“必要探路”中的“路”從何而“探”

黃昌毅

[摘? 要] “必要探路”是破解含參函數不等式恒成立問題的重要策略. 將函數不等式問題轉化為兩函數圖像的位置關系，通過觀察函數圖像，直觀得到臨界狀態，是尋找必要條件的關鍵步驟.

[關鍵詞] 必要探路;恒成立問題;直觀想象

函數不等式恒成立問題是高考考查的熱點、難點. 為尋找解決這類問題的突破口，往往需要先利用必要條件探路（通過取自變量一特殊值使不等式恒成立），得到參數的取值范圍，隨后驗證其充分性，這就是“必要探路”解題的思想方法. 因此，如何合理正確地得出必要條件是解決這類問題的關鍵，那么這個必要條件（特殊值）該選取誰？選取的依據是什么？

下面筆者以2020年兩道高考試題為例，探索“必要探路”中的“路”從何而“探”.

題1 （2020年高考山東卷第21題）已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當a=e時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

分析：（1）略;

（2）f（1）≥1，得a+lna≥1. 設φ（a）=a+lna，易知φ（a）=a+lna單調遞增，又φ（a）=a+lna≥1=φ（1），可得a≥1.

下面證明a≥1滿足條件：f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx. 易證lnx≤x-1，即x≤ex-1，當且僅當x=1時取等號，則ex-1-lnx≥x-（x-1）=1，當且僅當x=1時取等號. 綜上，a≥1.

這種解法簡潔直觀，讓教師和學生眼前一亮，但在驚訝感嘆后，卻帶來了很大的疑惑：“為什么取x=1呢？為什么不取x=2呢？”有些人說“只有取x=1時，得到的a的取值范圍較簡潔”，看似有道理，但數學邏輯上卻缺乏嚴謹性，所以關鍵還是要探究“為什么要取x=1”.

因為函數y=f（x）的解析式中包含ex，lnx，而y=ex與y=lnx互為反函數，即圖像關于直線y=x對稱，所以是否能從圖像對稱的角度去探究呢？

探究：f（x）=aex-1-lnx+lna≥1?·ex≥ln

·x，易知y=·ex與y=ln

·x互為反函數，即圖像關于直線y=x對稱，則·ex≥ln

·x?·ex≥x≥ln

·x. 轉化為ex-1≥x恒成立，即y=ex-1的圖像恒在y=x的上方. 由圖1可知，≤1，即a≥1. 當y=ex-1與y=x相切于點（1，1）時a=1，即a≥1取等號的條件為x=1.

此時豁然開朗，原來x=1不是隨便取的，y=·ex，y=ln

·x同時與y=x相切時，如圖2所示，切點的橫坐標即為x=1，所以x=1為臨界值.

題2 （2020年高考全國Ⅰ卷理科第21題）已知函數f（x）=ex+ax2-x.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性;

（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求實數a的取值范圍.

分析：（1）略;

（2）ex+ax2-x≥x3+1，即ex-x3+ax2-x-1≥0. 設g（x）=ex-x3+ax2-x-1，依題意得g（2）≥0，解得a≥.

下面證明a≥滿足條件：g（x）=ex-x3+ax2-x-1≥ex-x3+x2-x-1，即證明ex-x3+x2-x-1≥0，即證明

x3+x2+x+1

e-x≤1.

設h（x）=

x3+x2+x+1

e-x，則h′（x）=-x（x-2）

x+

e-x. 易求得y=h（x）在

0，

，（2，+∞）遞減，在

，2

遞增，則hmax（x）=max{h（0），h（2）}=1，即h（x）≤1.

這題取x=2就更讓人感到困惑了，那么x=2從何得來的呢？

探究：①當x=0時，上述不等式顯然成立，符合題意，此時a的取值范圍為一切實數;

②當x>0時，可得ex+ax2-x≥x3+1?≥x-a，即y=的圖像恒在y=x-a的上方.

設φ（x）=，對其求導，得φ′（x）==

ex+1

.

