融合信息技術(shù) 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

周海東

[摘 ?要] 在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，計(jì)算機(jī)類(lèi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以將抽象的數(shù)學(xué)原理可視化，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，完善學(xué)生的思維品質(zhì). 文章以“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”為例，闡述了信息技術(shù)與教學(xué)的深度融合，以及借助于計(jì)算機(jī)類(lèi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓以高階思維為特征的深度學(xué)習(xí)發(fā)生的教學(xué)過(guò)程及實(shí)踐反思.

[關(guān)鍵詞] 信息技術(shù);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);深度融合;高階思維

《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》指出：“要強(qiáng)化教育信息化的應(yīng)用，提高教師應(yīng)用信息技術(shù)水平，更新教學(xué)觀念，改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果. ”因此，信息技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用需要從邊緣化的教學(xué)媒介走向內(nèi)核式的學(xué)習(xí)支持，以深度融合的方式從知識(shí)內(nèi)容的直接呈現(xiàn)轉(zhuǎn)向融入課堂的深度學(xué)習(xí). 筆者在蘇州工業(yè)園區(qū)“初中數(shù)學(xué)學(xué)科信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)融合創(chuàng)新觀摩研討活動(dòng)”中講解了“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”一課，在深度學(xué)習(xí)理念的指引下，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入常態(tài)教學(xué)，發(fā)揮信息技術(shù)內(nèi)核式的學(xué)習(xí)支持的作用，取得了很好的教學(xué)效果. 現(xiàn)將本節(jié)課的課堂片段及實(shí)踐反思呈現(xiàn)出來(lái)，與同行共研.

教學(xué)片段

1. 由“數(shù)”想“形”猜圖像

師：老師給了8組數(shù)對(duì)（如圖1所示），你們幫我找找看，哪些數(shù)對(duì)是適合反比例函數(shù)y=的，請(qǐng)選出你認(rèn)為適合的數(shù)對(duì).

[下列各組數(shù)中，適合函數(shù)y=的是_____.

①（1，6） ? ? ?②（2，-3） ? ? ?③（0，6）

④（3，2） ? ? ?⑤（-3，-2） ? ?⑥（-1，-6）

⑦（4，1.5） ? ?⑧（4，2.5）] [圖1]

師：我們來(lái)看看大家的答案（如圖2所示），大家的答案非常一致（選的都是①④⑤⑥⑦），但是老師發(fā)現(xiàn)，剛才在選擇的過(guò)程中，有的同學(xué)選得特別快，有的同學(xué)則選得比較慢，我想請(qǐng)選得特別快的同學(xué)與大家分享一下有沒(méi)有什么竅門(mén).

生1：把x和y兩個(gè)數(shù)據(jù)都代進(jìn)去.

師：那么（2，-3）你是怎么代進(jìn)去的？

生1：就是把x=2代進(jìn)去，算出y=-3. 與縱坐標(biāo)進(jìn)行比較，相等則適合.

師：有沒(méi)有更快的方法？

生2：我是直接將x與y相乘，看是否等于6.

師：你真厲害！同學(xué)們想不想再來(lái)試一遍？

生（眾）：想.

師：好. 既然我們已經(jīng)掌握了方法，那么我們就再來(lái)試8組數(shù)對(duì)（如圖3所示，筆者請(qǐng)一位學(xué)生上黑板前試一試，和同學(xué)們一起比一比速度）.

師：這一次有幾位同學(xué)選了不同的答案（如圖4所示），有一位同學(xué)選了（0，0），我們請(qǐng)他來(lái)說(shuō)說(shuō)看是怎么想的.

生3：（0，0）不適合，我看錯(cuò)了！

師：還有8位同學(xué)選了（6，0），行嗎？

生（眾）：不行！

師：y=0行不行？為什么？

生（眾）：也不行，因?yàn)閗≠0，y就不可能為0.

師：我們剛才找了8組數(shù)對(duì)，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下這8組數(shù)對(duì)，能否想象一下這個(gè)函數(shù)的圖像是什么樣的呢？

師：為了讓同學(xué)們看得清楚一點(diǎn)，老師將大家剛才找出的8組數(shù)對(duì)排了一個(gè)隊(duì)（如圖5所示），你們先看看這些數(shù)有何規(guī)律.

