關于“橢圓及其標準方程”的過程分析與教學思考

徐元珍

[摘? 要] 知識與能力是課堂教學的重點，教學中建議立足教材內容設計閉環(huán)過程，引入情境豐富探究過程，教學環(huán)節(jié)以問題為驅動，引導學生思考. 文章以“橢圓及其標準方程”章節(jié)內容為例，進行教學反思、環(huán)節(jié)設計，提出了四點建議.

[關鍵詞] 橢圓;情境;過程;活動;問題;教學

“橢圓及其標準方程”是高中數(shù)學的重要知識內容，教學的重點是引導學生經(jīng)歷橢圓方程的構建過程，掌握橢圓方程的基本形式;同時感悟探究過程，積累探究經(jīng)驗，獲得知識與能力雙重提升. 課堂教學要立足知識重點，喚起學生參與過程探究，在探索中發(fā)展數(shù)學思維，培養(yǎng)學科素養(yǎng). 下面基于教學實踐開展反思討論.

[?] 過程把控，落實閉環(huán)教學

過程把控是課堂教學的關鍵，也是難點所在. 教學中需要立足教學重點，把控基礎知識、活動環(huán)節(jié)、學生思維，即把控課堂的探究過程，幫助學生積累活動經(jīng)驗. 同時，要落實教學閉環(huán)，強化知識重點，全面提升學生的能力，故可圍繞“四基”設計教學活動，包括數(shù)學活動、基本活動經(jīng)驗、基本思想、基礎知識和基本技能，閉環(huán)流程如圖1所示.

按照圖1進行“四基”流程設計，依托數(shù)學活動，即情境化教學活動，讓學生在活動中積累探究經(jīng)驗. 同時，數(shù)學活動應立足核心任務，為基礎知識的教學與基本技能的傳達服務. 在知識與技能的教學中要合理滲透數(shù)學的基本思想，如情境教學中滲透類比思想，橢圓定義推導中滲透歸納推理思想，方程建系中滲透模型思想，橢圓方程與圖像分析中滲透數(shù)形結合思想;在活動探究中要讓學生直接感悟數(shù)學思想，深刻體會思想的本質內涵.

數(shù)學的基本活動經(jīng)驗是學生參與數(shù)學活動中對數(shù)學知識與技能的內化，故活動設計要遵從教學探究理念，重視知識與技能的融合，幫助學生積累探究經(jīng)驗. 而強化學習基礎知識是探究活動的最終目的，往往以探究結果的形式來呈現(xiàn)，教學中要注重知識與能力的融合與提升.

[?] 情境引入，探索定位新知

橢圓是生活中常見的圖形，與我們的生活息息相關，“橢圓及其標準方程”的教學要引導學生從實物的感性認識上升到理性研究，故在課堂教學中建議采用情境引入的方式. 利用多媒體展示與橢圓相關的生活場景，如大家熟悉的天體運動、橢圓形的建筑物、生活物品等，同時讓學生思考生活中其他的橢圓物件，引導學生發(fā)現(xiàn)橢圓，從感性層面認識橢圓.

后續(xù)根據(jù)學生的認知情況提出深層的數(shù)學問題并在互動中設置問題引發(fā)思考：類比圓的學習過程，橢圓應該按照怎樣的順序來探究？有哪些需要重點關注的內容？從而調動學生的思維，聚焦知識重點，形成橢圓內容探究的邏輯軌跡：橢圓繪圖→橢圓形成的條件→橢圓定義，探索橢圓概念→橢圓方程的構建過程→總結橢圓的幾何特征.

由情境素材到橢圓的探究內容，學生根據(jù)自我的知識經(jīng)驗完成過渡，并結合類比方法概括橢圓探究的重點. 該過程中涉及感性思維與理性思維的融合，直觀想象與類比分析的融合. 同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，有助于學生定位新知，主動學習.

[?] 精致構建，豐富探究活動

教材在編排“橢圓及其標準方程”內容時設計了眾多的探究環(huán)節(jié)，應嚴格按照知識探究的邏輯順序進行課堂推進. 這樣設計的原因有兩點：一是符合學生的認知規(guī)律，二是遵從數(shù)學探究的過程要求. 而在課堂教學中也應根據(jù)對應內容精致構建，設計豐富的探究活動.

在“橢圓繪圖”環(huán)節(jié)，引入實踐活動，讓學生準備一塊紙板、一段細繩、兩枚圖釘，類比圓的畫法來作橢圓的圖，思考具體的作圖方法——將繩子的兩端用圖釘F和F固定于紙板上，確保兩點之間的距離小于細繩的長度，用筆將細繩拉緊在紙板上慢慢移動，同時讓學生觀察所繪的圖形.

