剖析向量高考題 抓準(zhǔn)復(fù)習(xí)著力點(diǎn)

上海南匯中學(xué)(201399) 宋 磊

1 高考對(duì)向量的考查內(nèi)容和要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》對(duì)向量進(jìn)行了刻畫(huà): 向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對(duì)象,也是幾何研究對(duì)象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ),在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮重要作用.基于向量的重要性,平面向量是高考的重要考點(diǎn)之一.

高考對(duì)平面向量的考查主要有三個(gè)層面: 知識(shí)層面,直接考查向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、垂直或平行關(guān)系、基底、模與夾角、向量基本定理等;方法層面,重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程等思想方法;素養(yǎng)層面,主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).2020年全國(guó)高考向量試題遵循了“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),注重了思想方法和核心素養(yǎng)考查”的原則,很好地考查了知識(shí)點(diǎn)、思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 2020年高考向量試題剖析

平面向量融數(shù)、形于一體, 具有幾何和代數(shù)的“雙重身份”,由于其知識(shí)的特點(diǎn),在試題的基礎(chǔ)性、綜合性、靈活性、創(chuàng)新性、難度設(shè)計(jì)和區(qū)分度設(shè)計(jì)等方面提供了廣泛的試題命制空間,因而決定了其必然會(huì)成為歷年高考試題中的熱點(diǎn)內(nèi)容.筆者以2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)文理和各省市真題卷為例,擷取若干典型問(wèn)題剖析,以期找尋試題中所含知識(shí)要點(diǎn)、思想方法,探求數(shù)學(xué)本質(zhì),感悟核心素養(yǎng),進(jìn)而指導(dǎo)和反思向量教學(xué),為2021年高考復(fù)習(xí)抓準(zhǔn)著力點(diǎn).

2.1 注重向量基本運(yùn)算

低中難度的向量問(wèn)題考查基本上是基于線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算, 以符號(hào)形式和坐標(biāo)形式兩種方式, 展開(kāi)平行、垂直、夾角、模等問(wèn)題的考查.

例1(2020年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科第14 題) 設(shè)向量a=(1,?1),b=(m+1,2m ?4),若a⊥b,則m=____.

例2(2020年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文科第6 題)在平面內(nèi),A,B是兩個(gè)定點(diǎn),C是動(dòng)點(diǎn),若?A→C ·?B?→C= 1,則點(diǎn)C的軌跡為( )

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線

例3(2020年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科第13 題)已知單位向量a,b的夾角為45?,ka ?b與a垂直,則k=____.

例4(2020年高考新課標(biāo)Ⅲ卷理科第6 題) 已知 向 量a,b滿(mǎn) 足|a|= 5,|b|= 6,a · b=?6,則cos〈a,a+b〉=( ).

例5(2020年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科第14 題)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a ?b|=____.

例6(2020年高考北京卷第13 題)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿(mǎn)足則=____;=____.

例7(2020年高考天津卷第15 題) 如圖, 在四邊形ABCD中,∠B= 60?,AB=3,BC= 6, 且則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)___,若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),且的最小值為_(kāi)___.

2.2 注重代數(shù)運(yùn)算與幾何推理相結(jié)合

由于向量是溝通代數(shù)與幾何的有力工具,向量問(wèn)題的解決途徑一般有兩個(gè): 一是代數(shù)法, 從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、平面向量基本定理以及坐標(biāo)表示等方面思考,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決;二是幾何法,通過(guò)向量的幾何意義以及向量的基本運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.很多向量的綜合問(wèn)題需要代數(shù)運(yùn)算與幾何推理相結(jié)合.

例8(2020年高考上海卷第12 題)已知平面向量a1,a2,b1,b2,··· ,bk(k ∈N?) 是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量,|a1?a2|= 1, 且對(duì)任意的i= 1,2 及j= 1,2,··· ,k,|ai ?bj|∈{1,2},則k最大值為_(kāi)___.

解析不妨設(shè)a1== (0,0),a2=(1,0), 則bj=(x,y),由|ai ?bj| ∈{1,2},可得:= 1或√= 2, 且故點(diǎn)Bj位于以原點(diǎn)為圓心,1 或2 為半徑的圓上,并且位于以(1,0)為圓心,1 或2 為半徑的圓上,故k的最大值即為圖中所示的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.3 突出向量與其它知識(shí)的交匯

向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具,是聯(lián)系不等式、函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁.因此,向量與其它知識(shí)的交匯自然深受高考命題專(zhuān)家的青睞.

