巧用微專題，提高復習效率

包秋燕

[摘 ?要] 為彌補傳統數學中考復習的缺陷，筆者嘗試針對學生的疑難點、中考考查的重難點與高頻考點等，采取穿插微專題的復習模式，取得了不錯的教學效果. 文章以“與圓有關的最值問題”為例，介紹微專題教學實踐以及對此的思考.

[關鍵詞] 微專題;數學思維能力;復習效率

初三綜合復習傳統模式是：一輪復習按照章節復習，重在基礎知識與方法的落實;二輪復習按照專題復習，重在思維能力的提升;三輪復習做各地中考模擬卷……這樣地毯式的復習，由于知識量過大，使得學生對知識點的掌握不到位，二輪復習過后很多學生解決問題能力的提升會出現瓶頸. 基于此，筆者嘗試在中考復習中，針對學生存在的問題、中考考查的重難點與高頻考點等，采取穿插微專題的復習模式. 微專題復習模式，以大化小，能彌補傳統復習中的不足與缺陷.

“圓”是初中幾何的重要組成部分，中考會直接考查與圓相關的知識，且涉及圓的考題一般屬于中等偏難的題目. 近些年，中考壓軸題還出現了用隱形圓求最值的試題. 這類試題往往和對稱、翻折、旋轉等知識相結合，以提高難度等級. 要解決這類試題，還需要用到全等三角形、相似三角形、三角函數等知識，綜合性比較強，需要學生具備扎實的基礎及良好的思維能力. 因此，筆者在中考復習過程中加入了微專題“與圓有關的最值問題”，來提高學生解決問題的能力.

微專題設計的緣起——從學情

出發

與圓有關的最值問題一般屬于壓軸題，有些學生每次碰到此類題都無從下手;即使教師做了提示，動手再做還是會錯. 原因是學生的思維起點和解題需求之間在知識、方法、能力方面存在差距，學生不知道與圓有關的最值問題考查的知識點是什么，考查的本質是什么，是否有方法可循……所以教師的任務就是要彌補學生的這些缺失.

這節微專題伊始，筆者首先給出了如下問題情境：

如圖1所示，P是☉O外一點，點P到圓上任意一點的最小距離是線段______的長， 最大距離是線段______的長.

接著，筆者給出了如下探究問題：

如圖2所示，在☉O上任取一點C（不與點A，B重合），連接PC，OC，試證明PA<PC<PB.

【教學片段1】

師：在解決最值問題前，我們先看看圖1的特殊情況怎么解答.

生1：最小距離是線段PA的長，最大距離是線段PB的長.

師：那如何說明呢？我們可以借助探究問題來完成.

生2：利用△OCP的三邊關系，得PO-OC<PC<PO+OC，又OA=OB=OC，所以PA<PC<PB.

師：綜上我們可得“圓外一定點到圓上一動點距離的最大值是圓心到定點的距離加半徑，最小值是圓心到定點的距離減半徑”. 這可以作為基本模型使用.

以上問題設計，筆者從學生的認識基礎出發，復習最基礎卻又最核心的知識，幫助學生做好知識上的厘清、深化，讓學生不但知其然，更知其所以然，對這類題有更加深入的認識，從而建立基本模型，更好地解決問題.

為了讓學生更直接地體會該模型在求解此類最值問題中的運用，筆者還設計了以下練習加以鞏固.

（直接運用）

（1）如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是上一動點，連接AP，則AP的最小值是______.

（2）如圖4所示，在邊長為1的正方形ABCD中，以點A為圓心、1為半徑作，將一塊直角三角板的直角頂點P放置在（不包括端點B，D）上滑動，一條直角邊通過頂點A，另一條直角邊與邊BC相交于點Q，連接PC，則△CPQ周長的最小值為______.

（3）如圖5所示，在平面直角坐標系中，A（0，1），B（0，1+t），C（0，1-t）（t>0），點P在以點D（3，3）為圓心、1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則t的最大值是______.

學生解決這些問題時，筆者提出了一系列的問題.

問題1：試題是否符合“圓外一定點到圓上一動點的距離最值”模型？

問題2：利用此模型解題時，應主要抓住“圓外一定點，圓上一動點”，解題前應分別找出來.

問題3：若不能直接應用模型，可以如何轉化？

基于前面基礎知識的復習，在教師的引導下，學生能夠運用模型輕松地解決以上三題. 教師的教學任務主要是通過提問引導學生自己生成解決此類問題的基本思路，并能用準確的數學語言進行描述.

