兩道高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題的共同背景分析

深圳市寶安區(qū)松崗中學(xué)(518105) 王 偉

題目(2020年高考天津卷) 已知函數(shù)f(x) =x3+klnx(k ∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)k=6 時(shí),

(i)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(ii)求函數(shù)g(x)=f(x)?f′(x)+的單調(diào)區(qū)間和極值;

(Ⅱ)當(dāng)k≥?3 時(shí),求證: 對(duì)任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1＞x2,有

這是2020年高考天津卷導(dǎo)數(shù)壓軸題,本題三問分別考查利用導(dǎo)數(shù)求切線問題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值以及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式問題.本題充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)解答題起點(diǎn)低、落點(diǎn)高、設(shè)問有梯度的命題特點(diǎn),本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多, 具有較強(qiáng)的綜合性和靈活性, 解題切入點(diǎn)多、口徑寬,解法多樣,是一道優(yōu)質(zhì)的導(dǎo)數(shù)壓軸題.

一、試題求解與優(yōu)化

解析(Ⅰ)(i)當(dāng)k= 6 時(shí),f(x) =x3+6 lnx,f′(x) =3x2+可得f(1)=1,f′(1)=9,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為:y ?1=9(x ?1),即y=9x ?8.

(ii)依題意,g(x)=x3?3x2+6 lnx+x ∈(0,+∞).從而可得g′(x) = 3x2?6x+整理可得:g′(x) =令g′(x) = 0, 解得x= 1.當(dāng)x變化時(shí),g′(x),g(x)的變化情況如下表:

x (0,1)1(1,+∞)g′(x)?0+g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)g(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1), 單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞);g(x)的極小值為g(1)=1,無極大值.

(Ⅱ)方法一由f(x)=x3+klnx,得f′(x)=3x2+對(duì)任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1＞x2,令=t(t ＞1),則

令h(x) =?2 lnx,x ∈[1,+∞), 當(dāng)x ＞1 時(shí),h′(x) = 1 +＞0, 由此可得h(x)在[1,+∞) 單調(diào)遞增, 所以當(dāng)t ＞1 時(shí),h(t)＞h(1), 即因?yàn)閤2≥1,t3?3t2+3t?1=(t ?1)3＞0,k≥?3,所以

由(Ⅰ)(ii)可知,當(dāng)t ＞1 時(shí),g(t)＞g(1),即t3?3t2+6 lnt+故

由①②③可得

即(II)的待證不等式成立.

(Ⅱ) 方法二對(duì)任意的x1,x2∈[1,+∞), 且x1＞x2,等價(jià)于(x1?x2)3+＞0,x1＞x2≥1.構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)g(x)=(x ?x2)3+x ＞x2≥1,k≥?3,則

所以g(x) 在(x2,+∞) 上單調(diào)遞增, 故當(dāng)x ＞x2≥1 時(shí),g(x)＞g(x2) = 0, 對(duì)任意x2≥1, 只要x ＞x2≥1, 都有g(shù)(x)＞g(x2) = 0, 因?yàn)閤1＞x2≥1, 所以g(x1)＞g(x2)=0,從而有(x1?x2)3+0,故(II)的待證不等式成立.

(Ⅱ)方法三由f(x)=x3+klnx,得f′(x)=3x2+x≥1,k≥?3,令h(x)=f′(x)=3x2+,x≥1,k≥?3,則

因?yàn)?/p>

所以h(x)是下凸的函數(shù),

①當(dāng)?3 ≤k≤6 時(shí),h′(x) = 6x ?＞0,所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)k ＞6 時(shí),h′(x)=6x?所以h(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

圖1

圖2

在直角坐標(biāo)系中作出h(x)的函數(shù)圖像,當(dāng)?3 ≤k≤6時(shí),h(x)的圖像如圖1;當(dāng)k ＞6 時(shí),h(x)的圖像如圖2,作直線x=x2分別交x軸與函數(shù)h(x)的圖像與M,A點(diǎn),作直線x=x1分別交x軸與函數(shù)h(x)的圖像與N,B點(diǎn),其中x1＞x2≥1.因?yàn)閔(x)是下凸的函數(shù),所以S梯形AMNB ＞S曲邊梯形AMNB, 由定積分的幾何性質(zhì)和梯形面積計(jì)算公式可得:[h(x1)+h(x2)](x1?x2)＞即[f′(x1)+f′(x2)](x1?x2)＞=f(x1)?f(x2), 故對(duì)任意的x1,x2∈[1,+∞), 且x1＞ x2, 有