設m（x）=ex+1，對其求導，得m′（x）=ex>0，則m（x）>m（0）=0.

所以φ′（x）>0，所以φ（x）在（0，+∞）上單調遞增.

設y=與y=x-a的切點為P（x，y），則φ′（x）=，代入化簡得（x-2）

e-x-x-1

=0，易證明e-x-x-1>0，所以x=2，此時a=.

如圖3所示，即y=與y=x-a相切時，切點的橫坐標為x=2. 故先取特殊值x=2. 當然也可以這樣轉化：ex+ax2-x≥x3+1?≥-ax+1，如圖4所示，當y=與y=-ax+1相切時，切點的橫坐標為x=2.

“必要探路”解題方法中由必要條件得到的范圍是必須滿足的范圍，而如果同時又證明了這個范圍內所有的數都可以取到，那么這個過程在邏輯上就是嚴密的，這體現了數學的邏輯推理素養;而尋找這個“必要條件”，則體現了數學的直觀想象素養. 史寧中教授說：“數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確定依賴于推理，也就是說，在大多數情況下，數學的結果是看出來的而不是證出來的.”[1]將函數不等式恒成立問題轉化為兩函數圖像的位置關系，通過觀察函數圖像，直觀得到臨界狀態，雖然嚴謹性不足，但卻能提供解題方向.

歷年高考對函數恒成立問題的考查頻繁，其中有不少試題均可使用“必要探路”解題方法破解，例如：

題3 （2019年高考全國Ⅰ卷文科第20題）已知函數f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）為f（x）的導數.

（1）證明：f′（x）在區間（0，π）存在唯一零點;

（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍.

分析：（1）略;

（2）依題意，f（π）≥aπ，解得a≤0.

下面證明a≤0滿足條件：

由（1）知，f′（x）在（0，π）只有一個零點，設為x，且當x∈（0，x）時，f′（x）>0;當x∈（x，π）時，f′（x）<0. 所以f（x）在（0，x）上單調遞增，在（x，π）上單調遞減. 又f（0）=0，f（π）=0，所以，當x∈[0，π]時，f（x）≥0≥ax.

因此，a的取值范圍是（-∞，0].

探究：f（x）≥ax，即x∈[0，π]時，y=f（x）的圖像始終在y=ax的上方. 由（1）可大致作出函數y=f（x）的圖像，如圖5所示，由圖可知a≤0.

題4 （2012年高考新課標卷文科第21題）設函數f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的單調區間;

（2）若a=1，k為整數，且當x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

分析：（1）略;

（2）（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（ex-1）+x+1>0. 取x=1，代入得k<1+;取x=2，代入得k<2+，即k≤2.

下面證明k=2滿足條件，即證（x-2）ex+3>0成立，下略.

探究：（x-k）（ex-1）+x+1>0?> -x+k.

即當x>0時，y=的圖像始終在y=-x+k的上方.

令g（x）=，則g′（x）=<0.

設y=與y=-x+k相切于點P（x，y），如圖6所示，則g′（x）=-1，即e-x-2=0.

由（1）知，函數f（x）=ex-x-2在（0，+∞）上單調遞增，而f（1）=e-3<0，f（2）=e2-4>0，則x∈（1，2）. 故取x=1和x=2.

數學教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然.”這為數學解題教學標明了三個遞進的境界：一是知其然，二是知其所以然;三是知何由以知其所以然[2]. 這告訴我們，在平常的解題教學中，我們除了傳道、授業以外，解惑也是一個非常重要的環節，將問題分析清楚，厘清解答背后的數學思維，把握數學問題的本質，教會學生用數學思維思考問題、解決問題，這才是教學的最終目標.

參考文獻：

[1]? 盛國平. 讓數學抽象在概念教學中落地生根——以“函數的奇偶性”為例[J]. 中學數學教學參考，2019（18）.

[2]? 牟慶生. 知其然、知其所以然、知何由以知其所以然——由2016年浙江理第19題引發的數學解題教學的思考[J]. 中學數學，2016（23）.

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