數(shù)形結(jié)合在可視化數(shù)學(xué)探究中的運(yùn)用初探

金建偉

[摘? 要] 數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中最基本、最重要，也是最本質(zhì)的思想方法之一。可視化的數(shù)學(xué)教學(xué)將以往傳統(tǒng)的講授式課堂向啟發(fā)式課堂轉(zhuǎn)變，在概念探究、量感探究、算理探究、規(guī)律探究中，教師用可視化引領(lǐng)思維，用可視化激活思維，用可視化交流思維，從而讓數(shù)學(xué)探究活動變得“可視化”。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);可視化;數(shù)學(xué)探究;數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”這句話的意思是在數(shù)學(xué)教學(xué)中精確地抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將“數(shù)”和“形”結(jié)合起來可以優(yōu)勢互補(bǔ)，可以用“形”直觀地表達(dá)“數(shù)”，用“數(shù)”精確地研究“形”。現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)研究也表明：數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中最基本、最重要，也是最本質(zhì)的思想方法之一。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)知識（數(shù)理、算理、規(guī)律）的探究與直觀的圖形巧妙合二為一，以形助數(shù)、以數(shù)輔形，尋求解題思路，使數(shù)學(xué)問題從復(fù)雜變得簡單、從抽象變得具體。

可視化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，即在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識（數(shù)理、算理、規(guī)律）的過程中讓數(shù)學(xué)的思維過程外顯化，讓數(shù)學(xué)算理在實(shí)踐操作中摸得著，讓數(shù)學(xué)思維在視覺表征中看得見。它既是理念，又是行為，學(xué)生經(jīng)歷著“直觀地看”“形象地畫”“出聲地想”等方式。由此可見，數(shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)可視化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要手段。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，研究的對象是抽象化的、形式化的材料，在研究這些抽象的數(shù)學(xué)材料時，我們需要培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力（類比、分析、歸納、演繹、聯(lián)想等）。可視化的數(shù)學(xué)教學(xué)將以往傳統(tǒng)的講授式課堂向啟發(fā)式課堂轉(zhuǎn)變，用可視引領(lǐng)思維，用可視化激活思維，用可視化交流思維，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得“可視化”。

借助數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生的深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者在實(shí)際教學(xué)中，進(jìn)行了數(shù)學(xué)結(jié)合可視化的探究，從以下幾方面進(jìn)行贅述。

一、可視化的概念探究

皮亞杰研究發(fā)現(xiàn)，兒童在前運(yùn)算階段中認(rèn)識事物以感知具體形象為主，從豐富的表象中進(jìn)行概括與歸納。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，從學(xué)科本質(zhì)角度講要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成和概念的同化過程，從兒童視覺角度講要讓概念可視、可感、可摸，彰顯概念建構(gòu)過程中的“思維鏈”。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，教師應(yīng)讓概念教學(xué)變得可視化，幫助學(xué)生理解概念，直至運(yùn)用。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課，教師用“平均分蛋糕”的實(shí)際情境作為支撐，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的幾個概念學(xué)習(xí)過程。

首先出示“分蛋糕”的情境圖，提問：“4個同樣的蛋糕，平均分給2人，每人分幾個？”喚醒“平均分物”的生活經(jīng)驗(yàn);接著設(shè)問：“同樣的2個蛋糕，平均分給2人，每人分幾個？如果只有1個蛋糕，平均分給2人，每人分幾個？你能用合適的數(shù)分別表示平均分的結(jié)果嗎？”然后，教師利用課件動態(tài)演示1個蛋糕，平均分給2人、3人、4人的情形，讓學(xué)生初步感悟分?jǐn)?shù)的意義，初步感知同一個蛋糕的“”“”“”究竟有多大;接著，教師用不同大小的圓片，讓學(xué)生動手操作平均分成2份，體會他們所操作圓片的“”大小不同，但是都用來表示。