評(píng)析對(duì)于兩個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式問題,其關(guān)鍵在于將兩個(gè)未知數(shù)化歸為一個(gè)未知數(shù),常見的證明方法有以下4種: ①利用換元法,化歸為一個(gè)未知數(shù); ②利用未知數(shù)之間的關(guān)系消元,化歸為一個(gè)未知數(shù); ③分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性證明; ④利用主元法,構(gòu)造函數(shù)證明.方法一屬于換元法,用到了最常用的比值換元,但是運(yùn)用比值換元需要借助于放縮才能構(gòu)造新的函數(shù),因?yàn)橛械谝粏柕匿亯|學(xué)生容易想到放縮法進(jìn)行處理,有一定的靈活性;方法二屬于主元法,與比值換元相比學(xué)生更容易接受,思路也很清晰,沒有思維盲點(diǎn),便于學(xué)生操作;方法三屬于數(shù)形結(jié)合思想,運(yùn)用了凸函數(shù)的性質(zhì)和定積分的幾何性質(zhì),可以借助于此方法挖掘出該題的高等數(shù)學(xué)背景和幾何含義.

二、命題背景分析

阿達(dá)瑪(Hadamard)積分不等式設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的下凸函數(shù),a≤x1＜ x2≤b, 則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是線性函數(shù)時(shí)成立.

證明(幾何含義)如圖3,設(shè)直線x=x1與x軸交于A點(diǎn),與曲線y=f(x) 交于D點(diǎn), 直線x=x2與x軸交于B點(diǎn), 與曲線y=f(x) 交于C點(diǎn), 直線與x軸交于M點(diǎn),與曲線y=f(x)交于N點(diǎn),設(shè)曲線在N點(diǎn)處的切線為l,因?yàn)閒(x)是區(qū)間[a,b]上的下凸函數(shù),所以曲線在切線l的上方,故切線l與直線BC、AD的交點(diǎn)分別在線段BC、AD上,分別設(shè)為E,F.由圖可知:

圖3

故待證不等式成立.

本題就是以阿達(dá)瑪積分不等式為背景命制的一道具有高等數(shù)學(xué)背景的試題,是阿達(dá)瑪積分不等式的一個(gè)特例,如果運(yùn)用阿達(dá)瑪積分不等式,本題的解法就顯得很簡(jiǎn)潔.

基于阿達(dá)瑪積分不等式的解法:

由f(x) =x3+klnx, 得f′(x) = 3x2+,x≥1,k≥?3, 令h(x) =f′(x) = 3x2+,x≥1,k≥?3, 則h′(x)=6x ?

所以h(x) 在[1,+∞) 上是下凸的, 對(duì)任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1＞x2,由阿達(dá)瑪積分不等式可得:

本題與2013年陜西高考題理科卷第21 題導(dǎo)數(shù)壓軸題如出一轍,它們同源于阿達(dá)瑪積分不等式的特例.

特例(2013年高考陜西理科卷) 已知函數(shù)f(x) = ex,x ∈R.

(Ⅰ)若直線y=kx+1 與y=f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)k的值;

(Ⅱ)設(shè)x ＞0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m ＞0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(Ⅲ)設(shè)a ＜b,比較的大小,并說明理由.

解析(Ⅰ)略;(Ⅱ)略;

(Ⅲ)由f(x)=ex,得:f′(x)=ex,f′′(x)=ex ＞0,所以f(x)在R 上是下凸的,由阿達(dá)瑪積分不等式可得:

評(píng)析在近幾年的高考中,背景相同解法相似的高考?jí)狠S題較多,還有2020年全國Ⅰ卷解析幾何壓軸題與2010年高考江蘇卷解析幾何題同源,2018年全國Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題與2011年高考湖南卷文科導(dǎo)數(shù)題同源.還有很多,不再累述.

三、教學(xué)啟示

從以上分析可以看出,高考?jí)狠S題立意深刻、背景公平、設(shè)計(jì)新穎,具有典型性、示范性、引領(lǐng)性,是教學(xué)研究的良好素材.研究高考題有利于領(lǐng)會(huì)命題者意圖、弄清試題背景、回歸試題本質(zhì)、拓展試題解法,有利于引導(dǎo)我們的教學(xué)回歸數(shù)學(xué)學(xué)科屬性,落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,不僅要求學(xué)生理解試題所包含的基本知識(shí)、解題思想和方法,而且還要了解概念產(chǎn)生的背景和過程,最重要的是從每一節(jié)課入手,適當(dāng)引入HPM 視角下的教學(xué)設(shè)計(jì),讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì).另外我們還要注意對(duì)一些經(jīng)典的、具有代表性的知識(shí)和方法的拓展延伸,尤其對(duì)教材中涉及的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常出現(xiàn)的熱點(diǎn)數(shù)學(xué)模型,不僅要弄清楚這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展內(nèi)涵,還要及時(shí)加以整理歸納,形成知識(shí)體系專題,構(gòu)建變式模型,開展探究活動(dòng),挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì),有意識(shí)地尋根探源,通過探究讓學(xué)生理解并掌握,并能在具體的數(shù)學(xué)問題情境中靈活應(yīng)用.