生4：左邊都是正的，右邊都是負(fù)的？

師：有沒(méi)有可能出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)“一正一負(fù)”的情況？

生5：不可能，因?yàn)樗麄兊姆e是正數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)一定是同號(hào)的.

師：非常好！如果這兩個(gè)數(shù)是同號(hào)的，那么圖像上會(huì)有什么規(guī)律？

生6：同號(hào)的點(diǎn)一定在一、三象限.

師：不用畫(huà)圖，我們就可以判斷“圖像一定在一、三象限”！還有沒(méi)有其他可以看出的規(guī)律？

生7：從左往右y值在減小.

師：一直在減小？

生7：在-1到1之間好像發(fā)生了一次跳躍，變大后又逐漸減小.

師：這一次“跳躍”又是為什么呢？

教學(xué)說(shuō)明 ?筆者沒(méi)有沿用“列表—描點(diǎn)—連線(xiàn)”這一常規(guī)研究函數(shù)圖像的套路，而是另辟蹊徑，通過(guò)“尋找適合反比例函數(shù)的數(shù)對(duì)”的方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達(dá)式中“數(shù)”的規(guī)律，再通過(guò)“數(shù)”的規(guī)律去猜想“形”的樣態(tài)，讓學(xué)生初步感知反比例函數(shù)的圖像. 可謂“意料之外，情理之中”.

2. 循“點(diǎn)”覓“形”現(xiàn)圖像

師：顯然，光看“數(shù)”，是看不出來(lái)圖像的，怎么辦呢？我們需要把這些點(diǎn)描畫(huà)出來(lái). 我們知道，要畫(huà)出函數(shù)的圖像，需要列表、描點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)把圖像描畫(huà)出來(lái). 請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓僮骷埳厦璁?huà)出這8個(gè)點(diǎn). （借助于信息技術(shù)同步顯示學(xué)生的作圖過(guò)程，如圖6、圖7所示）

師：同學(xué)們都描畫(huà)出了這8個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)賮?lái)看一下這8個(gè)點(diǎn)（如圖8所示），它們能否反映出反比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)？你能試著把這個(gè)反比例函數(shù)的圖像畫(huà)出來(lái)嗎？

學(xué)生開(kāi)始嘗試畫(huà)圖（如圖9、圖10、圖11所示）.

師：老師看了所有同學(xué)畫(huà)的圖，雖然大家畫(huà)的圖不盡相同，但至少我們可以做出一個(gè)論斷：從這些點(diǎn)來(lái)看，反比例函數(shù)的圖像肯定不是直線(xiàn). 可是圖像到底是像圖10這樣的曲線(xiàn)，還是像圖11這樣的折線(xiàn)呢？同學(xué)們想不想知道？

生（眾）：想！

師：那么我們肯定還需要更多的點(diǎn)，我們可以利用軟件描畫(huà)出更多的點(diǎn)，100個(gè)點(diǎn)、1000個(gè)點(diǎn)（如圖12所示）……你們認(rèn)為還需要多少個(gè)點(diǎn)？

生8：10000個(gè).

師：你們覺(jué)得，由這10000個(gè)點(diǎn)描畫(huà)出來(lái)的圖像會(huì)是怎樣的？

生9：顏色會(huì)更深.

師：為什么？

生9：點(diǎn)更密了！

師：我們來(lái)看這10000個(gè)點(diǎn)描畫(huà)出來(lái)的圖像（如圖13所示），看來(lái)我們已經(jīng)不需要再加密了，因?yàn)橥瑢W(xué)們已經(jīng)知道圖像是怎樣的了.

師：剛才1個(gè)點(diǎn)時(shí)，我們沒(méi)有描畫(huà)出圖像;8個(gè)點(diǎn)時(shí)，我們描畫(huà)出了一些“奇怪”的線(xiàn);現(xiàn)在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)時(shí)，我們可以看出函數(shù)y=的圖像是——

生（眾）：兩支曲線(xiàn).

