初中幾何最值問題探究

伍法正

摘要：近些年，各地的中考題或是中考模擬試題中，幾何最值問題頻頻出現，大多數學生覺得這類問題比較難甚至對這類問題無從下手。

關鍵詞：幾何;最值;動點

1 學情分析

知識儲備：七、八年級時，學生已經學習了“垂線段最短”，“兩點之間，線段最短”以及“三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。但是學習的只是簡單的知識點，并沒有掌握透，更不能熟練應用。

2 教學目標

（1）從生活中的“貧農引水”問題開始，探究并解決初中常見的幾個幾何最值問題。

（2）培養學生觀察、分析、解決問題以及獨立思考和合作交流的能力，滲透數學思想，提升學生的數學核心素養。

（3）通過解決生活中的數學問題，感受數學來源于生活;通過解決數學問題，讓學生感受數學的魅力，體驗成功的樂趣。

3 教學重點與難點

重點：通過構造、建立幾何最值模型，求出幾何最值。

難點：找到問題的切入點，建立合適的最值模型。

4 教學準備

幾何畫板

5 教學過程設計

活動1? 溫故舊知1

一位貧困老農夫家前有一條河l，他要把河中的水引到他的農田A進行灌溉，他想如何修渠道使渠道最短，最省力，最省錢？詩云：小河流水嘩啦啦，修渠引水到我家。我家本是窮哈哈，如何修渠少點花？

設計說明：1、從學生的最近發展區出發，通過“貧農引水”問題，回顧知識點：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱"垂線段最短”。引入本節課的知識。

問題1? 如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，點Q是邊AC上的一動點，則BQ的最小值為_________.

學生1：過點B作AC的垂BG，垂線段的長度4即為所求。

設計說明：這個問題基本上所有的學生能解決。通過這個問題，激活學生已有經驗，鞏固“垂線段最短”這一知識點。

變式：如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC 的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是_________.

學生2：和上面的題一樣，過點B作AC的垂BM，垂線段的長度4即為所求。

老師（追問）：你能解釋一下嗎？

學生2：在邊AC上總能找到一點N’，使得MN’= MN，只要求BM+MN’的最小值即可，而BM+MN’的最小值就是垂線段BG.

設計說明：這3個問題所用到的基本知識點還是“垂線段最短”，層層推進，難度依次加大。學生可以通過轉化，將兩條線段的和問題轉化為垂線段問題，滲透化歸思想。讓學生體驗成功的樂趣，獲得思考的成果。

活動2? 溫故舊知2

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說："白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河. "詩中隱含著一個有趣的數學問題：如圖：將軍每天從軍營A出發，先到河l邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？為什么？

設計說明：1、從學生的最近發展區出發，從原始的“將軍飲馬”問題開始，鞏固所學知識。

2、回顧“將軍飲馬”問題所用到的兩個知識點：① 三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;② 兩點間線段最短;

問題2? 如圖，正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點，P是BD上一動點。連結EP，CP，則EP+CP的最小值是______;

學生3：連接AE，因為A、C兩點關于BD對稱，PA=PC，所以EP+CP=EP+AP，EP+AP的最小值為AE的長。

追問：那△PEC周長的最小值是多少？

學生4：因為EC的長不變，只要EP+CP最小，則△PEC的周長最小。所以△PEC的周長最小值為3+。

變式：如圖，正方形ABCD的邊長為6，一寬為1、長度足夠的矩形EFGH的兩頂點E、F落在直線BC上，矩形EFGH的邊HE⊥BC，交正方形對角線BD于M、N兩點，連接CM、CN則CM+CN的最小值是______;

學生5：將點C沿著DB的方向向下平移個單位到C’，則C’N=CM. CM+CN=C’N+CN，CN+C’N的最小值為AC’的長。

設計說明：鞏固“將軍飲馬”問題所用到的知識。隨著問題的層層推進和難度的的加大，給學生灌輸化歸思想，讓學生體驗成功的樂趣。

活動3? 探索新知1

設計說明：學習鞏固了“將軍飲馬”問題（兩定點一動點），加深難度，引入兩動點一定點的問題。引導學生將兩動一定問題轉化“將軍飲馬”（兩定一動）問題，滲透化歸思想。

結論1：找準“兩定一動”和“兩動一定”問題的切入點，利用”① 三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;② 兩點間線段最短”知識點，解決問題。

活動4? 溫故舊知3

如圖，已知線段OA的長為6，⊙O的半徑為4，點P為⊙O上的一動點，求AP的最大值和最小值。

學生6：最大值為10，最小值為2

設計說明：通過這個最基本的圖形，讓學生自己回顧或者總結出：圓外一點到圓上的點的距離最值問題，AP的最大值等于OA+r，最小值等于OA-r。

問題3 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是多少？

學生7：因為無論點B’落在何處，B’E都會等于BE，所以B’會落在以點E為圓心，2為半徑的圓上，所以B′D的最小值為DE減去半徑2.所以B′D的最小值為-2。

變式：如圖，邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′B長度的最小值

學生7：和上面的問題類似，因為無論點A’落在何處，A’M都會等于AM，所以B’會落在以點M為圓心，2為半徑的圓上，所以A′C的最小值為CM減去半徑2.所以B′D的最小值為-2。

設計說明：通過這兩個問題，讓學生找到解決圓外一點到圓上一點的距離最小值的途徑，看到問題的本質，讓學生熟悉問題，感受成功，體驗學習的樂趣。

活動5? 知識小結

（1）學生自己歸納小結本節課的主要知識要點

（2）老師補充，提升高度。

設計意圖：學生自己梳理、小結本節課的知識要點，形成體系，有助于學生理解掌握本節課的知識。學生總結，可以提高學生的總結歸納能力和語言表達能力，培養學生的數學素養和綜合素養。

6課后練習：

1、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為???????? .

2、如圖，平面直角坐標系中，分別以點A（-2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動點，P為x軸上的動點則PM+PN的最小值為

3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為

4、已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC， ∠CAD=45°，AC=4，E是線段BD的中點，則CE的最小值是

5、如圖，已知∠MON=30，B為OM上一點，BA⊥ON于A，四邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動點，連結CP，將CP繞點C順時針方向旋轉90得CE，連結BE，若AB=4，則BE的最小值為

設計說明：這5道練習，是本節課知識的鞏固。后兩道題相對前三道要難。通過不同層次的問題，體現分層教學，盡可能使不同層次的學生都能有所收獲。