在這樣的概念教學(xué)過程中，教師重視了“重現(xiàn)原型”，經(jīng)歷了“初建表象”，并能將“表征內(nèi)化”直至“完善結(jié)構(gòu)”。這樣可視化的過程，讓學(xué)生在概念的形成、建構(gòu)的過程中，經(jīng)歷了概念從“具象化”到“形式化”的轉(zhuǎn)變，通過橫向與縱向的融會貫通，從“串聯(lián)”走向“并聯(lián)”，從“可見”走向“想見”，促進(jìn)了學(xué)生的思維的深度發(fā)展，體現(xiàn)了可視化概念教學(xué)的價值。

二、可視化的量感探究

“量感”是對某種“量”的直覺或敏感度，是人們在實(shí)際中主動運(yùn)用“量”的意識和能力。量感能夠讓人在不借助工具的情況下就能對某個量進(jìn)行大小等的推斷，或者能夠判斷某個單位表示的量與某種物體實(shí)際大小是否相符合。量感的學(xué)習(xí)在小學(xué)階段隨處可見，但是目前在小數(shù)課堂上，對量感的學(xué)習(xí)多重視結(jié)果，不重視過程，這不利于量感的形成。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)有意識地提供可視化情景，豐富學(xué)生的量感學(xué)習(xí)體驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生量感學(xué)習(xí)的需要，促進(jìn)他們對量感學(xué)習(xí)的思考，激發(fā)他們量感學(xué)習(xí)的潛能。

例如，在二年級的長度單位“厘米”的學(xué)習(xí)中，在學(xué)生建立了“1厘米”的表象后，教師拿出一根長5厘米的小棒，讓學(xué)生不使用測量工具直接估一估這根小棒幾厘米，并說出依據(jù)。教師讓學(xué)生分組討論后，再全班匯報。有學(xué)生說：“我的食指寬約1厘米，我用4根手指并排量，還多了一點(diǎn)點(diǎn)，所以我估計這根小棒大約長5厘米。”有學(xué)生說：“我是用食指的寬去量的，量了5次，我估計這根小棒長5厘米。”還有的說：“我的一拃長10厘米，這根小棒差不多是我一拃的一半，我估計是5、6厘米吧。”在學(xué)生充分交流后，教師再讓學(xué)生用直尺驗(yàn)證剛才的估計結(jié)果。

在這個過程中，教師從學(xué)生生活出發(fā)，利用常見的數(shù)學(xué)學(xué)具——小棒，把長度單位“厘米”與實(shí)際聯(lián)系起來，使教學(xué)情境可視化，讓學(xué)生經(jīng)歷量感建立的過程。學(xué)生在解決的過程中，能夠基于自身的學(xué)習(xí)習(xí)慣和運(yùn)用量感的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究。學(xué)生對厘米的概念更精確了，同時豐富了學(xué)生的量感體驗(yàn)以及思維品質(zhì)。

三、可視化的算理探究

小學(xué)生的思維處在從形象思維為主逐步向抽象思維為主過渡的過程，當(dāng)然小學(xué)階段的這種抽象思維很大程度上依賴具象。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤其是計算學(xué)習(xí)顯得尤為枯燥而繁雜，教師在計算教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，既是學(xué)生自身的需要，也是后續(xù)教學(xué)的需要。計算教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生建模，讓學(xué)生經(jīng)歷對計算法則的直觀理解過程，從而將抽象的數(shù)理轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蟮恼J(rèn)知。

例如，一年級數(shù)學(xué)教學(xué)“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”一課中，認(rèn)識“個位”和“十位”之間的進(jìn)率關(guān)系時需要引入小棒，教師應(yīng)設(shè)計大量的小棒擺放活動，以便學(xué)生理解兩個數(shù)位之間的十進(jìn)制關(guān)系。

1. 教師通過9根小棒添上1根就是10根，然后捆成1捆，讓學(xué)生體會“1捆就是1個10，也就是10根”;2. 將這1捆放在“十位”，又認(rèn)識了新的計數(shù)單位“十位”;3. 1捆添上1根，就是11根，“11”的兩個“1”對應(yīng)著“1捆”和“1根”，學(xué)生初步感知，同樣的“1”在不同的位置上表示的多少也不同……

