數學美，培養學生直覺思維的法寶

陸莉婷

[摘 ?要] 直覺思維對創造力的形成與發展具有舉足輕重的作用. 文章從數學美與直覺思維的關系為出發點，認為直覺思維具備簡單性、直接性，跳躍性、整體性，或然性、創造性等特點，并提出利用數學美培養直覺思維的方法：以整體之美激發直覺思維，以模型之美誘導直覺思維，以解題之美拓展直覺思維.

[關鍵詞] 數學美;直覺思維;模型;解題

眾所周知，學生數學思維的形成與發展離不開直覺思維與邏輯思維的培養. 縱觀當下的高中數學課堂，教師對學生邏輯思維的培養意識較強，但對直覺思維的培養意識比較淡薄，甚至有部分教師認為直覺思維的培養是小學教師的任務，而高中教師主要是幫助學生獲得嚴謹的邏輯思維.

其實，這種認識過于片面. 對于學生而言，任何階段的直覺思維與邏輯思維一樣重要. 實踐證明，直覺思維是很多新發現的關鍵，而數學美對直覺思維的形成與發展具有直接的影響. 因此，教師應轉變陳舊的觀念，以數學美為著手點，培養學生對數學的直觀感覺，以形成良好的解題思維與創新意識.

數學美與直覺思維的關系

法國數學家龐加萊提出：“數學證明的工具是邏輯思維，而數學的創造與發明往往源自美的直覺.”由此可見，作為學生不僅要有良好的數學美的鑒賞力，還要能利用這種鑒賞力啟迪直覺思維，發現新的方法與領域，為創新意識的形成奠定基礎. 因此，數學美對直覺思維的形成具有顯著的促進作用，而直覺思維對解題能力的發展又具有導向作用.

學生在數學學習時，首先對數與形產生直觀的認識，在此認識的基礎上結合原有的認知結構喚起思維對美的品鑒，從而形成直覺思維. 因此，直覺思維的核心就是在產生美感的基礎上形成的一種感知. 學習中，學生時常會產生一些美感或數學直覺的靈感，這些美感或靈感對于學生解題與形成數學觀具有重要作用.

直覺思維的特點

1. 簡單性、直接性

簡單性、直接性是直覺思維的核心特征. 遇到問題時，直覺思維與邏輯思維的表現完全不同. 在直覺思維的引導下，學生無須琢磨、推理或思考，可直接、迅速越級獲得明確的結論或判斷;而在邏輯推理的引導下，學生的思維會經歷由簡單到復雜的過程，在思維拾級而上中，需經過分析與研究才能獲得問題的結論或判斷. 當然，這種簡單性、直接性的特征源自學生大腦中原有的信息，是經驗的體現.

2. 跳躍性、整體性

直覺思維的跳躍性主要表現在學生面對問題時，直覺思維會將學生的思路直接導向結論，省略了中間的思維途徑;而整體性主要體現在將客體看成一個整體進行直觀反映時，一般反映的是客體的核心矛盾，而一些非本質性的矛盾則忽略不計.

3. 或然性、創造性

直覺思維常常帶有一定的個人色彩，這與思維者的生活經驗與認知水平有著密切的聯系. 但每個人都是獨立的個體，受生活經驗與認知的影響，對事物的直覺認知也存在著差異性. 因此，直覺思維的結論不一定是準確的，還需進行實踐性的檢驗. 雖然直角思維具有或然性，但正是這種非邏輯性給思維者的認知提供了更廣闊的空間，從而出現了反常規的創造力.

尹恩·斯圖認為：“直覺是科學家賴以生存的東西.”可見，直覺思維與世間萬物一樣具有兩面性：或然性的局限導致一些失敗的產生，而簡單性、直接性等特性又為創造性的產生提供了基礎. 因此，我們以直覺思維獲得結論時，可借助于邏輯思維加以驗證，雙管齊下才能使數學思維更上一個臺階.

培養直覺思維的具體方法

1. 以整體之美激發直覺思維

我們都有這樣的體驗：遇到解題障礙時，換一種思路去考慮問題，譬如用整體代入法解題，會讓問題變得簡單. 從這點可以看出，解題要善于把握問題的關鍵點，遇到障礙時需換個角度進行思考，把題設中的條件與結論視為一個整體，或探尋問題的內部聯系與本質. 如此，能有效地激發學生產生良好的直覺思維.

