待定系數法結合均值不等式解決多元條件極值問題

北京大學附屬中學(100190) 單治超

均值不等式是高中數學的重要內容, 其內容容易理解,但是具體運用時則靈活多變.國家課標對均值不等式的要求難度并不高.但是2020年的北大和復旦強基計劃數學試題都考查了利用待定系數法結合均值不等式解決給定條件下多元函數的最值問題.我們又注意到前兩年的清華領軍計劃也都考查了類似的題目.這類題目的頻繁出現,使得準備強基計劃的同學必須引起高度重視.為此,我們撰寫本文對這種方法進行一點梳理.

我們用到的工具很簡單:

定理1(具有待定系數的二元均值不等式) 對任意C ＞0,x ＞0,y ＞0,當且僅當y=C2x時取等號.

證明顯然.

例1(2020年北大強基計劃第9 題) 求使得5x+12>xy≤a(x+y) 對所有正實數x,y都成立的實數的最小值a.

解易見這個最小值就是二元函數f(x,y) =在條件x ＞0,y ＞0 下的最大值.對任意C ＞0,

為了讓不等式的右端除以x+y是個定值, 我們令5 + 6C=即C=此時我們得到f(x,y) ≤9.很容易驗證等號可以取到.所以f(x,y) =在條件x ＞0,y ＞0 下的最大值是9.因此a的最小值是9.

從這個例題我們領會到, 利用待定系數的均值不等式,關鍵點在于令待定的系數能夠使得兩個式子的比例為定值.

我們再做一道例題鞏固對這種方法的理解.

例2(2020年復旦強基計劃第2 題)已知實數x,y滿足x2+2xy ?1=0,求x2+y2的最小值.

解對任意C ＞0,

為了令不等式的右端與x2+y2的比例為定值, 我們令1+C=即C=于是x2+y2≥容易驗證等號可以取到,所以x2+y2的最小值是

前面兩個例子都是2020年強基計劃的試題.事實上,這種方法在以往的清華領軍計劃試題中已經有所考查.

例3(2018年清華領軍計劃第10 題)設a,b,c為正數,且a2+b2+c2=1,求a(a+b+c)的最大值.

分析這道例題相對前兩道例題的難度在于出現了三個變量,但是容易發現b,c兩個變量的地位是相同的,因此我們在利用均值不等式對只涉及b,c的解析式進行放縮時,不需要利用待定系數的均值不等式.

解對任意k ＞0,

為了令不等式的右端與a2+b2+c2的比例為定值,我們令于是

容易驗證等號可以取,所以a(a+b+c)的最大值是

2019年清華領軍計劃還出過一道更難的題,需要利用待定系數的三元均值不等式.

定理2(具有待定系數的三元均值不等式) 對任意k ＞0,l ＞0,x ＞0,y ＞0,z ＞0,當且僅當kx=ly=z時取等號.

證明顯然.

例4(2019年清華領軍計劃第23 題)已知ab(a+8b)=20,求a+3b的最小值.

解對任意正實數k,l,

為了令不等式的右邊與a+3b的比例是定值,我們需要令

注意到滿足這個等式的正有序實數對(k,l)具有無數個,但是僅滿足這個等式的(k,l)不足以讓我們達到目的,因為此時我們必須考慮不等式取等號的條件ka=lb=a+8b能否實現.容易發現,這個條件能夠實現當且僅當

聯立方程組(1)(2),它的正實數對解只有一個:k=5,l=10.于是可求得a+3b的最小值是5.

我們運用例4 的方法,可以對例4 的結論一般化:

定理3設p,q是給定的正常數,在已知ab(a+pb)=1,a,b ＞0 的條件下,a+qb的最小值是其中

證明對任意正實數k,l,

為了令不等式的右邊與a+qb的比例是定值,我們需要令

不等式取等號的條件是ka=lb=a+pb.這個條件能夠實現當且僅當

聯立方程組(1) (2), 它的正實數對解只有一個:k0=因此我們就得到了想要的結論.