數字自適應濾波器的性能退化規律

劉亞靜，段超，李海東

(北京交通大學 電氣工程學院，北京 100044)

0 引 言

基于SOGI的自適應濾波器，廣泛應用于電網電量測量[1-3]、電機位置、速度檢測與估計[4-9]等場合。目前，使用鎖頻環(FLL)來實現頻率自適應算法是一種較為普遍的方法[1-6,8-9]。

在電網同步領域，基于SOGI的自適應濾波器主要用來提取電網電壓中的正負序分量[1-3]。其中文獻[1]采用MSOGI-FLL，在電網電壓三相不對稱或畸變的情況下，能夠快速準確地提取電網電壓的正負序分量和其他特定次諧波分量。

在PMSM的無位置傳感控制領域，文獻[4-5]分別將基于SOGI的頻率自適應濾波器應用到基于電動勢的位置觀測器和模糊滑模觀測器來消除諧波誤差；文獻[6]提出了一種復合SOGI-FLL用于PMSM的轉子位置與轉速估計；文獻[7]將兩個SOGI的組合結構用于轉子位置檢測。另外，文獻[8-9]將基于SOGI的頻率自適應濾波器用于異步電機的轉子磁鏈觀測算法中。

上述文章均是基于s域提出了新算法或新結構，然而工程實現時基本采用全數字實現方式，通常在z域中進行，而從s域到z域的轉換過程中，所研究系統會產生性能的退化[10-18]，特別是對于信號-采樣頻率比比較大的應用場合，性能退化的影響難以忽略，因此有必要分析數字化實現對系統性能的影響。文獻[10]詳細研究了SOGI的不同離散方法，提出了一種可以將SOGI應用于不同場合的通用數字結構。文獻[11]討論了諧振控制器和濾波器在定點算法實現時的一些重要問題。文獻[12]針對基于雙積分器的諧振控制器數字實現時的性能退化問題，對數字實現算法進行了改進。文獻[13]提出了一種結構高魯棒性的定點數字諧振控制器。文獻[14]對比分析了不同離散方法對諧振控制器性能的影響，指出了離散會帶來頻率偏移的問題。文獻[15]采用不同方法對基于SOGI的自適應濾波器進行離散化，對比分析了性能差異，由于是針對電網的應用場合，該文章只對低頻50Hz進行了對比分析。

雖然上述文章針對不同離散方法對數字系統性能影響進行了詳細研究，但數字系統中的計算延遲使得反饋回路中必然存在滯后一拍問題，在s域內可由e-sT代替，目前絕大多數文獻為了簡便均選擇忽略此問題，而此問題往往是造成數字系統性能退化的主要原因[16-18]。文獻[16]提出一種基于FPGA/ASIC的全數字硬件化鎖相環的建模方法，考慮了數字鎖相環中存在的滯后一拍現象。文獻[17]研究分析了全數字硬件化鎖相環的性能退化規律，并指出了反饋中存在的滯后一拍現象是引起性能退化的主要原因。文獻[18]在文獻[17]的基礎上提出了一種改進算法，消除了數字實現時的滯后一拍問題，顯著提高了系統性能。

文獻[16-18]主要對全數字鎖相環中的滯后一拍進行分析并提出補償措施，而基于SOGI的自適應濾波器為雙閉環結構，此結構中的滯后一拍對系統的影響分析仍未見報道，因此非常有必要分析滯后一拍對全數字自適應濾波器的影響。

本文采用雙線性變換對基于SOGI的自適應濾波器進行離散并分析其數字系統的性能退化規律。首先對考慮了滯后一拍的數字自適應濾波器的穩定性進行了分析，隨后詳細定量地分析了數字系統的性能退化規律，最后對理論分析進行了仿真證明和實驗驗證。

在應用于電網參數測量時，因為電壓、電流的頻率較低，此時的信號-采樣頻率比比較小，滯后一拍所造成的影響可以忽略不計，因此，絕大多數文獻為了分析簡便，通常在s域內忽略滯后一拍e-sT的影響，得到基于SOGI的自適應濾波器s域模型如圖1(a)所示，實質為一個帶通濾波器。設定頻率參數ω*由外圍自適應算法確定，決定了濾波器的中心頻率；放大倍數k決定了濾波器的帶寬，k值越小，帶寬越小，靈敏度越高，需要根據實際情況折中選取。

采用雙線性變換將圖1(a)所示s域模型進行離散化，得到不考慮滯后一拍的傳統z域模型，如圖1(b)所示。圖1所給出的s域和z域模型都未考慮滯后的影響，因此本文定義其為理想模型。

