探討分類討論思想在高中數學函數解題中的應用

李英美

摘要：高中數學題相較于初中而言，綜合性顯著提升，學生在學習過程中會感到有一定的難度。為了幫助學生提高解題效率以及解題正確率，教師可以傳授學生函數分類討論思想。函數是高中數學教學的一條主線，它在高中數學教學中起著舉足輕重的作用。在實際應用中，功能知識滲透到很多方面，如物理、化學、計算機等。比如，函數運算可以用于調節電力系統，而函數關系可以用于地質勘探，在此基礎上，函數知識的學習在其中扮演了重要角色。

關鍵詞：分類討論思想;高中數學函數解題

分類討論思想在對數理問題的研究與求解中，如果問題給出的目標無法統一、以此分析，依據其性質的相似性，將其歸類并加以分析最終得出結論，從而最終得到一個完整的解答。它在簡化研究對象和發展思維方面起到了很大的促進作用。因而，對學生進行分類思想探討的數學命題在高考中具有舉足輕重的作用。

一、對課本的內容進行深入挖掘

在高中數學課堂上，把“分類討論思想”的概念貫穿于高中數學課堂，是指導學生進行課堂教學的主要依據。因此，要使其更好地滲透到課堂教學中去，就必須深入挖掘材料的內涵，提煉出分類討論的思想內涵，將同學們進行類比劃分，并逐個地進行討論，這樣才能使學生更好地了解所學的知識。在這一階段，教師要對教科書的內容進行認真的閱讀與學習，并自覺地將“分類”的思想滲透到課堂教學中去。在教學過程中，要給學生清晰的劃分目標，突破常規的思維方式，以“分類”思維為導向，有效地提升了學生的整體素質與能力。比如，在講解“空間幾何體的構造”時，老師可結合分類思想的滲透和探討。在課堂上，老師利用多媒體展示了金字塔，交通錐，方便面盒，電源棒，一次性紙杯，杯子，足球，燈罩，瓷磚屋頂等。讓學生將各種物體進行歸類，歸納出各種物體的共同點。在此期間，學生能夠理解旋轉體以及多面體的不同之處及結構特征。通過對棱柱的界定，老師們可以將其歸類，如：分為正棱柱、斜棱柱、直棱柱這三種。在此基礎上，同學們能夠更好地了解到空間幾何，并分辨出各種空間幾何，從而提到他們的觀察力、分析能力。

二、依照函數類型進行分類討論

在對高中生的函數進行歸類的探討和解決問題時，應根據函數的類別進行分組討論，也是一種很好的解題途徑。比如，在解決二次函數的問題時，將其劃分為分為定軸動區間和動軸動區間兩種類型，由于函數類型的不同。在求解問題時，應按功能類別進行分組，以保證問題求解的正確性。一是典型的固定軸線運動區間函數問題，其實質是給每一位問題提供一個比較完備的函數表示。這些問題的發生時間是不確定的。這時，利用分類法的思維來求解這個問題，要做到的就是先確定對稱軸線的方位，然后再根據區間的劃分來確定合適的答案。

而對于動態軸向的區間問題，則可以得到一個很好的區間，但是要用區間法求解不確定的函數之間的關系。所以，在使用分類法進行問題的時候，我們要考慮的是函數之間的關系，在對中學數學的劃分時，要明確的定義函數的種類。

三、運用分類思想、對問題進行分類

采用分類討論思想，能夠有效幫助學生養成慎重思考的習慣。可根據數學對象本質屬性的相同點和不同點，將豎向對象劃分為若干個種類進行求解.在解決函數問題時，如果難以從整體的角度出發解決問題，那么就可試圖從局部的層面入手，對若干子問題進行逐一攻克，進而解決整體問題，即運用分類思想方法，按照既定標準對問題進行分類，而后逐一解決.例如：求函數f（x）=lg（a x -k2x ），（a>0且a≠1，k∈R）的定義域.在該題中，若函數f（x）有意義，則由a x -k2x >0可得（ a 2） x >k.因指數函數的值域為（0，+∞），當k≤0時，該式恒成立;當k>0時，應對（ a 2） x >k兩邊取對數，根據對數函數的性質可知，在底數>1時，對數函數為增函數;在0<底數<1時，對數函數為減函數.這里指數的底含有參數，應對其進行分類討論.尤其當a=2時，k<1，當0<k<1時，x∈R;當k≥1時，x∈Φ.對參數的討論結果，必須運用分類討論思想、并對其進行歸類探究，以保證學生能更好地掌握正確的解題思路和解題方式，從而有效地提高問題的解題精度。

四、將分類討論思想運用在函數參數值方面

由于函數的特殊性，在函數參數值發生量變，則函數結果也會隨之發生變化、所以，在應用分類思想來求解問題時，必須對其進行歸類探究，以保證學生能更好地掌握正確的解題思路和解題方式，從而有效地提高問題的解題精度。在例子，如果 k是一個數值，則可以把 y=（k+5）+（x0）作為主要的功能。解析：在此過程中，要正確地應用分類討論的思路，對參數的變化進行全面的分析，并假定發展函數為主要函數，并找出若干種可能的 k值，最后再進行討論，以得到最后的結論。通過這種方法，可以使問題更深入、更全面、更精確，有利于提高學生的數學分類思維能力、

五、將分類討論用于概率問題中

概率問題也是一個復雜的問題，在解決某些問題時，可以采用分類式的方法。例：在一個箱子里，9個號碼為1，2，3，4，5，6，7，8和9，這些都是隨機的。在選擇的兩個球體中，號碼的乘積為偶數的可能性是什么？從這一問題可以看出，假如把兩個奇數移除，奇數的數值依然是奇數。若為偶，則偶為偶。若為奇偶，其乘積為偶。所以，要了解這兩個數的乘積為偶數的可能性，就必須把它們歸類并把它們相加。若從九個球體中任意選取兩顆，其幾率是C29，而兩個偶數為C24，一奇1為C14，C15，那么最后的結果是（C24+C14c15）/C29=13/18。

總結：

因此，在新一輪的新課改下，把“分類討論”的概念融入到高中數學的教學中，尤其是在解數列問題、概率問題以及函數問題時、分類討論這一思想能夠使我們解題思路變得更加清晰、在高中數學教育中，要改變教育理念與方式，要根據學生的具體情況，采用科學、合理的教學方式，把分組討論的理念融入到課堂教學中，從而使學生的學習水平得到全面的提升，從而達到教學目的。

參考文獻：

[1]鐘軍，段瑩、關于高中數學函數分類討論思想解題分析[J].教育科學（全文版），2016（12）.

[2]吳秋霞，卓劍、高中數學函數分類討論思想解題探析[J].數學大世界（上旬刊），2017（7）.

[3]史雪梅.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].數學大世界（上旬），2018（2）.