例1：設雙曲線-y2=1的兩個焦點分別為F與F，P為雙曲線上的一點，且∠FPF=90°，那么△FPF的面積是多少？

分析：由題意可知，△FPF的面積為S=FP·FP，FP-FP=4①，PF+PF=20②.根據上式獲得FP與FP的值比較煩瑣. 其實，我們只需要求FP·FP這個整體的值，就能解決問題. 因此，由上式求②-①2，可得FP·FP=2. 所以S=FP·FP=1.

本題若從常規路徑去解答——分別求FP與FP的值，則過程冗長繁雜. 若從問題的結論出發，尋找結論與條件之間的內在聯系，則會發現分別求FP與FP的值的目的在于獲得FP·FP這個整體的值. 因此，我們可轉變解題思路，以這個整體值作為思考的方向，解題過程變得簡潔明了. 因此，通過對問題的整體觀察，不僅能優化運算過程，提高解題效率，還能激發學生形成良好的直覺思維，為解題技巧的形成奠定基礎.

2. 以模型之美誘導直覺思維

波利亞曾經說過：“模型具有解決數學問題的魔力，具有震撼人心之美感.”[1]實踐證明，數學建模不僅能體現學生的數學實際應用能力，還能誘導學生產生直覺思維. 在模型的引領下，學生能從題設條件中快速找到問題的本質，使得解題化繁為簡，提高正確率.

例2：點P為球O上的一點，過點P作三棱錐P-ABC，使得AP，BP，CP之間呈兩兩垂直的關系，同時點A，B，C都在球面上，若設AP，BP，CP的長度分別是a，b，c，求球O的表面積.

分析：看到本題，學生若將目光停留在三棱錐的幾何圖形上，并以此作為解題的切入點，解決此題的難度偏大. 倘若換一個角度，將目光轉移到球的對稱性上，問題就簡單了許多. 學生可將此三棱錐補形成一個長方體，長、寬、高分別為a，b，c，那么該長方體的對角線就是球O的直徑R. 由此可知a2+b2+c2=R2，因此S=4π·2=π（a2+b2+c2）.

這種解題方法用輔助線將問題中遇到的非特殊圖形或不規則圖形，變為特殊圖形或規則圖形，以凸顯問題的隱含條件，使得問題變得更簡單. 在此過程中，體現出了模型之美對直覺思維的形成具有明顯的誘導作用. 學生在模型美與直覺思維的形成與發展中，能獲得良好的解題能力[2].

3. 以解題之美拓寬直覺思維

數學問題的提出，并不在于考查學生對一個知識點的掌握程度，而是考查學生對一類知識與技能的掌握情況[3]. 為了考查學生的應用能力，常常會出現“一題多解”或“一解多題”等問題，以考查學生視野的開闊程度與發散思維的發展情況. 如此靈活多變的解題之美，也為直覺思維的形成奠定了基礎，使得學生在靈活的思路中更具創造力.

例3：證明：點A（1，5），B（0，2），C（2，8）共線.

證法1：先求出過點A，B，C中任意兩點的直線方程，如果第三點也在這條直線上，就能證明A，B，C三點共線.

根據A，B兩點的坐標，先求出它們所在的直線方程為3x-y+2=0，再將點C代入該直線方程，發現點C（2，8）滿足A，B兩點所構成的直線方程，由此可確定點C在該直線上，所以A，B，C三點共線.

證法2：斜率相等的兩條直線過同一點，那么它們必定是重合的關系，由這個性質也可證明A，B，C三點共線. （證明過程略）

證法3：A，B，C三點組成的線段有三條，假如其中有兩條線段的長度加起來與第三條線段相等，那么就能確定這三條線段無法組成一個三角形，由此可證明這三點共線. （證明過程略）

證法4：利用向量，共線的方式，亦可證明A，B，C三點共線. （證明過程略）

從本題的4種證法來看，知識并不是獨立存在的. 各單元之間的知識不僅具有一定的內在聯系，還具有明顯的系統性. 解決問題時，能使學生從不同的角度尋找不同的解題方法，這需要教師在日常教學中，有意識地訓練學生的思維能力，鼓勵學生從不同視角看待與分析問題，拓展直覺思維.

總之，直覺思維的形成與發展需經歷一個漫長的過程. 教師應帶領學生在學習中發現數學美，鼓勵學生從不同視角、多層次去感知數學中存在的藝術美，以提高自身的品鑒能力，為直覺思維的形成奠定堅實的基礎.

參考文獻：

[1] ?喬治·波利亞.數學的發現（第一卷）[M]. 歐陽絳譯. 北京：科學出版社，1985.

[2] ?曹建華. 數學模型之美[J]. 吉林教育，2012（11）.

[3] ?任旭，夏小剛. 問題情境的創設：基于思維發展的理解[J]. 數學教育學報，2017，26（04）.