例9(2020年高考江蘇卷第13 題)在?ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90?,D在邊BC上, 延長(zhǎng)AD到P, 使得AP= 9, 若為常數(shù)), 則CD的長(zhǎng)度是____.

方法1由A,D,P三點(diǎn)共線, 可設(shè)若m ?=0 且m ?=,則B,D,C三點(diǎn)共線, 故λm+?m) = 1, 解得λ=, 由AP= 9得AD= 3.由AB= 4,AC= 3, ∠BAC= 90?, 得BC= 5, 故cos ∠ACD=在?ACD中, 由余弦定理,cos ∠ACD=解得CD=若m= 0,則C,D重合,此時(shí)CD的長(zhǎng)度為0.若m=則重合,此時(shí)PA=12,不合題意,舍去.

綜上,CD的長(zhǎng)度為0 或

方法2設(shè)化簡(jiǎn)整理, 得=?2ma+ (2m ?3)b, 兩邊平方, 得=4m2a2+(2m ?3)2b2,即81=64m2+9(2m ?3)2,解得m=0 或m=若m=0,則重合,此時(shí)CD的長(zhǎng)度為0.若m=設(shè)

綜上,CD的長(zhǎng)度為0 或

方法3以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸, 建立平面直角坐標(biāo)系, 則A(0,0),B(4,0),C(0,3),設(shè)P(x,y),由得(?x,?y)=m(4?x,?y)+?m)(?x,3?y),故化簡(jiǎn)整理, 得故P(8m,9?6m),由AP=9,得(8m)2+(9?6m)2= 81, 解得m= 0 或m=若m= 0, 則重合,此時(shí)CD的長(zhǎng)度為0.若m=則直線PA的方程lP A:y=直線BC的方程為lBC:y=聯(lián)立方程解得故

綜上,CD的長(zhǎng)度為0 或

方法4以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸, 建立平面直角坐標(biāo)系, 設(shè)∠PAB=θ, 則A(0,0),B(4,0),C(0,3),P(9 cosθ,9 sinθ),由得(?9 cosθ,?9 sinθ) =m(4?9 cosθ,?9 sinθ)+?m)(?9 cosθ,3?9 sinθ),故化簡(jiǎn)整理,得解得m=0 或m=下同方法3.

評(píng)析方法1 利用了平面向量共線定理及余弦定理,通過(guò)解三角形的方法求出答案;方法2 利用平面向量基本定理,采用基底法;方法3 利用坐標(biāo)法,結(jié)合解析幾何相關(guān)知識(shí)解決;方法4 結(jié)合三角,采用參數(shù)法,利用坐標(biāo)解決.

例10(2020年高考浙江卷第17 題)設(shè)e1,e2為單位向量,滿(mǎn)足a=e1+e2,b=3e1+e2,設(shè)a,b的夾角為θ,則cos2θ的最小值為_(kāi)___.

方法1由|2e1?e2|≤√得4?4e1·e2+1 ≤2,即e1·e2≥由e1,e2為單位向量,從而e1·e2∈令t=e1·e2,則

而y=上 單調(diào)遞 增, 故cos2θ ∈從而cos2θ的最小值為

方法2設(shè)單位向量e1、e2所成的夾角為α, 則由|2e1?e2|≤即4?4 cosα+1 ≤2, 故cosα≥故cosα ∈a · b= (e1+e2)·(3e1+e2) = 4+4 cosα,|a|2=|e1+e2|2= 2+2 cosα,|b|2=|3e1+e2|2=10+6 cosα,從而cos2θ==,令t=3 cosα+5,則,故cos2θ=時(shí),(cos2θ)min=

方法3設(shè)e1= (1,0),e2= (cosα,sinα), 則a=e1+e2=(1+cosα,sinα),b=3e1+e2=(3+cosα,sinα).由故由

得cos2θ=下同方法2.

方法4如圖, 在單位圓中, 取e1=e2=2e2=連結(jié)AB, 取AB的中點(diǎn) 為C,AC的中點(diǎn)為D.由|2e1?e2|≤得|AE|≤故cos ∠AOB≥可得|AB|≤即故a與b的夾角θ即的夾角∠COD, 故cos2θ= cos2∠COD==令|AB|=t, 則cos2θ=可得故(cos2θ)min=

評(píng)析方法1、2 均采用代數(shù)法符號(hào)運(yùn)算,結(jié)合不等式、函數(shù)相關(guān)知識(shí)解決;方法3 采用坐標(biāo)法;方法4 是轉(zhuǎn)化為幾何法解決.