師：事實(shí)上，函數(shù)y=的圖像就是兩支曲線(xiàn)，我們稱(chēng)這兩支曲線(xiàn)為“雙曲線(xiàn)”. 我們用描點(diǎn)的方法把函數(shù)y=的圖像描畫(huà)出來(lái)了，請(qǐng)同學(xué)們將剛才所畫(huà)的圖像修正一下.

教學(xué)說(shuō)明 ?反比例函數(shù)的圖像是“曲線(xiàn)”，這與學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)有較大沖突，若直接通過(guò)講授或用計(jì)算機(jī)作圖的方式把兩條曲線(xiàn)呈現(xiàn)出來(lái)，則只會(huì)讓“數(shù)學(xué)事實(shí)和概念”單向傳遞，這種淺層次的教學(xué)方法無(wú)法引起學(xué)生高階思維的發(fā)展，甚至?xí)拗茖W(xué)生的認(rèn)知加工活動(dòng). 因此，筆者設(shè)計(jì)了“想象—試連—密點(diǎn)—修圖”這樣一個(gè)深度學(xué)習(xí)的線(xiàn)路，讓反比例函數(shù)的圖像逐漸露出“廬山真面目”.

3. 探“圖”尋“規(guī)”研性質(zhì)

師：既然我們已經(jīng)把圖像描畫(huà)出來(lái)了，我們就一定能從圖像中找到一些不變的東西——規(guī)律. 請(qǐng)同學(xué)們?cè)賮?lái)仔細(xì)觀察一下反比例函數(shù)的圖像.

生10：兩支曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).

師：這位同學(xué)說(shuō)，兩支曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，但這僅是你的一種猜想，眼見(jiàn)未必為實(shí)，是否正確老師要打一個(gè)“問(wèn)號(hào)”. 還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生（眾）：……

師：我們的眼睛不能只盯著這兩支曲線(xiàn)，我們應(yīng)該看得更寬廣一點(diǎn)，這個(gè)圖像后面還有沒(méi)有曲線(xiàn)？

生（眾）：有.

師：多不多？多到什么程度？我能把這個(gè)圖像畫(huà)到盡頭嗎？

生11：畫(huà)不到盡頭，但它的圖像永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸、y軸相交.

生12：我發(fā)現(xiàn)，圖像與坐標(biāo)軸無(wú)限接近，卻永不相交.

師：為什么永不相交？

生12：因?yàn)閺臄?shù)來(lái)看， x值、y值都不等于0.

師：如果k=-6呢？不畫(huà)圖，你們能不能說(shuō)一說(shuō)這個(gè)圖像是什么樣的呢？

生13：圖像應(yīng)該在二、四象限.

師：為什么在二、四象限？

生13：因?yàn)閗=-6，所以點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是異號(hào).

師：你們能否不描點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)y=大致的圖像.

學(xué)生畫(huà)圖，教師觀察學(xué)生畫(huà)圖，并把典型的圖像（圖14）挑選出來(lái).

師：這個(gè)圖像（圖14）是否符合函數(shù)y=的圖像的基本特征？

生14：位置沒(méi)問(wèn)題，但圖像不能與x軸有交點(diǎn).

師：是否還有其他問(wèn)題？

生15：不能出現(xiàn)向上翹的“尾巴”.

師：為什么曲線(xiàn)不能這樣延伸？

生15：往左邊看，當(dāng)x的值越小時(shí)，-x的值反而越大，所以的值會(huì)越來(lái)越接近于0，曲線(xiàn)也會(huì)逐漸接近于x軸，但由于x≠0，所以曲線(xiàn)與x軸不會(huì)相交.

師：大家體會(huì)一下，應(yīng)該怎樣在反比例函數(shù)的圖像中表達(dá)“無(wú)限接近，永不相交”.

學(xué)生再次修正圖像.

師：我們一起來(lái)看一下通過(guò)描點(diǎn)呈現(xiàn)出來(lái)的y=的圖像（如圖15所示）. 跟你們畫(huà)的一樣嗎？

生（眾）：一樣.

師：透過(guò)圖像，我們看到了很多規(guī)律. 同學(xué)們想一想，如果再次改變k值，那么大家應(yīng)該能在大腦里把函數(shù)圖像想象出來(lái)了吧？

生（眾）：嗯.

