三角形周長(zhǎng)為定值的內(nèi)切圓半徑最值問題探究*

江蘇省南通市天星湖中學(xué)(226010) 錢 鵬

在高三數(shù)學(xué)迎考復(fù)習(xí)教學(xué)中編制微主題式研究性學(xué)習(xí)單或微專題導(dǎo)學(xué)單,從數(shù)學(xué)雜志或者各地模考題中挖掘題源,進(jìn)一步整合,從而達(dá)到解一題而通一類,是解題教學(xué)的目標(biāo)之一.

題目(2019年12月武漢市模考試題填空壓軸題)已知?ABC的周長(zhǎng)為9,若求?ABC的內(nèi)切圓半徑r的最大值.

探求結(jié)論往往明確解題方向.注意到的對(duì)稱性, 猜想A=B時(shí)內(nèi)切圓半徑最大, 此時(shí)A=B=C=如圖1所示, 有r=ID=

圖1

解法1記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,

又S?ABC=(a+b+c)r=故所以?ABC的內(nèi)切圓半徑的最大值為

解法2由

記?ABC的內(nèi)切圓I切邊AB,BC,CA于點(diǎn)D,E,F,記AD=DF=x,BD=BE=y,CE=CF=z.

圖2

如圖2 所示,則x+y+則依題意可知S?ABC=(a+b+c)r=(x+y+z)r,由海倫公式得S?ABC=所以r2=結(jié)合可得x+y+z= 3z, 又因?yàn)閤+y+z=所以

注對(duì)于還有另一種轉(zhuǎn)化方式.借助于半角公式

以及正弦定理、余弦定理可得

由a+b+c=9,得a+b=6,c=3.

推 廣若 ?ABC的周長(zhǎng)為l,=則?ABC的內(nèi)切圓半徑r的最大值為面積S?ABC的最大值為

證明由

由題意得a+b+c=l,S?ABC=因?yàn)榧?/p>

在?ABC中,有三角恒等式所以所以

所以S?ABC=所以當(dāng)A=B,?ABC的內(nèi)切圓半徑r的最大值為面積S?ABC的最大值為