3 抓準(zhǔn)向量“三核心”,強(qiáng)化向量“四意識(shí)”

通過(guò)對(duì)2020 高考向量試題的剖析,可以幫助我們抓準(zhǔn)復(fù)習(xí)的著力點(diǎn),建構(gòu)2021 高考復(fù)習(xí)的框架.筆者認(rèn)為,應(yīng)當(dāng)抓準(zhǔn)向量“三核心”,強(qiáng)化向量“四意識(shí)”.

3.1 向量“三核心”

向量復(fù)習(xí)的第一個(gè)核心是加強(qiáng)基本概念與基本運(yùn)算的復(fù)習(xí),主要包括平面向量基本定理、向量的模的運(yùn)算和幾何意義、向量的線性運(yùn)算、共線向量、向量數(shù)量積及相關(guān)的向量夾角與向量垂直等內(nèi)容,基本運(yùn)算包括符號(hào)形式與坐標(biāo)形式.

向量復(fù)習(xí)的第二個(gè)核心是明確向量代數(shù)與幾何雙角色,凸顯雙性.在復(fù)習(xí)過(guò)程中,例題的示范要凸顯雙性,如上文例9、例10 一樣,讓學(xué)生感受到手中有兩招,可選擇可優(yōu)化,形成代數(shù)與幾何這兩個(gè)解題流程.

向量復(fù)習(xí)的第三個(gè)核心是注重平面向量運(yùn)算工具的靈活使用,縱橫交匯.由于平面向量作為溝通代數(shù)與幾何的橋梁,其研究幾何圖形性質(zhì)的工具性的作用非常明顯,因此,以平面向量為背景或利用平面向量作為解題工具來(lái)命制高考試題,是數(shù)學(xué)高考試題命制的常見(jiàn)方法.在全面復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上,重視對(duì)主干知識(shí)和重要思想方法的掌握,掌握向量在知識(shí)交匯處的主要考查途徑和解決方式,讓學(xué)生體會(huì)關(guān)于高考數(shù)學(xué)命題的新理念.

3.2 向量“四意識(shí)”

第一,向量復(fù)習(xí)要有“坐標(biāo)意識(shí)”.“坐標(biāo)法”是解決向量問(wèn)題的重要途徑,其優(yōu)點(diǎn)是思維方式比較“固定”,學(xué)生容易掌握.坐標(biāo)法的關(guān)鍵是合理建立直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確算出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).如上文例2、例6、例7 均可以用坐標(biāo)法解決.

第二,向量復(fù)習(xí)要有“幾何意識(shí)”.我們要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)挖掘向量問(wèn)題的幾何背景用以解題.很多時(shí)候,我們?nèi)绻軐⑾蛄繂?wèn)題置于適當(dāng)?shù)膸缀伪尘爸?就能夠使抽象問(wèn)題直觀化,將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,從而快速求解.

第三,向量復(fù)習(xí)要有“投影意識(shí)”.向量的數(shù)量積是向量非常重要的核心知識(shí),而投影是對(duì)向量數(shù)量積本質(zhì)的理解和把握, 在向量復(fù)習(xí)中要強(qiáng)化向量投影的意義和價(jià)值的認(rèn)識(shí).在解決向量數(shù)量積問(wèn)題時(shí),利用投影可能會(huì)事半功倍.

例11(2020年高考山東卷第7 題)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則的取值范圍是( )

A.(?2,6) B.(?6,2) C.(?2,4) D.(?4,6)

解析如圖,根據(jù)正六邊形的特征, 可以得到方向上的投影的取值范圍是(?1,3),結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義,可知的模與方向上的投影的乘積,所以的取值范圍是(?2,6).

第四,向量復(fù)習(xí)要有“基底意識(shí)”.平面向量基本定理是向量知識(shí)體系中占有核心地位的定理,而“基底意識(shí)”的本質(zhì)就是平面向量基本定理的靈活運(yùn)用,難點(diǎn)是如何選擇“基底”用于簡(jiǎn)化運(yùn)算.上文中,例6、例7、例9、例10 都可以用“基底思想”來(lái)解決.