師：通過(guò)剛才對(duì)函數(shù)圖像的研究，我們可以歸納一下反比例函數(shù)圖像的特征（略）.

師：繼續(xù)來(lái)思考，剛才有一位同學(xué)認(rèn)為反比例函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，你們是否有方法來(lái)證明？

生16：可以把圖像繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，看它是否重合.

師：你能證明嗎？

生16：可以，在函數(shù)y=（k≠0）的圖像上任取一點(diǎn)P（a，b），則ab=k.因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-a，-b），把x=-a代入y=，得y===-b，所以點(diǎn)P′也在函數(shù)y=（k≠0）的圖像上.

師：顯然，反比例函數(shù)的圖像一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn).

教學(xué)說(shuō)明 ?反比例函數(shù)圖像的三大特點(diǎn)“雙曲線(xiàn)型”“延展性”“對(duì)稱(chēng)性”比較隱性，若不深入研究，學(xué)生很難形成高階思維. 反比例函數(shù)的圖像由“一條”到“兩支”，形態(tài)由“直”到“曲”，由“連續(xù)”到“間斷”，由與坐標(biāo)軸“相交”到“無(wú)限接近”，經(jīng)歷了深度研究反比例函數(shù)圖像的整個(gè)過(guò)程，使學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性有了更深層的理解. 對(duì)學(xué)生而言，這不僅是認(rèn)識(shí)上的一次升華，也是思維上的一次飛躍.

4. 品“形”思“數(shù)”悟思想

師：我們繼續(xù)來(lái)看反比例函數(shù)的圖像，圖像從左到右呈現(xiàn)了怎樣的變化趨勢(shì)？

生17：上升.

師：我們?cè)谘芯恳淮魏瘮?shù)時(shí)，圖像上升說(shuō)明了什么？

生18：圖像上升說(shuō)明了y隨著x的增大而增大.

師：這里是否也可以這樣說(shuō)？

生19：不能

師：為什么不能？

生19：要加上“在每個(gè)象限內(nèi)”，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像分布在兩個(gè)象限內(nèi)，并且圖像是斷開(kāi)的.

師：再看y=的圖像.

生20：圖像下降，說(shuō)明在每個(gè)象限內(nèi)y隨著x的增大而減小.

師：回到“數(shù)”來(lái)看，你們能否從“數(shù)”的角度分析一下反比例函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)跟誰(shuí)有關(guān)？

生21：跟k有關(guān)，當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大.

教學(xué)說(shuō)明 ?反比例函數(shù)的圖像，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體. 通過(guò)對(duì)圖像的研究和分析，可以確定反比例函數(shù)的性質(zhì). 這樣從“數(shù)”想象“形”，再?gòu)摹靶巍毖芯俊皵?shù)”，讓學(xué)生體悟數(shù)形結(jié)合思想. 引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系、發(fā)展的眼光進(jìn)行系統(tǒng)思考，進(jìn)一步積累研究函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn)，為今后研究新函數(shù)提供一個(gè)可具體操作的路徑.

教學(xué)反思

深度學(xué)習(xí)（Deep Learning）是對(duì)學(xué)習(xí)狀態(tài)的質(zhì)性描述，涉及學(xué)習(xí)的投入程度、思維層次和認(rèn)知體驗(yàn)等諸多層面，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解和對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的批判性利用，追求有效的學(xué)習(xí)遷移和真實(shí)問(wèn)題的解決，屬于以高階思維為主要認(rèn)知活動(dòng)的高投入性學(xué)習(xí). 信息技術(shù)與教育教學(xué)的深度融合促成了教育教學(xué)方式的變革與創(chuàng)新. 但是，信息技術(shù)給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)便利的同時(shí)，也帶來(lái)了課堂缺乏深度的問(wèn)題. 因此，深度融入信息技術(shù)的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)該關(guān)注高階思維，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

1. 確立提升高階思維的目標(biāo)導(dǎo)向，引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生