圖1 自適應濾波器理想模型Fig.1 Ideal model of adaptive filter

采用全數字方式實現圖1(b)的z域模型時，nT時刻的輸入v(n)只能與上一時刻(n-1)T的反饋值v′(n-1)相減，得到nT時刻的誤差值εv(k),此誤差乘以系數k后送入SOGI進行運算，在SOGI中，kεv(n)同樣只能與上一時刻(n-1)T的反饋值相減，然后經過一個積分器后得到nT時刻的更新值v′(n)，此值作為下一次計算的反饋值。這就造成z域實際模型如圖2所示，即反饋存在滯后一拍現象。當濾波器在應用于電機位置、速度檢測與估計等場合時，信號-采樣頻率比比較大，此時滯后一拍造成系統的靜態和動態性能退化，其影響不能忽略。本文定義考慮滯后一拍的系統為實際模型。

圖2 考慮滯后一拍的z域自適應濾波器實際模型Fig.2 Practical model of z-domain adaptive filter with one-step delay

數字自適應濾波器的性能退化主要表現為穩定性下降、頻率偏移、幅值增益變化和非正交性。頻率偏移指系統的實際選通信號頻率偏離設定頻率參數ω*，幅值增益指系統輸出信號與輸入信號的幅值之比。造成系統性能退化的主要原因便是系統數字化實現時存在的滯后一拍現象。

2.1 穩定性問題

圖1(a)所示理想模型的s域傳遞函數為

(1)

式中：ω*為設定頻率參數；k為放大倍數。

圖1(b)所示理想模型的z域傳遞函數為

(2)

式中:a0=T2ω*2+2kTω*+4；a1=2T2ω*2-8；a2=T2ω*2-2kTω*+4；b0=b1=2kTω*；T為離散周期。

根據z域穩定性判據，式(2)穩定條件為：

(3)

易知，當不考慮滯后一拍時，放大倍數k與設定頻率參數ω*均不受限制，系統恒穩定。

考慮滯后一拍的實際模型如圖2所示，z域閉環傳遞函數為

(4)

式中:a3=T2ω*2+2kTω*-8；a4=2T2ω*2+4；a5=T2ω*2-2kTω*；b2=b3=2kTω*。

根據z域穩定性判據，式(4)的穩定條件為

(5)

取離散周期T=10-4s，式(5)所示實際模型的穩定區間如圖3所示。

圖3 數字自適應濾波器的穩定區間Fig.3 Stability area of digital adaptive filter

圖3中，陰影區域為穩定區域，從圖中可知，由于滯后一拍的引入，放大倍數k和設定頻率參數ω*的取值范圍均受到限制，系統的穩定性下降。

2.2 頻率偏移

該小節對數字自適應濾波器的頻率偏移規律進行理論分析。基于畸變預修正雙線性變換的等效公式為

(6)

將式(6)代入式(4)，可得其在s域的傳遞函數

(7)

式中：c0=4α3；c1=2(2-kTω*)ωα2；c2=(2k-Tω*)Tω*ω2α；c3=T2ω*2ω2；d0=2kTω*ωα2；d1=2kTω*ω2α。

知s=jω，當考慮了滯后一拍，系統對應于ω*的實際選通信號頻率為ω0。當ω=ω0時，為H1(s)相頻特性曲線過0點，可得等式：

∠[d0(jω0)2+d1jω0]=∠[c0(jω0)3+

c1(jω0)2+c2jω0+c3]。

(8)

由式(8)整理可得ω0與ω*的關系等式為

(9)

式中α=tan(Tω0/2)。

可得實際數字系統的頻率偏移量e為

e=ω0-ω*。

(10)

圖4給出了離散周期T=10-4s，放大倍數k=0.6、0.8、1.0、1.2時的頻率偏移量曲線。從圖中可知：頻率偏移量e隨著ω*和k的增加呈現上升的趨勢；k一定時，ω*取值范圍受到臨界穩定曲線的限制，當超過臨界穩定曲線時，系統發散。取k=1，ω*=3 000 rad/s時，e的值為425 rad/s，相當于ω*的14.2%，已嚴重影響系統的選頻性能。

圖4 頻率偏移量e的理論數據Fig.4 Theoretical results of frequency offset e

2.3 幅值增益

該小節在2.2小節的基礎上，分析系統的幅值增益現象。知s=jω，系統對應于ω*的實際選通信號頻率為ω0。當ω=ω0時，為H1(s)相頻特性曲線過0點，將s=jω代入式(7)變換得

(11)

式中：a0=-2kTω*α2；a1=2kTω*α；b0=-2(2-kTω*)α2+T2ω*2；b1=Tω*(2k-Tω*)α-4α3；α=tan(Tω0/2)。

式(11)所對應的幅值增益為

(12)

