淺析高中數(shù)學(xué)如何利用解后反思提高學(xué)習(xí)效益

沈宏

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，若想提高解題效率單憑“題海戰(zhàn)術(shù)”不僅枯燥乏味，而且效率低下，也不利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升. 因此，為實(shí)現(xiàn)解題的主動(dòng)性和高效性，必須重視解后反思. 通過(guò)反思深挖知識(shí)的內(nèi)涵和外延來(lái)完善知識(shí)體系，通過(guò)“多解”“多變”等手段來(lái)挖掘和發(fā)揮學(xué)生的潛能，從而培養(yǎng)學(xué)生多思善想的好習(xí)慣，提高解題效率.

[關(guān)鍵詞] 高效性;解后反思;解題效率

解題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的環(huán)節(jié)，解題可以直接反映學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，從而有針對(duì)性地查缺補(bǔ)漏，然解題不能盲目追求數(shù)量，應(yīng)該重視效益，不能因過(guò)多強(qiáng)化訓(xùn)練而造成思維定式，得不償失[1]. 筆者認(rèn)為，為了使解題訓(xùn)練獲得更好的效益，應(yīng)該重視解后反思，通過(guò)反思深化理解，形成知識(shí)脈絡(luò)，有助于知識(shí)的遷移和解題效率的提升. 那么如何進(jìn)行有效的解后反思呢？筆者結(jié)合幾個(gè)解題訓(xùn)練，提出了幾點(diǎn)淺見(jiàn).

[?] 深挖聯(lián)系，提升解題能力

高考題目主要考查學(xué)生的綜合能力，大多題目的思維量較大，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，因此需要在解題后注意反思. 通過(guò)思考相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有針對(duì)性地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏，進(jìn)而鞏固基礎(chǔ)知識(shí);通過(guò)思考知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，進(jìn)而將知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化. 可見(jiàn)，通過(guò)有效反思有助于知識(shí)的鞏固，有助于學(xué)生解題能力的提高.

例1 平面α與平面β異面，m，n為兩條不同的直線且不在α和β平面內(nèi)，現(xiàn)給出四個(gè)條件：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α. 請(qǐng)任選三個(gè)條件作為已知、一個(gè)條件轉(zhuǎn)為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題：________.

本題考查的內(nèi)容是“平面與平面垂直的判定”. 其中，條件①為線線垂直，條件②為面面垂直，條件③和條件④為線面垂直. 根據(jù)以上四個(gè)條件可組成四個(gè)命題，分別是“①②③?④”“①②④?③”“①③④?②”“②③④?①”. 在考試時(shí)學(xué)生一般只要推理出一個(gè)正確答案即可. 然若作為平時(shí)練習(xí)題目或解后反思則需要進(jìn)一步驗(yàn)證，這樣有利于學(xué)生加深對(duì)該模塊內(nèi)容的理解，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 同時(shí)，通過(guò)進(jìn)一步的推理驗(yàn)證，能幫助學(xué)生克服粗心的習(xí)慣，提高學(xué)生的解題能力.

[?] 嘗試多解，培養(yǎng)發(fā)散思維

為了使學(xué)生具備多角度觀察和解決問(wèn)題的能力，學(xué)生在求解后應(yīng)進(jìn)一步思考，嘗試新思路、尋找新方法. 教學(xué)中教師可創(chuàng)設(shè)一個(gè)平等、和諧的交流環(huán)境，讓學(xué)生通過(guò)交流與合作體會(huì)多角度觀察和多角度思考的魅力，從而鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維[2]. 利用“一題多解”的鍛煉，使學(xué)生通過(guò)多角度觀察受到啟發(fā)并嘗試不同的方法來(lái)分析和解決問(wèn)題，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，也有利于提升學(xué)生的解題能力.

例2 設(shè)p>0，q>0，且p3+q3=2，求證p+q≤2.

思路1：構(gòu)造法. 因結(jié)論中p+q為兩數(shù)之和，因此可通過(guò)構(gòu)造一元二次方程進(jìn)行求解. 設(shè)p，q是方程（x-p）（x-q）=0的兩根，令p+q=m，pq=n，則p3+q3=（p+q）·[（p+q）2-3pq]=2. 將p+q=m，pq=n代入上式得m（m2-3n）=2，即n=，所以Δ=m2-4n=m2-≥0，解得m≤2，即p+q≤2.