信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教學(xué)，最根本的價(jià)值是促進(jìn)學(xué)生的個(gè)體心理機(jī)能從單純的認(rèn)知發(fā)展走向意義獲得和身份認(rèn)同的雙重發(fā)展. 因此，深度融合信息技術(shù)的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)該確立提升學(xué)生高階思維的目標(biāo)導(dǎo)向. 筆者認(rèn)為，除去寫(xiě)在書(shū)本上的知識(shí)之外，課堂教學(xué)還應(yīng)把高階思維的發(fā)生和發(fā)展作為一條教學(xué)暗線(xiàn)伴隨課堂教學(xué)的始終. 例如，在本節(jié)課的教學(xué)中，知識(shí)作為明線(xiàn)，講授的是反比例函數(shù)的圖像是什么、具有怎樣的性質(zhì);而思維作為暗線(xiàn)，培養(yǎng)的是學(xué)生的系統(tǒng)思維，積累研究函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn).

2. 創(chuàng)設(shè)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)境，提升課堂思維的品質(zhì)

教學(xué)環(huán)境是教與學(xué)順利開(kāi)展的保障. 目前，我們?cè)谛畔⒒虒W(xué)環(huán)境的硬件建設(shè)中，往往把注意力集中在知識(shí)、設(shè)備、軟件等方面，著眼于知識(shí)傳遞和以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展為中心的教學(xué)，而忽視了學(xué)生的體驗(yàn). 基于學(xué)生深度思維的發(fā)展，構(gòu)建教學(xué)環(huán)境一定要將學(xué)生放在第一位，將學(xué)生作為教學(xué)環(huán)境建設(shè)的邏輯起點(diǎn)和歸宿. 一是要在思維層面注意系統(tǒng)思維的構(gòu)建;二是要在技術(shù)層面建立能夠支持多重交互、自主探究、協(xié)作學(xué)習(xí)等多方面要求的教學(xué)環(huán)境. 因此，筆者在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，一方面在技術(shù)層面構(gòu)建了以“希沃電子白板”“點(diǎn)通互動(dòng)課堂”為核心，在師生之間、生生之間及人機(jī)之間可以實(shí)時(shí)進(jìn)行全員交互的教學(xué)環(huán)境;另一方面在思維層面構(gòu)建了本節(jié)課的整體架構(gòu)，通過(guò)對(duì)反比例函數(shù)表達(dá)式的特征分析，讓學(xué)生初步感知反比例函數(shù)圖像的分布區(qū)域和趨勢(shì). 通過(guò)對(duì)反比例函數(shù)圖像的定性分析，確定了反比例函數(shù)的性質(zhì)，這樣從“數(shù)”想象“形”，從“形”研究“數(shù)”，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，提升了課堂的思維品質(zhì).

3. 構(gòu)建提升核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，體悟數(shù)學(xué)思想和方法

史寧中教授認(rèn)為，在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的大背景下，教學(xué)強(qiáng)調(diào)素養(yǎng)的形成，不是依賴(lài)單純的課堂教學(xué)，而是依賴(lài)學(xué)生參與其中的教學(xué)活動(dòng);不是依賴(lài)記憶與理解，而是依賴(lài)感悟與思維. 它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗(yàn)的積累. 尤其是在信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的課堂上，克服信息技術(shù)本身對(duì)教學(xué)的干擾，將注意力更加聚焦于學(xué)生的思維過(guò)程，這值得思考. 筆者在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，根據(jù)曲線(xiàn)型函數(shù)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了“由數(shù)想形”“描點(diǎn)試連”等常態(tài)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，借助于軟件希沃5.0和Around U引導(dǎo)學(xué)生參與具體情境中的實(shí)踐活動(dòng)獲取知識(shí)、構(gòu)建意義并解決問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、嘗試的思維過(guò)程，再通過(guò)“點(diǎn)加密”的方法去驗(yàn)證反比例函數(shù)的圖像，最終達(dá)成將所學(xué)知識(shí)（反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)）與情境（函數(shù)圖像的研究方法）建立聯(lián)系并遷移的目的. 讓學(xué)生親歷知識(shí)形成的過(guò)程，讓知識(shí)內(nèi)化、讓理解深入，從而整體感知函數(shù)的學(xué)習(xí)方法.

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