微專題設計的深入——向難點

拓展

前面的微專題設計，幫助學生解決了簡單的與圓有關的最值問題. 可是，在實際的解題過程中，更多的最值問題往往需要用圓的知識來解決，卻不直接出現圓. 那么，如何判斷其是否是與圓有關的最值問題呢？這才是學生感到棘手的地方，也是使此微專題設計向縱深發展，取得更大教學效果的關鍵. 在教學實踐中，筆者分了三種類型，與學生就此問題進行深入探討.

1. 類型1：找定長

（1）如圖6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上一動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長度的最小值是______.

（2）如圖7所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折，得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是______.

【教學片段2，第（1）題的講解】

師：讀題后我們知道A是定點，B′是動點，所以找到點B′的運動軌跡是關鍵. 大家思考一下，在翻折的過程中哪條線段的長度始終不變.

生1：在翻折的過程中，CB′的長度始終不變，CB′=CB=3.

師：此時你能得出點B′的運動軌跡嗎？

生1：點B′在以點C為圓心、CB的長為半徑的圓上運動.

師：現在，問題可以轉化為今天討論的最值模型了嗎？請大家直接說出結果.

生（齊）：B′A的最小值為AC-3=1.

（第（2）題的解題方法與第（1）題雷同，筆者讓學生自己解決）

在中考中，翻折是常考的知識點. 上述試題屬于翻折與最值相結合的試題，學生通過分析，得出了解題思路：根據翻折的特點，從動態問題中找到定長，再利用圓的定義“到定點的距離等于定長”構造輔助圓，從而轉化為基本模型進行求解.

2. 類型2：找定角

（1）如圖8所示，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部一動點，且滿足∠PAB+∠PBA=90°，連接CP，則CP的長的最小值為______.

（2）如圖9所示，E，F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H. 若正方形ABCD的邊長為2，則線段DH的長的最小值是______.

【教學片段3，第（1）題的講解】

師：根據題目所給的角度關系，你能求出哪個角？

生1：因為∠PAB+∠PBA=90°，所以∠APB=90°.

師：我們發現，當點P在運動的過程中，始終保持∠APB=90°，又A，B為定點，所以點P的運動軌跡是什么？

生2：點P在以AB為直徑的圓上運動.

師：接下來就可以利用模型解決問題了. 畫出圖形，你們能直接說出答案嗎？

生3：畫出輔助圓如圖10所示，線段CP的長的最小值為CO-OP=5-3=2.

學生在解決第（2）題的過程中會出現問題，所以筆者在課堂上做了以下引導：首先根據正方形的特征以及已知條件，發現全等，并找出AG與BE的位置關系;其次，要求出DH的最小值，需要找到定點、動點;再次，目標是找到動點的運動軌跡; 最后確定DH的長的最小值.

這類題的解題關鍵是通過對幾何圖形的分析，從動態圖形中找出不變的量. 此時一般題中有不變的角，于是可引導學生利用“定弦對定角確定動點的運動軌跡是圓”這一解題方法，找出題中的隱形圓，從而將問題轉換為利用基本模型來解決.

3. 類型3：綜合應用

（1）對稱類求最值

如圖11所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E，F分別為AD，DC邊上的點，且EF=2，點G為EF的中點，點P為BC邊上一動點，則PA+PG的最小值為______.

（2）旋轉類求最值

①如圖12所示，正方形ABCD的邊長為2，以點A為圓心、1為半徑作圓，E是☉A上任意一點，連接DE，將DE繞點D逆時針旋轉90°后得到DF，連接AF，則線段AF的長的最小值為______.

②如圖13所示，點O在線段AB上，OA=1，OB=2，以點O為圓心、OA長為半徑的圓為☉O，在☉O上取動點P，以PB為一邊作△PBC，使∠PBC=90°，tan∠PCB=，P，B，C三點為逆時針順序，連接AC，則AC的取值范圍為______.

上述三題都是與圖形變換相結合求最值的試題，這類題涉及的知識點較多，思維能力要求較高，此時教師的教學任務是有效地引導學生，助其發現突破口. 下面以旋轉類第②題為例進行教學闡述.

【教學片段4】

師：要求AC的取值范圍，也就是求什么？

生1：求AC的最大值和最小值.