這個教學(xué)過程中，教師利用充分的數(shù)和形相對應(yīng)，將數(shù)位形象化，幫助學(xué)生理解了算理，為后續(xù)理解“滿十進(jìn)一”和“退一當(dāng)十”的算理打下基礎(chǔ)。因此，在計算教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合，可以將無形的計算法則形象化，將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，有利于學(xué)生高效地學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生興趣的培養(yǎng)，有利于他們從“怕數(shù)學(xué)”變成“愛數(shù)學(xué)”。

四、可視化的規(guī)律探究

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中指出小學(xué)數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)之一：能從一定的數(shù)學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)涵的規(guī)律，并在具體情境中運(yùn)用，發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“找規(guī)律”的教學(xué)內(nèi)容在每個年級都有涉及。“規(guī)律題”即在已知條件中（或數(shù)字或圖形）探索出潛在的規(guī)律，并能熟練地運(yùn)用其中的規(guī)律，去解答相應(yīng)的實(shí)際問題。數(shù)學(xué)教師要善于運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”來解決此類“數(shù)學(xué)規(guī)律”的探究問題。

例如，二年級數(shù)學(xué)“厘米和米”一單元中有一道操作題：“平面上的4個點(diǎn)之間最多可以連多少條線段？”這個題目蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，怎樣讓學(xué)生找到此類題的規(guī)律，并能運(yùn)用呢？教師可以設(shè)計這樣幾個環(huán)節(jié)：1. 課始，同桌兩人握手，要握幾次？三個人之間每兩人握一次手要握幾次？小組內(nèi)8人每兩人握一次手，又要握幾次呢？如果全班同學(xué)握手呢？學(xué)生領(lǐng)悟出這當(dāng)中肯定有巧妙的方法，不可能一個個地去數(shù)，要從簡單的入手找規(guī)律;2. 先探究有2個點(diǎn)時連出的總線段數(shù)，再列出3個點(diǎn)和4個點(diǎn)的情況，板書出“點(diǎn)數(shù)”“增加條數(shù)”和“總條數(shù)”，之后再讓學(xué)生自己探究5個點(diǎn)和6個點(diǎn)時的“點(diǎn)數(shù)”“增加條數(shù)”和“總條數(shù)”，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律;3. 利用已有的建模，推算出10個點(diǎn)、20個點(diǎn)時的線段總數(shù);4. 找出1+2+3+4+…的計算規(guī)律;5. 回憶這節(jié)課發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在平時見過的哪些問題中可以運(yùn)用。

這個過程中，課始教師巧設(shè)握手的游戲，緊扣了例題，引發(fā)探究的需要，非常有效;課中在平面內(nèi)點(diǎn)與線段數(shù)之間關(guān)系的探究中，通過課件演示和學(xué)生畫圖、自主探究，學(xué)生經(jīng)歷著從無序到有序，從雜亂到清晰，學(xué)生不再是簡單的模仿者，而是真正成為知識的建構(gòu)者;課尾，教師讓推算10個點(diǎn)和20個點(diǎn)的線段總數(shù)時優(yōu)化1+2+3+…的計算方法，接著還原生活，解決實(shí)際問題。利用“直觀”進(jìn)行思考，一步步地讓學(xué)生體會“化難為易”的數(shù)學(xué)思想，有效地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，從而讓規(guī)律探究變得“可視化”。

總之，數(shù)形結(jié)合可以將抽象的數(shù)學(xué)思維與視覺直觀的認(rèn)知過程相融合，可以使學(xué)生的探究過程變得“化難為易”“化繁為簡”，這不僅可以提高學(xué)生的探究興趣，提高知識獲得的流暢感，還可以提高數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。作為小學(xué)教師，要充分發(fā)掘并充分利用身邊的素材，無論是適合的教具還是適用的軟件，無論是古老的尺規(guī)還是前沿的軟件圖形，都是可以應(yīng)用的教學(xué)資源。

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