提升解題教學質量 促進學生全面發展

余逗

[摘? 要] 高三復習主要以解題為主，解題教學自然成了高三復習課的重要環節，其承載著高質量完成教學目標的重任. 因此，在解題教學中不能盲目地搞“一刀切”“一言堂”，在問題的選擇和設計上應符合學生的最近發展區，注重師生交流，集思廣益，在不斷探究中掌握解決問題的通性通法，從而不斷完善和建構自我認知，實現共同進步.

[關鍵詞] 解題教學;解決問題;共同進步

高三復習課應是高效的、高質量的，因此在題目的選擇和設計上應構思合理、分析全面，選擇有針對性的題目，讓學生在解決的過程中理清思路和方法，從而提升解題能力. 同時，復習課既要統籌全局，又要兼顧個人. 下面筆者談一談對解題教學的幾點淺見.

[?] 創設“問題串”，強化數學思維

創設問題應有利于啟發學生思考，引導學生在解決問題時不斷嘗試、不斷創新，從而發現問題產生和解決的一般規律，認清問題的實質. 那么如何創設問題才是有效的，才是真正有利于探究的，真正可以發展學生思維的呢？筆者認為，創設問題應有效結合學生的學情，充分了解其掌握的知識和技能，創設符合學生最近發展區的問題，以保障問題能讓學生“夠得著”，從而引發學生探究的熱情. 同時，提出新知最好基于原有認知，雖然新知與原有認知有所不同，然而它們之間也必然存在著一定的聯系. 在新知、原有認知共同作用下，將新知同化至原有認知結構中，豐富原有知識結構;或順應至原有認知結構中，實現新知結構的建構. 最終通過認知的鞏固和完善，提升學生解決問題的能力，實現自身發展的目的.

下面是復習裂項相消法時，教師精心設計的問題：

例1 （1）求和：++…+（n∈N*）;

（2）求數列

（n∈N*）的前n項和;

（3）求數列

（n∈N*）的前n項和;

（4）求數列

（n∈N*）的前n項和.

在裂項相消法的應用中，教師設計了分層問題：題（1）、題（2）為基本類型，利用學生熟悉的內容先進行舊知的復習;題（3）的難度有所提升，可以引導學生通過觀察，理解、記憶該結論;題（4）也是引導學生以觀察為主，其難度更大，對觀察能力和分析能力的要求更高，學困生和中等生理解起來會很困難，只有少數學生可以理解和掌握. 以上問題由易到難，讓學生解決符合最近發展區的問題后自然進入下一個發展區，這樣思路清晰，有利于學生在解題中發現其內在聯系，從而提升學習信心. 同時，有效地進行擴展，會使每個層次的學生的數學能力都有所提升.

題（1）、題（2）求解時，可通過學生回憶和總結，利用典型的裂項相消法求和. 若

a為等差數列，則=·

-

.

題（3）求解時，首先觀察其通項，容易發現n，n+1，n+2中任意兩項之積的倒數為典型的裂項相消形式，所以可以將原題進行變形：先變，從而得到·

-

，去括號得-;通過觀察發現，其為兩個典型的裂項相消形式，從而再拆分，得到

-

-

-

. 該過程先裂項相消再分組求和，根據題（1）、題（2）的解題經驗便能輕松解答.

解答題（4）需要學生對題（3）的求解過程充分理解，從而使學生知道，解答題（4）需從熟悉的模型入手，化難為簡，從而輕松解題. 首先通過觀察通項發現，為熟悉的模型，為不熟悉的模型. 因此，可先將熟悉的模型進行變形，不熟悉的暫且不變，從而得到

-

;因括號里的式子為假分式，所以可將其進行分離，得

1+-1-

=

-

;去括號得-，變形后根據裂項相消法求和.

因為有題（1）、題（2）這樣熟悉的模型作為鋪墊，所以解答題（3）、題（4）也就更加容易了. 可見，分層問題的設置在教學中起著積極的作用，學生通過成功的經歷，提升了學習的信心.

教學反思：教學中如果沒有對原有認知的鞏固而直接提出題（3）、題（4），即使基礎好的學生也會望而生畏，基礎差的學生更是遙不可及;而以題（1）、題（2）熟悉模型為基礎，問題變得有層次，容易攀登. 這樣通過新舊知識的結合，化難為簡，實現了舊知的遷移，大大地提高了學生的數學學習能力.

又例如，在復習解析幾何的定點問題時，教師設計了如下問題：

例2 （1）直線y+2=m（x-1）（m∈R）過定點________.

