更高、更全、更遠

錢衛剛

[摘? 要] PISA測試是由OCED（世界經濟合作與發展組織）開發與實施的一項輻射全世界的大型國際教育成效評估研究，它主要針對處于義務教育階段的15周歲學生，評測他們在閱讀、數學、科學這三個領域的素養及能力，以此來反射出各國教育的成果，展現各國教育發展狀況，從而促進各國間相互學習、共同進步. PISA從2000年第一次正式實施起就吸引多個國家的參與，在全球引起較大的反響，它的價值遠遠超出傳統意義上的成就測試.

[關鍵詞] 初中數學;PISA測試;問題;技能

我國自2009年起每隔三年便會派遣學生參加PISA測試，在2009年和2012年均獲得了3個領域的第一名，在2015年成績稍有下滑，但是2018年重回巔峰，再次包攬3個領域的第一名. 這個結果在世界范圍內產生了不小的影響，吸引了多個國家的學習與效仿. 筆者是一名初中數學教師，長期關注該測試，為中國孩子在測試中的卓越表現喝彩的同時也從專家們的深度點評中獲得了關于數學教學的最新認知. 對此，筆者最大的感悟就是教學要促進學生的全面發展. 以數學中最具代表性的解決問題來說，其中的思維過程所涉及的數學技能就包括了“交流”“數學化”“表達”“推理與論證”“運用數學語言并運算”“設計策略”“運用數學工具”這七個方面，如何在教學中落實并發展這些技能是教師需要反復思考與斟酌的. 對此，筆者結合自身的教學實際，就如何在解決問題中體現數學基本技能及如何培養學生各方面能力來談一談看法.

展示問題：交流技能

交流技能是學生數學思維過程中最基本的技能，即學生能夠閱讀與解碼數學問題，從而清晰地解答問題，為交流、解釋和論證數學問題做好準備. 交流技能滲透于整個數學學習中，而非突然體現在某個學習環節中. 如學生在閱讀數學問題時能準確獲知問題的已知信息，清楚理解所要求解的對象;在運用數學方法時能夠清晰地展示或表達解決問題的方法，并總結和提供所需的內容知識及數學思想;在解釋和應用數學結果時能夠構建數學模型，論證數學方法.

交流技能不僅體現于數學學習中，而且貫穿于其他學科學習或日常生活中. 在常態教學中，交流技能沒有固定的教法，教師也無法通過機械地指導學生來提高他們在該方面的技能，而應該更多地給予學生交流與表達的機會，讓學生在學習中自然而然地提高交流技能.

看待問題：數學化技能

數學化技能就是學生用數學的眼光看待問題的技能，也是我們通常所講的“數感”，從心理學的角度來看，數感一部分源于先天，是人和動物與生俱來的一種心理品質，另一部分來自后天的學習與培養. 在初中數學解決問題的過程中，數感的最明顯體現在于數學模型的建立過程中.

例1 如圖1所示，在平面直角坐標系中有一個等腰直角三角形ABC，∠B=90°，點A在x軸上，點B在y軸上，已知點A（4，0），B（0，3），求點C的坐標.

該問題的解決只需過C點作y軸的垂線，垂足為D，根據“一線三等角”模型可以證出△AOB≌△BDC，從而根據AO=BD，BO=CD的結論求出點C的坐標. 在這個問題中，數學化技能得以體現，發現隱藏其中的一線三等角模型是關鍵.

通俗地理解，數學化技能就是用數學的眼光來看待問題、看待世界的技能，教師在數學教學中要有意識地強化學生對數學模型、數學思想的認識，這樣可以于無形中促進學生數學化技能的提升.

理解問題：表達技能

表達技能建立在數學化技能的基礎上，即能夠在數學問題中用不同的方式揭示或表達數學結果的能力. 該能力很大程度上體現于對問題的理解上，這是解決問題過程中極其重要的一步，是問題得以解決的重要保障.

在數學教學中，我們常說的數學語言包括三種：文字語言、圖形語言、符號語言. 如表達三角形全等可以采用這三種語言，文字語言為“兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形”，圖形語言如圖3所示，符號語言為“△ABC≌△A′B′C′”. 淺層次的表達技能是能夠在這三種語言之間進行切換，深層次的表達技能是能夠理解這三種語言之間的內在聯系.

數學表達技能不僅對于數學問題的解決，而且對于數學概念的學習、數學定理的理解及幾何圖形的解讀都有著積極的促進作用. 在課堂中，教師大膽放手，給學生更廣闊的空間及更寬泛的時間，讓學生有更多深入理解問題及表達想法的機會，促進表達技能的發展.