師：我們發現，點A是定點，點C是動點，所以找到點C的運動軌跡是關鍵. （提醒）點C是隨著點P的運動而運動的，又點P在圓上，那點C是否也在圓上運動？大家可以互相討論.

（學生開始討論）

生2：點C可以看作是由點P繞著點B旋轉90°后得到的，由旋轉想到大致是將☉O旋轉90°后得到點C的運動軌跡.

生3：過點B作BM⊥AB，那么點C運動軌跡的圓心應該在BM上.

師：大家說得很好，那么圓心M應該如何確定呢？注意條件tan∠PCB=的應用.

生4：根據tan∠PCB=，得=，那么只要保證=就行了.

師：下面大家動手嘗試.

生5：如圖14所示，作BM⊥AB，使得BM=2OB=4，連接OP，AM，CM，構造相似三角形. 利用△OBP∽△MBC，得CM=2，即點C的運動軌跡是以M為圓心、2為半徑的圓. 所以AM-CM≤AC≤AM+CM，即3≤AC≤7.

這里，筆者采用的是小組討論的方式，讓學生大膽地嘗試，并尋找動點的運動軌跡. 教學時，教師不要怕學生會“撞墻”，因為他們正是在一次次嘗試或失敗中總結方法和經驗的，只有這樣，他們才能真正提高解決問題的能力. 在學生充分嘗試的基礎上，筆者最后總結：這類題往往有暗示，如上面旋轉類求最值的兩道題，它們都是兩個動點，且主動點在圓上動，于是判斷動點的運動軌跡就必定要考慮圓，可通過旋轉構造全等或相似，進而找到定長，最后確定運動軌跡.

難點的突破，除了基礎知識原理的加持，更重要的還在于“由淺入深，步步為營，逐步學習”，教師可以從多個角度去引導學生練習，貼近學生的學習，讓學生突破思維短板，形成自己的解題思路. 這樣能讓學生以后碰到此類難題有大致的思考方向，進而提高解題效率.

微專題，著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，能調動學生的學習積極性，從而引導學生對自身認識結構進行深度加工與整合，由淺層學習走向縱深學習.

微專題設計的鞏固——向課后

練習要實效

由遺忘曲線我們知道，遺忘的進程是不均勻的，一般來說最初的遺忘速度較快. 為此，對于微專題，我們必須及時鞏固. 在實際操作中，筆者盡量做到“趁熱打鐵，及時鞏固”，因為這是微專題設計最終收到實效的重要保障. 故在微專題的最后環節，筆者設計了如下課后練習：

1. （2020·臺山一模）如圖15所示，在平面直角坐標系中，以點A（-2，3）為圓心、1為半徑作☉A，以點B（3，4）為圓心、3為半徑作☉B，M，N分別是☉A，☉B上的動點，P為x軸上一動點，則PM+PN的最小值為______.

2. （2020·市南區一模）如圖16所示，在正方形ABCD中，AB=2，O是BC邊的中點，E是正方形ABCD內一動點，且OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°后得DF，連接AE，CF，OF，則線段OF的長的最小值為______.

3. （2020·武侯區模擬）如圖17所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC上一動點（P不與B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，連接MP，作∠MPC的平分線交邊CD于點N，連接MN，則線段MN的最小值為______.

微專題最大的價值在于為學生解決此類問題提供明晰的解題思路，決勝中考. 故筆者特別重視課后練習的設計，盡量讓課后練習與中考接軌，讓學生用課堂上學到的方法直面中考模擬題，這樣既能提升學生的思維能力，又能激發他們的學習興趣，增強他們的學習動力.

以上是筆者利用微專題用于提高復習效率的一個案例. 在中考的復習過程中，對于一些重難點知識，學生總帶著畏懼、迷惑、糾結、等待的心理. 此時，借助微專題，從學生的易錯點出發，抓住知識的本質，再現知識的形成，能幫助學生抓住知識的源頭. 學生在教師的精心指導下，能形成自己的解題思路，能鍛煉思維能力，從而獲得學習能力. 微專題雖以小見大，知微見著，但不能盲目應用. 微專題的選擇往往立足于學情、教情、考情，以某知識點為中心，從該知識的基本概念出發，從基本數學思想方法及原理入手，通過一條清晰的主線將問題串聯起來. 各個微小的知識點或者方法，能將數學思想方法整合起來，能由“因微而小，因微而準，因微而深”到達知識深處，從而培養學生解決問題的能力.

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