知，為推理做好了準(zhǔn)備。

二、以“形”促“思”：培養(yǎng)學(xué)生推理能力的保障

數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性。學(xué)生只有將數(shù)學(xué)知識真正內(nèi)化為自己的認(rèn)知，才能完成由“此”及“彼”的推理過程。由此可見，圍繞核心問題進(jìn)行數(shù)學(xué)思考是學(xué)生推理的保障。教師可以把抽象的數(shù)學(xué)知識借助圖形變得直觀，激發(fā)學(xué)生的思考，讓思考有目的、有對象、有方向，從而找到知識間的本質(zhì)聯(lián)系。

在“長方體體積”一課的教學(xué)中，我提出了以下核心問題引導(dǎo)學(xué)生思考：回憶一下長方形面積計算公式是如何推導(dǎo)的？長方體體積我們該怎樣進(jìn)行探究？長方體的體積會是怎樣的？

當(dāng)學(xué)生建議也可以用拼擺的方式來推導(dǎo)出長方體的體積時，我順勢出示幾個相同的小正方體組成的長方體，學(xué)生借助直觀圖猜測、推理出了長方體的體積等于長×寬×高。如何驗證用經(jīng)驗推斷出的結(jié)論是否正確？學(xué)生有了不同的驗證方法：

（1）利用手中的長方體再次擺一擺，通過觀察記錄和計算，發(fā)現(xiàn)：每排的數(shù)量×排數(shù)×層數(shù)=小正方體個數(shù)。也就是：長×寬×高=長方體體積。

（2）借助直觀圖，可以看成長方體是多個相同的長方形疊加在一起，由長方形的面積就是面積單位的累加類比推理出長方體的體積是體積單位的累加，從而推導(dǎo)出長方體的體積=長×寬×高。

這兩種方法都利用直觀圖讓長方體體積計算回到了源頭，抓住了長方體長、寬、高與體積之間的關(guān)系。這個過程中利用演繹推理進(jìn)行驗證，都觸及本質(zhì)聯(lián)系，都是在于讓學(xué)生利用直觀圖形啟發(fā)思考：是什么？為什么？循著問題一步一步完成推理，培養(yǎng)了學(xué)生的歸納推理能力。

三、以“形”促“說”：培養(yǎng)學(xué)生推理能力的關(guān)鍵

語言表達(dá)使圖形語言過渡到符號語言，有了清晰的語言表達(dá)，才能進(jìn)一步提煉為符號語言。通過語言表達(dá)把數(shù)學(xué)本質(zhì)關(guān)系顯示出來，這是數(shù)學(xué)推理的關(guān)鍵。在數(shù)學(xué)的教學(xué)活動中，要把數(shù)學(xué)結(jié)論與證明數(shù)學(xué)結(jié)論有機結(jié)合，讓學(xué)生更好地感悟邏輯推理的形式和道理，在感悟的基礎(chǔ)上積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗，逐步形成個性化的、合理的思維模式。

以“形”促“說”重在思維的外顯性，重在表達(dá)學(xué)生自己的思考過程、推理過程或揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律等，重在質(zhì)的分析。表達(dá)時，可借助圖形的直觀來理清思路，也給聽者直觀的表象。如兩位數(shù)乘一位數(shù)（進(jìn)位）16×3，我先讓學(xué)生借助具體操作表達(dá)抽象的豎式計算，學(xué)生邊操作邊把計算的每一步過程表達(dá)出來：先算6×3等于18，個位寫8，向十位進(jìn)1，3個十加上1個十，有4個十，十位上寫4，所以16×3等于48的推理過程。接著，重點提問：為什么十位是4而不是3？讓學(xué)生借助圖說清算理，從而突破進(jìn)位的難點。

推理的本質(zhì)是關(guān)系的表達(dá)，找到本質(zhì)聯(lián)系，推理就水到渠成。因此，教師要加強學(xué)生以“形”促“說”的訓(xùn)練，說的過程要凸顯思維的過程，重視思考問題的表現(xiàn)方式，讓學(xué)生能有序地、較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)邏輯關(guān)系。

四、以“形”促“構(gòu)”：培養(yǎng)學(xué)生推理能力的途徑

這里的結(jié)構(gòu)一方面指的是數(shù)學(xué)知識具有結(jié)構(gòu)性，是各個組成部分的搭配和排列。另一方面也指學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，在學(xué)習(xí)過程中有自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個螺旋式上升的過程，前后知識彼此間緊密聯(lián)系，有一張嚴(yán)密的整體結(jié)構(gòu)網(wǎng)。如何找到知識之間的聯(lián)結(jié)點，形成關(guān)系網(wǎng)，外顯新知識的本質(zhì)屬性，是促進(jìn)學(xué)生推理能力發(fā)展的重要途徑。直觀圖猶如支架，能幫助學(xué)生順利找到聯(lián)結(jié)點，進(jìn)行推理；經(jīng)過推理后獲得的新知識又納入新的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)中，讓學(xué)生不斷完成同化和順應(yīng)的過程。

如在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”一課中，可以圍繞“異分母分?jǐn)?shù)如何計算”“為什么這樣計算”這兩個核心問題進(jìn)行教學(xué)。先利用直觀圖，讓學(xué)生理解每一份大小不相同無法直接相加減的道理。如何做到每一份大小都相同呢？學(xué)生提出借助通分，就可以把異分母分?jǐn)?shù)變成了同分母分?jǐn)?shù)，因此利用如下這個簡單明了的結(jié)構(gòu)圖，就能很清晰地看出異分母分?jǐn)?shù)與同分母分?jǐn)?shù)的聯(lián)結(jié)點：通分（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)），就可以變成同分母分?jǐn)?shù)加減。把異分母分?jǐn)?shù)加減通過順應(yīng)（通分）納入到同分母分?jǐn)?shù)的知識結(jié)構(gòu)中，讓新知變得簡單，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。

簡單明了的結(jié)構(gòu)圖示，不僅揭示了新舊知識的關(guān)系，也顯示了借助聯(lián)結(jié)點進(jìn)行推理的過程與方法。

學(xué)習(xí)是一個不斷經(jīng)歷“問題—探究—解決”的過程，這個過程往往要由推理來完成。而數(shù)學(xué)的抽象性需要借助“形”的直觀來幫助理解，只有找到已知和未知的內(nèi)在聯(lián)結(jié)點，才能讓學(xué)生真正做到知其然并知其所以然，逐步形成推理能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。