正多面體的一個奇妙定值

廣東省廣州市赤坭圩小學(510830) 李思根

廣東省廣州市新華培新學校(510800) 洪鵬花

文[1-2]獲得的結論是: 設球面O為正多面體的同心球面,P為球面O上任意一點,則P到正多面體各頂點的距離平方之和為定值;文[3]獲得的結論是: 若正多面體的面數為F,內切球半徑為r內,同心球的半徑為R,則球面上任一點P到正多面體各面的距離的平方和為定值本文將給出正多面體的如下性質:

定理若正多面體的棱數為E,棱切球半徑為r棱,同心球的半徑為R,則球面上任一點P到正多面體各棱的距離的平方和為定值

注記與正多面體所有棱都相切的球稱為正多面體的棱切球.顯然正多面體的棱切球半徑是正多面體的中心到棱中點的距離.

證明在文[4]第126-127 頁中, 在空間直角坐標系下,點M0(x0,y0,z0)到直線l:的距離的平方

(1) 正四面體

設正四面體的同心球半徑為R, 球面上的任意一點P0(x0,y0,z0) 到六條棱AC、BD、AB、CD、BC、AD所在直線的距離分別記為d1,d2,d3,d4,d5,d6, 顯然

(2) 正六面體

設正六面體的棱長為2a, 三組對面中心點連線相交于一點, 如圖建立空間直角坐標系, 顯然點O為正六面體的中心, 則頂點坐標為A(a,a,a),B(?a,a,a),C(?a,?a,a),D(a,?a,a),A′(a,a,?a),B′(?a,a,?a),C′(?a,?a,?a),D′(a,?a,?a).十二條棱所在直線的方程為

設正六面體的同心球半徑為R, 球面上的任意一點P0(x0,y0,z0),到十二條棱AD、BC、A′D′、B′C′、AB、A′B′、CD、C′D′、AA′、DD′、CC′、BB′所在直線的距離分別記為d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10,d11,d12,顯然

(3) 正八面體

設正八面體的同心球半徑為R, 球面上的任意一點P0(x0,y0,z0),到十二條棱EA、EB、EC、ED、E′A、E′B、E′C、E′D、AB、BC、CD、DA所在直線的距離分別記為d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10,d11,d12,顯然

(4) 正十二面體

則六條棱所在直線的方程為

點P、Q分別為正五邊形AGEE′H、B′MF′FN的中心,顯然直線PQ過正十二面體的中心O,所以正十二面體的其他棱可以通過棱AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′繞直線PQ旋轉得到.如果正十二面體的同心球面上的任意一點到棱AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′的距離平方和是定值Z,那么正十二面體的同心球面上的任意一點到所有棱的距離平方和是定值5Z.

設正十二面體的同心球半徑為R, 球面上的任意一點P0(x0,y0,z0) 到六條棱AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′所在直線的距離分別記為d1,d2,d3,d4,d5,d6, 顯然

(5) 正二十面體

則六條棱所在直線的方程為

顯然直線EF′過正二十面體的中心O,所以正二十面體的其他棱可以通過棱AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′繞直線EF′旋轉得到.如果正二十面體的同心球面上的任意一點到棱AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′的距離平方和是定值Z,那么正二十面體的同心球面上的任意一點到所有棱的距離平方和是定值5Z.

設正二十面體的同心球半徑為R, 球面上的任意一點P0(x0,y0,z0) 到六條棱AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′所在直線的距離分別記為d1,d2,d3,d4,d5,d6, 顯然

將上述結論整理成表格如下:

正多面______________________體類型棱數體棱切球半徑_____同心球上的點到正多面體各棱所在直線的距離的平方和____正四面體6 a 4R2+6a2 =6(2 3R2+a2)正六面體12√2a 8R2+24a2 =12(2 3R2+(__√2a)2)正八面體12√2a 2 8R2+6a2 =12(2 3R2+(√2 2 a)2)_正十二面體30 a 20R2+30a2 =30(2 3R2+a2)___正二十面體30 a 20R2+30a2 =30(2 3R2+a2)___

因此,若正多面體的棱數為E,棱切球半徑為r棱,同心球的半徑為R,則球面上任一點P到正多面體各棱的距離的平方和為定值