在“橢圓形成的條件”環(huán)節(jié)應注重探索與思考，應根據(jù)橢圓的繪圖過程，思考兩點問題：①筆尖移動過程中哪些條件是不變的，哪些是變化的？②繩子的長度與定點的距離有何關聯(lián)？

在“橢圓定義”環(huán)節(jié)應類比圓的定義，引導學生充分利用幾何與文字語言全面概括橢圓，該環(huán)節(jié)應關注定義中的關鍵詞，如“平面內”“常數(shù)>

F

F”等. 同時，可采用類比辨析的方式，引導學生對照圓的概念逐條對比，引出橢圓的焦點、焦距等概念.

而“橢圓方程的構建過程”則應突出建系過程，可設置實踐活動，突出數(shù)形作圖過程，同時讓學生思考建系的一般流程. 具體過程如下：①提取橢圓的兩條對稱軸，建立平面直角坐標系;②設定坐標軸，引出x軸和y軸;③引出動點，將動點的條件量化.

最后的“總結橢圓的幾何特征”環(huán)節(jié)，則要重點培養(yǎng)學生的總結、歸納能力. 可給出如圖3所示的圖像. 從數(shù)形角度進行橢圓方程與直觀圖像的對應探討，引導學生關注橢圓的圖像與方程的兩點關系：一是橢圓的焦點位置與方程參數(shù)的關系，二是橢圓的形狀與方程參數(shù)的關系. 通過數(shù)形探究的方式引導學生對橢圓的幾何特征形成深刻的認識，并理解橢圓方程參數(shù)的實際意義.

精致構建、活動探究的方式更符合學生的認知規(guī)律，學生親歷探究過程，參與課堂探討，可充分鍛煉學生的思維，從感性認知上升到深度的理性認知. 同時采用活動探究的方式來學習橢圓及其方程，學生可充分體會數(shù)形結合思想，提升語言表達、構圖作圖、總結概括等能力，其中核心素養(yǎng)的提升是永久的，對于學生的長遠發(fā)展十分有利.

[?] 問題驅動，構建“知識鏈”

設問引導是課堂教學的重要方式，課堂中合理設置問題，可以啟發(fā)學生主動思考，同時以問題為線索可驅動課堂，構建系統(tǒng)化“知識鏈”. 設置問題應遵循以下幾點：一是問題要具有層次性，含有內在邏輯;二是問題要具有拓展性、遷移性，對學生的探究學習有遷移作用;三是整個“問題鏈”要形成體系，可促進課堂的自然過渡.

基于上述對問題設置的分析，建議采用“‘六何’問題鏈”，即利用問題驅動學生經(jīng)歷新知“從何”“是何”“與何”“如何”“變何”“有何”的變化過程，使學生成為課堂主體，強化學生的問題意識. 對于教學中的“‘六何’問題鏈”，如圖4所示.

“從何”，即思考橢圓從何而來，如何被發(fā)現(xiàn)的. 教學重點是創(chuàng)設情境，讓學生充分感知橢圓. 故核心問題可設置如下：①生活中還有哪些橢圓實物？②這些橢圓實物有哪些特征？

“是何”，即思考橢圓的定義，何為橢圓. 教學重點是概括橢圓的概念，讓學生經(jīng)歷橢圓作圖過程，理解橢圓的定義. 故核心問題如下：①描述作圖過程，如何改變作圖工具繪制不同的橢圓？②思考作圖過程，實驗工具的哪些量是變化的，哪些是不變的？有哪些發(fā)現(xiàn)？

“與何”是關于構建坐標系的思考，是建系過程、橢圓方程內容等的探討. 故在教學中需要學生思考如下問題：①如何建系，如何與橢圓圖像銜接起來？②若其中的常數(shù)不大于

F

F，則動點是什么軌跡？

“變何”是關于橢圓方程與圖像的特征的探究，關注的重點是橢圓的焦點位置與橢圓形狀的關聯(lián)，突出體現(xiàn)數(shù)形結合. 故需要變換橢圓方程的條件，要讓學生思考如下問題：①定義中2a值不變，橢圓焦距的變化對圖像有何影響？②橢圓的焦點位置與方程的哪個參數(shù)有直接關系？

最后的“如何”和“有何”是關于橢圓的知識應用與反思歸納，是后續(xù)探究解題的關鍵，并提出問題：求橢圓方程有幾種方法？引導學生利用所學的知識解決問題，倡導知識的應用，并提出問題：掌握了橢圓的哪些知識、方法？有何感想？設計意圖是引導學生學會反思，根據(jù)自我學習的情況查缺補漏，完成知識的梳理總結.

“六何”受問題驅動，旨在引導學生探索知識本質，總結知識規(guī)律，形成新知“認知鏈”，而不是簡單的問題疊合. 實際教學時可結合學生的學習情況靈活變動，引導學生主動思考，更好地掌握橢圓的定義及方程.

總之，“橢圓及其標準方程”的教學要立足重點，采用知識探究的方式，把握探究過程，形成知識與能力的閉環(huán). 教學環(huán)節(jié)，采用情境引入，探索定位新知;而探究環(huán)節(jié)則要精致構建，豐富教學活動;同時建議課堂用問題驅動，形成“‘六何’問題鏈”，引導學生主動思考，發(fā)展學生的數(shù)學思維.

3070500589259