（2）直線y=mx+3（m∈R）過定點___.

（3）直線mx+y-m=0（m∈R）過定點________.

（4）已知曲線E：y2=4x，設點C，D是曲線E上的兩點，設OC的斜率為k，OD的斜率為k，且k+k=1，證明：直線CD過某定點，并求定點的坐標.

若直接給出題（4），則學生會毫無頭緒，而這樣預先設置“問題串”，讓學生將思路整理清晰并掌握通用解法，即“設參數—寫方程—定定點”. 解題中只有明確方向，才能各個擊破，從而解決問題. 因此，教學中要善于設計分層的“問題串”，使學生在不斷解決問題的過程中體會和感受問題的統一性，通過再認識形成新能力.

[?] 集思廣益，優化策略

高三的復習課，學生已經有了足夠的知識儲備，其在解題上也有自己的想法和見解. 因此，教學中要鼓勵學生從不同角度去思考和解決問題，從而在不同的方法中找到最優解法，提升解題效率. 同時，教師在教學中應對作業和試卷進行分析和總結，通過不同的方法進行判斷和反思，尋找思維的漏洞，從而有針對性地發展和完善學生的思維.

例3 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若tanA=3，cosC=，求B.

在解答此題時學生有著不同的解法，下面根據解法分析其優劣，從而取長補短.

解法1：由tanA=3，0<A<π，得sinA=，cosA=;由cosC=，0<C<π，得sinC=. 所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=. 因為sinB<sinA，所以0<B<，即得B=.

解法2：由tanA=3，0<A<π，得sinA=，cosA=;由cosC=，0<C<π，得sinC=. 所以cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=. 因為0<B<π，所以B=.

解法3：由cosC=，0<C<π，得tanC=2，所以tanB=-tan（A+C）==1. 因為0<B<π，所以B=.

在解三角形時，根據已知的一個角的三角函數值求其他角的三角函數值，學生習慣于列方程組求解，然而這樣的求解過程計算量大、計算煩瑣，增加了出錯概率，因此需采用其他方法求解. 若利用初中的解直角三角形的知識，則可能會有意外的收獲：解法1和解法3就是利用了解直角三角形的知識，得以快速求解.

在此題的求解過程中，先根據已知條件求得三角函數值，再根據角的范圍確定其大小. 教學中，通過對比sinB，cosB，tanB，讓學生意識到cosB，tanB在指定范圍內是單調的，有正負號之分，因此求角比sinB更方便;同時，tanB的運算量更少，因此也更容易計算. 通過對比讓學生學會選擇適當的三角函數，明確選擇范圍的作用，同時通過多種解法的理解，能有效地鞏固和發展學生的數學思維.

[?] 師生交流，共同成長

在教學過程中要關注學生的反饋，根據語言交流或者表情交流來判斷學生對知識的理解、掌握和運用的情況，充分體現學生為主體，發揮學生的主體作用，有利于促進學生的進步和發展. 同時，在教學中要尊重個體差異，不同層次的學生有著不同的認知，相同層次的也會有不同的思考方向，正是由于不同的觀點才使得交流變得更有意義. 通過有效地交流、大膽地質疑，可提升學生的參與度，提高課堂的有效性，從而有利于知識的內化和提升，促進個體認知結構的完善和建構.

例如，解析幾何是高考的重要考點之一，因為解決它需要計算技巧、圖形特點等才能理清思路，所以也是高三復習的重難點之一. 若要突破這一重難點，依賴于教師講、學生聽是很難達到預期效果的;但可以通過師生交流，充分結合學生的想法，從而一起探究，突破難關. 同時，加入學生的思路，題目也會變得更加生動、靈活. 對于這類復習題，教師可以給足學生時間去嘗試練習，練習后通過交流分析新想法、新思路，之后再進行總結和練習，這樣可以激發學生的潛能，促進數學知識的延伸和拓展，通過交流理清問題的來龍去脈.

可見，師生交流無論對教師還是對學生都是有益的：于教師，可以有效地結合學生的新思路、新想法，不斷完善和優化解題過程，提高個人技能;于學生，交流可以讓學生大膽地提出自己的想法，通過一起探究驗證其準確性和可操作性，有利于理清思維誤區，促進思維健康發展.

總之，在高三的解題教學中應重視層次教學，鼓勵學生提出新想法、新思路，改掉“一言堂”的教學模式，通過集思廣益、交流合作，讓學生在實踐中感悟和優化解決問題的通性通法，不斷地完善和拓展自我認知結構.

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