分析問題：推理與論證技能

推理與論證是在數學教學中談及較多的一項技能，即學生在解決問題的過程中運用數學知識進行解釋、辨析、概括及證明的過程，它是解決問題的中心環節，是學生理解問題、分析問題所必需的.

例2 甲、乙兩人晨跑鍛煉身體，同時同地出發，所跑路程y（米）與所用時間t（分）之間的關系如圖4所示，當時間為多少時兩人相距的路程為50 m？

分析過程 解決該問題的關鍵在于讀懂圖像，由圖像可以獲知的信息有：甲始終勻速前進，8分鐘跑了800米;乙2分鐘之前的速度比甲快，2分鐘后的速度比甲慢，8分鐘共跑了700米;甲、乙在跑步過程中相遇一次. 根據觀察可以發現，當0<t<2、2<t<5及5<t<8時均會出現兩人相距50米的情況. 由于問題中甲、乙均涉及了路程和時間這兩個變量，且路程隨時間的變化而變化，因此可以用函數的相關知識來解釋，甲對應的是連續函數，乙對應的是分段函數，列出兩個函數解析式，在對應的t取值范圍內進行加減即可求解相關問題.

分析問題的能力就是會靈活利用數學知識“解鎖”問題的能力，分析的過程依托了推理與論證技能. 在教學中，教師應引導學生重視解決問題的過程，強化過程，弱化結果，讓學生形成分析問題的能力.

規劃問題：運用數學語言并運算的技能

運用數學語言并運算是較為高級的數學技能，它對學生的數學基礎有著較高的要求，要求學生能夠基于數學定義、數學規則、數學體系來理解和使用數學語言及數學技能.

例如“3.1 勾股定理”（蘇科版八年級上冊第三章）的教學中，對勾股定理的證明是教學重點，也是教學難點. 在定理“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的探索中，學生將文字命題轉化為“已知：如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，求證：a2+b2=c2”就是運用數學語言并運算的技能的落實.

運用數學語言并運算的技能是建立在數學化技能及表達技能基礎之上的一次發展，是解決問題中的高級能力. 在教學中，變式問題的編制、一題多解的引導及發散思維的激發，都是提高該能力的有效途徑.

解決問題：設計策略技能

設計策略技能就是常說的數學方法，它體現于在通向數學解答、數學論證或數學歸納的過程中，學生選擇或指定計劃及策略的技能，它是解決問題的關鍵環節.

接著以上述勾股定理的證明為例，將文字命題轉化成由符號語言和圖形語言構成的幾何證明題是對問題的規劃，依托了運用數學語言并運算的技能，那么實現該定理的證明便需要踐行設計策略的技能. 在這個過程中，我們需要選擇合適的方法并設計出證明的策略，如課本的證法（圖6）、畢達哥拉斯證法（圖7）、總統證法（圖8）等. 設計策略技能在證明的過程中真正得以最完整的體現.

設計策略的技能不僅是學習數學的技能，更是學習其他學科及我們生活所必備的技能. 在數學教學中，教師應突出方法及策略的作用，重視總結與歸納，在潛移默化中鍛煉學生的設計策略技能.

描繪問題：運用數學工具的技能

運用數學語言描繪問題建立在表達技能之上，它要求學生能夠了解并能正確使用各種數學工具（包括有形的和無形的），從而對數學問題進行合理的描繪.

如常見的有形數學工具包括三角板和量角器等簡單學具或計算器、計算機等，無形的數學工具包括自身儲備的數學知識、數學語言、數學符號等. 在現代化的數學學習中，好的使用計算機的技能顯得尤為重要，如利用計算機中的“幾何畫板”可以直觀體現紙筆無法實現的圖形，促進學生對相關問題的理解;使用Mathematica可以解決各類數學運算及數學實驗;MathCAD可以完美呈現立體圖形，幫助學生建立空間感.

各類數學工具的運用不僅是教師必備的技能，也應該讓學生有所觸及. 在新時期的數學教學中，倡導教師將數學工具的運用也落實成為學生學習的日常需要，發展該技能的同時讓學生擁有最全、最新的資源，從而進行更深、更廣的數學探索.

PISA測試是一項轟動全球的大型測試，大部分師生無法親歷，但它并非遙不可及、高不可攀，它的問題不追求“難”，而追求“全”，以樸實常規的問題反映出學生的日常. 從某個程度來講，PISA就滲透于常態教學的每一個環節. PISA測試給教師呈現了一次完整的涵蓋知識、能力及素養的測試，也給師生提供了一個共同學習及改進的范本，那就是教學的視角要高、看待問題的眼光要遠、知識及能力的覆蓋要全，追求更高、更遠、更全的教學.

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