試題“燕過留聲” 方法“尋根覓源”
——以數形結合方法運用于幾道高考題為例

揚州大學數學科學學院(225002) 武 杰 陳建華

高考題具有代表性、示范性和“生長性”是人們的共識.教育專家希望它立意深遠和背景豐富,反映課程標準的要求,發揮高考正向積極導向作用;一線教師期望它能關注學生對數學概念和定理的理解,引領高中數學教學的發展趨向,視它為教學的典型范例;高中生認為它是指揮棒和風向標.那么,如何合理利用高考數學題這一教學資源,發揮其潛在的教學價值呢? 本文以近年數學高考題為載體,探討幫助學生深化對數形結合思想的理解.

一、以形解數,抽象問題直觀化

“數”和“關系”都是抽象的產物,數學問題往往都是抽象的,這對問題的解決自然帶來困難.對此,數學家斯蒂恩曾經說過,如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形,那么,思路就整體地把握了問題,并且能創造性地思考問題.利用圖形描述與分析問題中量的關系,可以化抽象為具體,減少問題的抽象性,有時還能避免代數法計算繁瑣的問題,進而優化學生解決問題時的認知模式.

例1 (2019年高考江蘇卷理科第14 題)設f(x),g(x)是定義在實數域R 上的兩個周期函數,函數f(x)周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇函數,當x ∈(0,2]時,f(x)=而g(x) =其中k ＞0,若在區間(0,9]上,關于x的方程f(x)=g(x)有8 個不同的實數根,則k的取值范圍是______.

分析本題主要考察分段函數、函數性質以及零點問題等相關知識點.這是有關“數”的問題,它需要求解出當兩個函數相等且有8 個不同實數根時k的取值范圍.審題和尋找解題思路時,許多同學會考慮將自變量取不同范圍的解析式求解出來,但是由于f(x)既是周期函數,又是奇函數,所以在求解過程中既要時刻關注自變量的范圍變化情況,又要防止弄錯函數的奇偶性,稍不留神就可能前功盡棄.實際上,要寫出具體解析式計算量較大,即使將f(x)解析式解出后,解題依舊難以進行下去,思維受阻.如果能根據問題情境的需要變換問題表征方式,用圖形語言表征問題,借助圖像表達思維和觀點,就可以將方程根的問題轉化為兩個函數圖像的交點個數問題.如圖1 所示,在同一坐標系中畫出兩個函數的圖像, 再利用函數的周期性與奇偶性觀察其交點的個數,就能較為輕松地確定k的取值范圍.

圖1

解析根據題意,f(x) 在x ∈(0,2] 上是一個以(1,0)為圓心, 1 為半徑的上半圓C,f(x) =g(x) 有8 個不同的實數根, 即函數y=f(x) 與y=g(x) 在區間(0,9]上有8 個不同的交點.由于f(x) 是奇函數, 且周期為4, 可以在同一坐標軸中畫出f(x) 在x ∈(0,9] 上的圖像和g(x) 的圖像.從圖中看出,g(x) =在區間(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8] 上與f(x) 函數圖像共存在2個交點,所以當x ∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]時,g(x) =k(x+2)與f(x)函數圖像有6 個交點,由圖可知,當x ∈(2,3]∪(6,7]時,f(x)與g(x)圖像無交點, 所以當x ∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]時,f(x)與g(x)圖像存在6 個交點, 進一步將題目轉化為區間上動線段與四分之一圓弧的位置關系問題.由f(x)與g(x)的周期性可知,當x ∈(0,1]時,g(x)過定點(?2,0)且f(x)與g(x)有兩個交點,當直線g(x)=k(x+2)與半圓C相切時,d==1,解得k1=(負值舍去),當直線y=k(x+2)過點(1,1)時,k=所以,k的取值范圍是

思考函數的零點問題是高中數學的重要內容之一,也是高考的熱點.《課標(2017年版)》“學業質量水平”部分明確提出了“發現圖形與數量的關系,探索圖形的運動規律;能夠掌握研究圖形與數量之間關系的基本方法,借助圖形性質探索數學規律,解決實際問題成數學問題[1]”的要求.如方程根的問題、存在性問題以及交點問題等都可以轉化為零點的問題進行求解,函數零點個數可以轉化為兩個函數圖像的交點個數問題,本質上就是執行課程標準的一種體現.熟悉基本初等函數的圖像畫法,能夠根據問題給出的函數及其特性,較為準確地在同一坐標系中展示相關函數的圖像是快捷解決此類問題的關鍵.

二、以數解形,復雜問題簡單化

由于形的直觀作用,數形結合思想方法運用中,人們往往看重的是“以形助數”,忽略“以數解形”.“以數解形”是指基于代數思維,通過數量運算來解決幾何問題.特別是,當數學問題中條件是“形”而結論是“數”,或者是與數相關的量的情況下,可以根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系,分析它的代數意義,使數量關系與空間圖形巧妙結合,縮小條件和結論間的矛盾差異,獲得解題思路.

例2(2020年高考北京卷理科第13 題) 已知正方形ABCD的邊長為2, 點P滿足則

分析本題以向量為背景,題目簡單明了,很多同學在碰到向量的問題都想通過圖形的幾何直觀性來闡明向量之間的數量關系,然后通過向量運算解決問題.但由于向量位置在圖中錯綜復雜,且從向量運算的三角形法則(或平行四邊形法則)使用上看,很不方便,思路受阻.本題條件是幾何意義下的圖形與向量的和式,而求解的兩個結論均為數,分別是向量的模長和向量的數量積.為了縮小條件與結論之間的差距,可以運用向量的數、形二重性,建立直角坐標系,將幾何問題代數化,不僅加快了解題速度,還提高了解題的準確性.