思路2：反證法. 設(shè)p+q>2，則（p+q）3>8，即p3+q3+3pq（p+q）>8. 因?yàn)閜3+q3=2，所以2+3pq（p+q）>8，所以pq（p+q）>2，所以pq（p+q）>p3+q3，即pq（p+q）>（p+q）·（p2-pq+q2），即pq>p2-pq+q2，即（p-q）2<0，這顯然不成立. 所以p+q≤2.

思路3：均值不等式. p3+1+1≥3=3p，q3+1+1≥3=3q，以上兩式相加得p3+q3+4≥3p+3q，即3p+3q≤6，故p+q≤2.

當(dāng)然此題的解法不局限于這幾種，學(xué)生還可以利用函數(shù)的性質(zhì)、三角代換、向量等知識(shí)和方法進(jìn)行求解，解后讓學(xué)生進(jìn)行多解訓(xùn)練有助于培養(yǎng)他們的知識(shí)綜合應(yīng)用能力，通過(guò)不斷地思考和探索使思維發(fā)散和升華;同時(shí)，學(xué)生通過(guò)大膽嘗試體驗(yàn)創(chuàng)新的快樂(lè)，從而培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

[?] 尋找規(guī)律，舉一反三

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，若不重視規(guī)律的總結(jié)會(huì)使學(xué)生一直在“題海”中沉浮，解題效率無(wú)法提升. 因此，在日常學(xué)習(xí)中不要讓學(xué)生解完一題后就急于求解下一問(wèn)題，而應(yīng)讓學(xué)生“思一思”“變一變”：是否可以將其轉(zhuǎn)化為相似的問(wèn)題，從而總結(jié)出解決此類問(wèn)題的通性通法？是否可以將問(wèn)題的特殊性轉(zhuǎn)化為一般性，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律提升解題效率？相信通過(guò)推廣和延伸，學(xué)生的探究能力和解題能力都會(huì)有所提升.

例3 已知異面直線m和n所成的角為50°，點(diǎn)P為異于m，n所在面的任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是30°的直線有且僅有（? ）

A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條

在本題中起關(guān)鍵作用的就是過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角的度數(shù)，若想進(jìn)一步理解本題不妨將此角的度數(shù)進(jìn)行變化：

變式1：將“過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是30°”改為“過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是25°”（其他條件不變）;

變式2：將“過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是30°”改為“過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是65°”（其他條件不變）;

變式3：將“過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是30°”改為“過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是70°”（其他條件不變）;

變式4：已知異面直線m和n所成的角為x°，點(diǎn)P為異于m，n所在面的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與m和n所成的角都是y°的直線有且僅有1條，則x與y的關(guān)系式是______.

數(shù)學(xué)習(xí)題雖然多變，但大多數(shù)有規(guī)律可循，通過(guò)解后反思大膽提出變式題，由表及里層次深入，透過(guò)問(wèn)題的表象思考問(wèn)題之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而通過(guò)特殊發(fā)現(xiàn)一般（規(guī)律和性質(zhì)），找到解決此類問(wèn)題的方法，進(jìn)而通過(guò)舉一反三的訓(xùn)練達(dá)到融會(huì)貫通的目的，提升解題效率和解題能力.

[?] 反思錯(cuò)題，提升思辨能力

解題過(guò)程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，同時(shí)錯(cuò)誤的種類也不盡相同，有的是審題不清，有的是概念混淆，有的是忽視了隱含條件，有的是邏輯出了問(wèn)題……出現(xiàn)錯(cuò)誤不可怕，關(guān)鍵的是出現(xiàn)錯(cuò)誤后如何處理. 有些學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤常常置之不理，有些學(xué)生僅限簡(jiǎn)單地訂錯(cuò)，這樣學(xué)生將一無(wú)所獲，浪費(fèi)了整理歸納、查缺補(bǔ)漏的機(jī)會(huì). 因此，學(xué)習(xí)中必須利用好錯(cuò)誤，通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤的反思進(jìn)行分類和整理，從而建立清晰的知識(shí)框架，提高辨析能力和解題能力[3].

