聚焦課標 重組學材 課堂深度教學的探究與實踐

肖亞東

[摘 ?要] 平行四邊形的性質是“平行四邊形”這一章的起始課. 對于起始課的教學，教師不但要完成本節課固有的知識教學，還要講清整章的知識脈絡. 這節課能否教好，不但取決于教者的已有認知水平，還取決于教者對教材的理解程度，對數學本質、數學文化的詮釋程度，以及能否將教材有機整合，能否做到與學生深度對話.

[關鍵詞] 變構;深度對話;裂變學力

變構學材是一種真正的、深度的、最優化的學習. 陸志強教師提出的“變構學程，裂變學力”為變構提供了具體的要求和操作規程. 要做到變構學材，教師要對知識體系的銜接了如指掌，對學生的學習狀態一清二楚. 要做有價值的教學，要求教師與學生進行深度對話，而要做到深度對話，則需要教師從學生的角度去理解教材，用動態的眼光閱讀學材，關注學情，以任務為驅動，解構舊知并與新知建立關聯，同時不斷地反思知識體系、調整知識體系，并構建新的知識體系. 下面，筆者以“平行四邊形”（人教版）的章起始課為例，嘗試變構學材，力求與學生進行深度對話.

課例

1. 探索新知

師：請同學們仿照研究等腰三角形的步驟和方法，來研究特殊的四邊形——平行四邊形.（教師板書，并在黑板上畫出一個平行四邊形）

活動一：操作實踐.

師：請同學們拿出事先準備好的兩個全等三角形，然后拼圖. 看看能拼出多少個不同的四邊形.

（學生操作并畫出拼成的四邊形. 同時，教師引導學生將這些四邊形進行分類. 這些四邊形大致可以分為兩類，一類是鄰邊相等的四邊形，另一類是對邊相等的四邊形. 我們把鄰邊相等的四邊形形象地稱為“箏形”. “箏形”這一名詞在人教版教材“軸對稱”一章的數學活動中有所提及. 而把另一類對邊相等的四邊形稱為平行四邊形）

師：同學們在小學已經學過平行四邊形了，下面請同學們回憶一下什么是平行四邊形，即平行四邊形的定義.

生1：對邊平行的四邊形是平行四邊形.

師：生1的說法全面嗎？

生2：應該是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

師：生1說的為什么不對呢？

生3：因為梯形也有對邊平行.

師：對！梯形是一組對邊平行，另一組對邊不平行.

（教師板書，并規范講解平行四邊形的表示方法）

師：請同學們對照圖形（此處圖形略）說出平行四邊形的基本元素，即分別說出對邊、鄰邊、對角、同旁內角.

（學生依次說出了對邊、鄰邊、對角、同旁內角）

師：請同學們通過觀察與測量，猜想這些元素之間的關系，并嘗試用文字語言表達出來.

（學生動手測量，并歸納總結）

生4：我發現平行四邊形的對邊平行.

師：好，這由定義可知. 定義是最原始的性質，也是最原始的判定. （此時教師寫下符號語言）

接下來，教師引導學生繼續探究平行四邊形的性質. 通過探究與討論，學生得出如下結論：

平行四邊形的對邊相等;平行四邊形的對角相等;平行四邊形的同旁內角互補.

師：接下來，請同學們證明剛才總結的平行四邊形的其中兩條性質——對邊相等、對角相等. 證明時要注意什么？

生5：證明文字命題時要注意寫出已知、求證和證明過程.

（通過證明這兩個命題正確，師生共同得到平行四邊形的性質——對邊相等、對角相等）

設計意圖 上述過程通過對平行四邊形的探索，進一步鞏固了探索等腰三角形的步驟，從而將研究幾何問題的經驗加以固化. 同時，讓學生明白研究四邊形問題可以將其轉化為證明三角形全等，這也體現了轉化思想. 特別地，在證明命題的過程中，教師要引導學生學會用定義去證明.

活動二：如何判斷一個四邊形是平行四邊形呢？

預設效果：首先，學生想到的是平行四邊形的定義，然后教師引導學生通過添加邊或角的條件進一步得出其他判定方法. 學生通過討論，會得到如下命題.

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

接下來，教師讓學生證明這些命題是否正確.

設計意圖 教師引導學生通過寫平行四邊形的性質的逆命題得到平行四邊形的判定命題，接著讓學生證明命題是否正確. 在證明的過程中，教師引導學生將研究四邊形的問題轉化為研究三角形的問題，即找三角形全等的條件.

2. 鞏固新知

例題 （1）如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，∠A ∶ ∠B=2 ∶ 3，求平行四邊形ABCD四個內角的度數.

（2）如圖1所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，求平行四邊形ABCD各邊的長.

變式 （1）如圖2所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，點E在CD上，若AE平分∠BAD，求CE的長.