圖5給出了離散周期T=10-4s，放大倍數k=0.6、0.8、1.0、1.2時的幅值增益曲線。幅值增益隨著ω*的增加呈現指數型上升的趨勢；ω*取值范圍受到臨界穩定曲線的限制，當超過臨界穩定曲線時，系統發散。取k=1，ω*=3 000 rad/s時，幅值增益為3.733 dB，即輸出信號是輸入信號的1.537倍。

圖5 幅值增益的理論數據Fig.5 Theoretical results of amplitude gain

2.4 正交特性分析

由圖1(a)可知，輸出信號v′經過一個積分器再乘以ω*便得到輸出信號qv′，因此兩個輸出信號之間的傳遞函數為

(13)

理想情況下，當信號頻率ω=ω*時，Gqd(s)=-j，兩個輸出信號之間正交[15]。

實際數字系統中兩輸出信號之間的z域傳遞函數為

(14)

將式(6)代入式(14)得s域等效傳遞函數

(15)

式中α=tan(Tω/2)。

本節通過仿真驗證上一節理論分析的正確性。

仿真參數設定如下：離散周期T=10-4s；放大倍數k選取為0.6、0.8、1、1.2；設定頻率參數ω*的取值范圍為整個穩定區間，間隔500 rad/s。

仿真過程中考慮滯后一拍，對采用雙線性變換離散方法的全數字自適應濾波器模型進行仿真，根據系統的伯德圖數據可以得到實際數字系統中對應著不同ω*的頻率偏移量e以及相頻特性曲線過0點處對應的幅值增益。

圖6給出了系統的頻率偏移量e的仿真數據。從圖中可以看出，在穩定區間內，頻率偏移量e隨著設定頻率參數ω*和放大倍數k的增加呈現上升的趨勢。例如，當放大倍數k=1，設定頻率參數ω*=3 000 rad/s時，e的仿真值為425 rad/s，相當于ω*的14.167%，此時e的理論計算值為424.7 rad/s，相當于ω*的14.157%，仿真值與理論值相差0.01%；k=1，ω*=6 000 rad/s時，e的仿真值為1 215 rad/s，相當于ω*的20.25%，此時e的理論計算值為1 215.1 rad/s，相當于ω*的20.251%，仿真值與理論值相差0.001%。可見，e的仿真數據與理論計算值基本一致。驗證了數字系統頻率偏移規律理論分析的正確性。

圖6 頻率偏移量e的仿真數據Fig.6 Simulation results of frequency offset e

圖7給出了系統相頻特性曲線過零點對應的幅值增益的仿真數據。從圖中可以看出，在穩定區間內，幅值增益隨著設定頻率參數ω*的增加呈現指數型上升的趨勢。例如，當放大倍數k=1，設定頻率參數ω*=3 000 rad/s時，幅值增益仿真值為3.733 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的1.537倍，此時幅值增益的理論計算值同樣為3.733 dB，與理論分析一致；當k=1，ω*=6 000 rad/s時，幅值增益仿真值為12.935 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的4.433倍，此時幅值增益的理論計算值同樣為12.935 dB，與理論分析一致。驗證了數字系統幅值增益規律理論分析的正確性。

圖7 幅值增益的仿真數據Fig.7 Simulation results of amplitude gain

圖8給出了不同設定參數的數字系統中，兩個輸出信號之間的相頻特性曲線仿真圖，從圖中可知，兩個輸出信號之間相位恒差90°，與理論分析一致。驗證了兩個輸出信號之間正交特性理論分析的正確性。

圖8 Gqd(z)的相頻特性曲線仿真圖Fig.8 Simulation results of phase frequency curve of Gqd(z)

實驗平臺如圖9所示，采用TI公司的28335DSP芯片實現本文數字自適應濾波器的功能，定時器設定100 μs作為中斷周期，確保采樣周期為10-4s，自適應濾波器的參數設定與仿真一致。采用Newtons4th公司的PSM1700頻率響應分析儀(掃頻儀)產生幅值為0.2 V的等差頻率正弦信號，通過AD采樣將正弦信號作為數字自適應濾波器系統的輸入信號，掃頻儀對數字系統的輸入、輸出信號進行采樣分析獲得數字系統的幅相頻特性曲線的數據，最后對掃頻儀得到的數據進行整理分析。實驗工作流程圖如圖10所示。