例4 求和S=

x+

+

x2+

+…+

xn+

.

錯(cuò)解：S=（x+x2+…+xn）+

++…+

=+.

學(xué)生應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)因忽略了公比而造成了錯(cuò)誤，當(dāng)公比q為不確定值時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論，將其分為q=1和q≠1兩種情況. 在本題求解時(shí)需分四種情況：①x=1，y≠1;②x=1，y=1;③x≠1，y=1;④x≠1，y≠1. 出現(xiàn)上面的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)原因：一是對(duì)公式的內(nèi)涵理解得不夠深入;二是分類討論的意識(shí)淡薄，思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)和全面. 因此，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)誤反思，從而提高思維的全面性，提高解題效率. 本題應(yīng)用分類討論將不確定的公比轉(zhuǎn)化為確定的公比. 另外，分類討論在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)還可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn). 分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想也是重要的解題策略，應(yīng)引起足夠的重視.

[?] 動(dòng)手改編，提升應(yīng)變力

高考題目靈活多變，如果教學(xué)中僅是“就題論題”，不僅會(huì)使學(xué)生陷入“題?！痹黾诱n業(yè)負(fù)擔(dān)，而且也不利于學(xué)生思維能力的提升. 為了改變“就題論題”的現(xiàn)象，可以利用一些典型問(wèn)題進(jìn)行改編，使學(xué)生可以更加全面地思考問(wèn)題. 同時(shí)，通過(guò)改編進(jìn)行拓展和延伸，把問(wèn)題變得更高更廣，這勢(shì)必引發(fā)學(xué)生的深度思考，促進(jìn)解題能力的提升.

例5 動(dòng)點(diǎn)P在橢圓+y2=1上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)A（0，2）到動(dòng)點(diǎn)P的距離AP的最大值.

本題是一個(gè)典型題，求解不難，AP的最大值為. 求解后可引導(dǎo)學(xué)生以此題為基礎(chǔ)，通過(guò)有效變式來(lái)增加題目的難度和廣度，以此提升學(xué)生的應(yīng)變能力. 為了提升學(xué)生的參與程度，教師可以引導(dǎo)學(xué)生編制題目，經(jīng)過(guò)猜想、分析、爭(zhēng)論、整理得出了以下幾個(gè)改編題：

改編1：動(dòng)點(diǎn)P在橢圓+y2=1上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)A（0，2）到動(dòng)點(diǎn)P的距離AP的最小值.

改編2：動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2=2x上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)A（0，2）到動(dòng)點(diǎn)P的距離AP的最小值.

改編3：動(dòng)點(diǎn)P在橢圓+y2=1上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)A（0，a）（a>0）到動(dòng)點(diǎn)P的距離AP的最大值.

改編4：動(dòng)點(diǎn)Q在圓x2+y2-4y+3=0上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓+y2=1上運(yùn)動(dòng)，求PQ的最大值.

改編5：設(shè)橢圓的中心點(diǎn)為（0，0），焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A（0，2）的距離的最大值為，求橢圓的方程，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

顯然通過(guò)上述的改編使得內(nèi)容更加豐富，將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了有效串聯(lián)也大大地提升了知識(shí)覆蓋面，有利于知識(shí)體系的建構(gòu). 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行討論和改編，使學(xué)生以出題者的角度去思考問(wèn)題，拓寬了解題的思路. 另外，教學(xué)中通過(guò)拓展和延伸可以有效地避免“就題論題”，有利于培養(yǎng)思維的變通性，提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

總之，解后反思是必要的，教師在教學(xué)中不要急于求成，而要細(xì)心引導(dǎo)，充分發(fā)揮反思在深化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知、引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展思維中的積極作用，讓學(xué)生通過(guò)反思優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力全面提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 鄭良. 一道題的解題思維策略[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2012（05）.

[2]? 趙伊惠. 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)研究[D]. 蘇州大學(xué)，2019.

[3] 閆超. 利用“錯(cuò)題資源”培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的實(shí)踐研究[D]. 天津師范大學(xué)，2018.

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