（2）如圖3所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，點E在CD上，點F在AB上，若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，求證：DE=BF.

（3）如圖4所示，已知平行四邊形ABCD的周長為20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，E，F兩點在CD上，若AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，則AE與BF之間存在怎樣的位置關系？

（4）如圖5所示，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F.

①求證：DE=BF.

②若在CD上任意取一點M作MN⊥AB，垂足為N，則DE，MN，BF之間存在怎樣的數量關系？從中你能得出什么結論？

設計意圖 上述題組訓練能讓學生進一步鞏固平行四邊形的性質，且通過不斷添加條件，不僅會讓學生得到不同的結論，還會達到一圖多變、一題多變的目的，能培養學生思維的廣闊性、靈活性、發散性. 解題過程中還提煉出了等腰三角形（由平行、角平分線得出）數學模型，教師強調后，能增強學生的模型意識.

3. 課堂小結

師：通過本節課的學習，你們有哪些收獲？

預設效果：（學生的回答）平行四邊形的定義、性質，通過類比研究等腰三角形的方法得出平行四邊形的性質和判定;研究四邊形時可以將其轉化為研究三角形，體現了轉化的思想;遇到比例可以列方程求解，體現了方程思想.

師：（總結）以后我們在學習新的圖形時，可以運用研究已有圖形的經驗來研究新的圖形，以達到觸類旁通的目的. 平行四邊形有對角線，對角線之間有什么關系，這是下節課研究的內容. 當然，后面我們還要研究平行四邊形的判定，以及特殊平行四邊形的性質和判定，希望同學們能夠帶著已有的經驗繼續研究.

關于課例的幾點說明

1. 變構學材的出發點

李庾南教師曾說過，培養與發展學力的教學才是真正有價值的教學. 平行四邊形的性質課例有若干種，有的教師從學生的感官出發，通過實物展示總結出平行四邊形;有的教師從拼圖開始，剪兩個完全相同的三角形，通過拼圖得出不同的幾何圖形，再將這些圖形進行分類，總結出平行四邊形. 而筆者從學生的已有認知結構出發，通過舊知引入新知，前后銜接自如、方法恰當，且進一步推廣和應用了研究幾何圖形的經驗. 本課例在變構的過程中吸取了陸志強教師提出的“變構學程，裂變學力”精華，從學生的認知結構出發，在學生的知識生長點處進行變構，這與傳統的課例相比，過程更流暢.

2. 變構學材的過程就是與學生深度對話的過程

“平行四邊形”（人教版）這一章的前言明確指出，“利用已有的幾何知識和方法，探索并證明它們（指平行四邊形、矩形、菱形、正方形）的性質定理和判定定理. 進一步體會研究圖形幾何性質的思路和方法，即通過觀察、類比、特殊化等途徑和方法發現圖形的幾何性質，再通過邏輯推理證明它們”. 可見，教師在備課的過程中，不但要備文本內容，還要認真地研讀教材的章首語，仔細推敲每一句話的內涵，結合學生的認知規律，在學生的最近發展區內開展有效的教學，這就是與學生的深度對話，也是從“教教材”到“用教材教”的轉變. 本課例做到了回顧舊知與探索新知的深度對話，掌握證明與思想方法的深度對話，了解新知由來與舊知體系的深度對話. 與學生深度對話，就是從學生的內心深處出發，挖掘學生的邏輯生長點，符合學生的認知規律，讓學生碰撞思維的火花，從而享受到學習的快樂. 平行四邊形不是孤立的，它其實是三角形知識的延續，且研究平行四邊形的性質與判定定理對后續研究特殊平行四邊形、梯形等幾何圖形有正向的引導作用.

3. 漸次生成結構化板書

美國教育心理學家奧蘇貝爾提出了“先行組織者”這一概念. 所謂“先行組織者”，就是先于具體的教學內容而向學生呈現的一種引導性材料，它要求比新知識本身具有較高的抽象、概括和綜合水平，能清晰地說明學生認知結構中原有的知識與新知識的關聯，用最基本的常識性的概念來勾勒整體輪廓，使學生獲得一個總體印象. 在執教的過程中筆者發現，僅憑語言的講解，教學會顯得蒼白無力，教學應重點抓住主要知識的生成過程. 在知識生成的過程中，教師要善于捕捉信息，將主要的知識點依次羅列下來呈現在黑板上，最后小結時形成結構化的板書. 比如上述課例，可以羅列出與下列問題有關的知識點：三角形與四邊形有怎樣的關系？怎樣類比三角形研究四邊形？從哪些方面進行類比？類比研究的方法有哪些？后續有待研究的知識有哪些？根據上述知識點，最后勾畫出完整的知識導圖，為后續學習內容的研究指明方向.

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