圖9 實驗平臺Fig.9 Experimental platform

圖10 實驗工作流程圖Fig.10 Experimental work flow chart

圖11給出了數字系統的頻率偏移量e的實驗數據，從圖可知，在穩定區間內，e隨著設定頻率參數ω*和放大倍數k的增加呈現上升的趨勢；放大倍數k=1，設定頻率參數ω*=3 000 rad/s時，e的實驗值為416.733 rad/s，相當于ω*的13.9%，此時的e的理論計算值為424.7 rad/s，相當于ω*的14.157%,實驗值與理論值相差0.257%；k=1，ω*=6 000 rad/s時，e的實驗值為1 186.33 rad/s，相當于ω*的19.772%，此時e的理論計算值為12 515.1 rad/s,相當于ω*的20.251%, 實驗值與理論值相差0.479%。可見，e的實驗數據與理論計算值基本一致。隨著ω*的增加，系統接近臨界穩定，實驗中測量頻率偏移量e的誤差有所增大，但仍小于1%。可驗證頻率偏移規律理論分析的正確性。

圖11 頻率偏移量e的實驗數據Fig.11 Experimental results of frequency offset e

圖12給出了系統的相頻特性曲線過零點對應的幅值增益的實驗數據，從圖可知，在穩定區間內，幅值增益隨著設定頻率參數ω*的增加呈現指數型上升的趨勢。放大倍數k=1，設定頻率參數ω*=3 000 rad/s時，幅值增益實驗值為3.828 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的1.554倍，此時幅值增益的理論計算值為3.733 dB，輸出信號幅值是輸入信號幅值的1.537倍，實驗值與理論值相差0.095 dB；當k=1，ω*=6 000 rad/s時，幅值增益實驗值為12.99 dB，即輸出信號幅值是輸入信號幅值的4.462倍,此時幅值增益的理論計算值為12.935 dB，輸出信號幅值是輸入信號幅值的4.434倍，實驗值與理論值相差0.055 dB。與理論分析基本一致。可驗證數字系統幅值增益規律理論分析的正確性。

圖12 幅值增益的實驗數據Fig.12 Experimental results of amplitude gain

采用雙線性變換方法離散的數字自適應濾波器的設定頻率ω*設為6 000 rad/s，放大倍數k=1。根據本文理論分析可得：實際選通信號頻率ω0=7 215 rad/s，此時數字系統對應的幅值增益為12.93 dB，兩個輸出信號之間正交。

掃頻儀對上述數字自適應濾波器掃頻得到系統的幅相頻特性曲線如圖13所示。為了便于對比分析，圖13中加入了理想自適應濾波器的幅相頻特性曲線。理想濾波器的相頻特性曲線過0點處對應的實際選通信號頻率為6 000 rad/s，對應的幅值增益為0 dB；實際數字系統相頻特性曲線過0點處對應的實際選通信號頻率ω0約為7 188 rad/s，對應的幅值增益約為13 dB。

圖13 濾波器頻率響應實驗結果Fig.13 Experimental results of frequency response of filter

向上述數字濾波器分別輸入頻率為6 000 rad/s以及7 215 rad/s的正弦信號，示波器采樣所得到的時域圖形如圖14所示。當輸入信號頻率為6 000 rad/s時，輸出信號較輸入信號相位超前49.59°，幅值增益為7.3 dB；當輸入信號頻率為7 215 rad/s時，輸出信號較輸入信號相位滯后0.15°，幅值增益為12.9 dB。數字濾波器對頻率為7 215 rad/s的正弦信號有更好的選通效果。

圖14 濾波器時域輸入輸出波形Fig.14 Filter input/output waveform in time domain

掃頻儀對上述數字自適應濾波器的兩個輸出端口進行采樣分析可獲得Gqd(z)的相頻特性曲線，如圖15所示。由圖15可知，兩個輸出端口之間相位相差90°。可驗證兩個輸出信號之間正交特性理論分析的正確性。

圖15 Gqd(z)的相頻特性曲線實驗圖Fig.15 Experimental results of phase frequency curve of Gqd(z)

本文對采用雙線性變換離散的全數字自適應濾波器的性能退化規律進行了定量地理論分析，分別給出了實際數字系統的頻率偏移和幅值增益曲線圖以及正交性的理論分析結果。通過仿真與實驗驗證了理論分析的正確性。主要結論如下：

1)滯后一拍會造成數字自適應濾波器系統的穩定性降低，系統的放大倍數k與設定頻率參數ω*的選取范圍均受到限制，可依據本文對數字系統穩定域的理論分析結果調節參數。

2)在數字自適應濾波器的穩定區間內，由于滯后一拍的存在，頻率偏移量和幅值增益均隨著設定頻率參數ω*的增加呈現上升的趨勢；數字系統的正交性沒有受到雙線性變換的影響。

3)T一定時，設定頻率參數ω*的增大，相當于信號-采樣頻率比增大。在信號-采樣頻率比高的應用場合，數字自適應濾波器頻率偏移明顯，可以依據本文的分析結果，在自適應算法中對設定頻率參數ω*進行修正，數字濾波器有更好的選頻效果。