解析如圖2 所示, 以A為坐標原點, 建立坐標系.其中正方形的頂點坐標分別為A(0,0), B(2,0),C(2,2), D(0,2), 從而有:

圖2

設P(x,y), 即有= (x,y), 又因為所以解得所以有P(2,1), 則(0,?1), 故=(?2)×0+1×(?1)=?1.

類似的,有一道高考題,它是在直線和拋物線滿足一定的關系條件下求直線的斜率問題.

例3(2018 高考全國III 卷理科第16 題)已知點M(?1,1)和拋物線C:y2= 4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(如圖3 所示), 若∠AMB=90?,則k=____.

圖3

分析如果聚焦于“形”,利用圓錐曲線的幾何性質確定參數取值時, 發現圖形太過于簡單, 所含幾何信息量較少, 無法構建相應的幾何模型.考察拋物線與直線相交的問題,過拋物線焦點的直線斜率k滿足以下的條件: 一是直線上的A,B兩點在拋物線上,二是∠AMB= 90?.其次,M點在拋物線的準線上且斜率為k的直線與拋物線有關, 由于∠AMB=90?,可以將直線的斜率問題轉化為向量的數量積問題,引入坐標,構建方程與函數的模型,將幾何問題代數化,從“數”的角度尋求解決問題的突破口.

解析設A(x1,y1),B(x2,y2), 過橢圓焦點的直線方程為:y=k(x ?1), 將直線方程與拋物線方程聯立得:可得:k2x2?(2k2+4)x+k2=0.根據韋達定理可知:x1+x2=2+,x1x2=1,則y1+y2=y1y2=?4, 因為M(?1,1), 所以= (x2+1,y2?1),= (x1+1,y1?1).又因為∠AMB= 90?,所以=0,即(x1+1)(x2+1)+(y1?1)(y2?1)=0,代入得:k2?4k+4=0,因此,k=2.

思考本題的求解關鍵是從“數”的角度出發,以“直角”作為切入點,引出數量積為零,建立等量關系,通過坐標運算進行轉化,使問題的條件明晰化.一般地,從幾何問題中抽取代數信息,巧借方程的思想求出坐標表達式,使向量的線性運算通過坐標來進行,實現向量運算的代數化,使幾何問題轉化為數量運算問題是一種重要而有效的解題思路.

三、形數互變,幾何代數一體化

數與形是構成數學的兩個基本對象,數學問題的解決經常會在“數”與“形”之間形成信息的相互轉換中獲得解題思路.形數互變的關鍵就在于理清楚“數”與“形”內在的聯系,找準問題的關鍵點,再將代數與幾何相互轉化,二者結合,最終解決問題.

例4(2018 高考全國II 卷理科第19 題) 設拋物線C:y2= 4x的焦點為F, 過F且斜率為k(k ＞0) 的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

分析本題第一問求解不難, 第二問是主要考察與拋物線相切的圓的軌跡問題, 有一定的難度.首先,兩點既在直線A,B上,也在拋物線圖像上,又在所求的圓上,并且A,B兩點的點坐標都滿足拋物線解析式,這是“形”到“數”.其次,將直線與拋物線的解析式聯立方程組,兩點坐標就是所求的解,即為圓上的兩個點,這是“數”向“形”.最后,找出“數”與“形”之間的連接點是求解第二問的關鍵.

圖4

聯系圓心與圓上點之間的關系:AB為過拋物線焦點的焦點弦,取線段AB的中點為點M,過點A,B,M三點分別向拋物線的準線作垂線,垂足分別為A′,B′,M′,由梯形中位線可知,MM′=又根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半的逆定理可知,AM′⊥BM′,也就是說,以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.這樣就能得出過點A,B兩點且與拋物線C的準線相切的圓的圓心為點M,直徑為AB.

解析(1)直線l的方程為:y=x ?1.

思考解決本問題有兩個關鍵點: 一是通過AB的中點,作拋物線準線的垂線,從圖形角度確定圓心所在位置以及圓的直徑長度,二是根據A,B兩點既滿足拋物線方程,也滿足圓的方程,從代數角度精確求出圓的方程.形與數的互變,使幾何代數一體化,不僅可以將繁雜題目變得清晰明了,把握問題的關鍵點,又提高了解題效率,從而達到“1+1＞2”的效果.

數形結合是數學學習中一種重要的思想方法.數形結合思想是數量關系和圖形性質之間的相互轉化,“形”構成數學的直觀化圖形語言,“數”則是數學的抽象化符號語言,它們在一定條件下可以相互轉化.通過以上分析可以發現,數形結合思想方法在高考題中涉及知識點非常廣泛,高考數學題也越來越重視注重考察學生的創造性與發散性思維,在題目的設計上更具有開放性[2].因此,學生要學會建立形與數的聯系,既要學會抽象問題直觀化,利用幾何圖形描述問題,又要善于把幾何問題代數化,優化代數運算優化解題.學會將幾何直觀與代數運算融合,通過形與數的結合,感悟數學知識之間的關聯,加強對數學整體性的理解.