對一道平面幾何問題的深入探究

福建省福州市第二十四中學(350015) 楊學枝

一、問題提出

筆者在網絡上看到以下

問題在?ABC中,∠A=100?,BD是∠ABC的平分線,AD+BD=BC,求證:AB=AC.

較長時間未見有人給出解答,由此引起本人興趣,于是經考慮提出以下問題: 在?ABC中,D為邊AC上一點,有以下四個條件:

(1)∠BAD=100?;

(2)AB=AC;

(3)BD是∠ABC的角平分線;

(4)AD+BD=BC.

已知其中任意三個條件,則第四個條件是否為真? 我們回答是肯定的,下面就來深入探討這個問題.

二、四個命題及其證明

命題1在等腰?ABC中,AB=AC,∠A=100?,D為邊AC上一點,BD是∠ABC的平分線,則AD+BD=BC.

證法1(平幾方法) 如圖, 在BC邊 上取點E, 連DE, 使得∠DEC= ∠BAC=100?, 則A,B,E,D四點共圓(若四邊形一個外角等于不相鄰的內對角,則此四邊形內接于圓),連AE,則∠DAE= ∠DEA== 20?,因此得到DE=DA.又∠EDC= ∠ABC= 40?=∠ECD, 因此得到ED=EC, 所以,EC=AD.在?BED中,∠BED=180??∠DEC=180??100?=80?,∠BDE=180??∠DBC?∠BED=180??20??80?=80?,因此,BE=BD,所以,得到AD+BD=EC+BE=BC.命題1 獲證.

證法2(三角方法)應用正弦定理和積化和差公式,有

命題2在等腰?ABC中,AB=AC,D為邊AC上一點,BD是∠ABC的平分線,AD+BD=BC, 則∠BAC=100?.

證法1(平幾方法) 如圖, 設∠ABD= ∠DBC=α,α ∈(0,90?),則∠ABC=∠ACB= 2α, ∠BAC=180??4α.在BC邊上取點E, 連DE, 使得∠DEC=∠BAC, 則A,B,E,D四點共圓, 連AE, 則∠DAE=∠DEA==α,因此得到DE=DA.又∠EDC=∠ABC= 2α= ∠ECD,因此得到ED=EC,所以,EC=AD.由AD+BD=BC,即BD=BC?AD=BC?EC=BE,因此得到∠BDE=∠BED=

于是,得到∠ADB+∠BDE+∠EDC=3α+(180??α)+2α= 180?, 由此得到α= 20?, 故∠BAC= 180??4α=180??4×20?=100?.命題2 獲證.

證法2(三角方法) 設∠ABD= ∠DBC=α,α ∈(0,45?),則∠ACB= 2α,∠BAC= 180??4α,再由已知條件AD+BD=BC,并應用正弦定理,有

即得到sin 5α= sin 4α, 由 于α ∈(0,45?), 則5α ∈(0?,225?),4α ∈(0?,180?),因此得到180??4α=5α,于是得到α=20?,則∠BAC=100?.命題2 獲證.

命題3在等腰?ABC中,AB=AC,∠A=100?,D為邊AC上一點,AD+BD=BC,則BD是∠ABC的角平分線.

證明由于在等腰?ABC中,AB=AC,∠A= 100?,則∠ABC= ∠ACB= 40?.如圖, 設∠ABD=α,α ∈(0,45?),由已知條件AD+BD=BC,得到于是,在?ABD和?BCD中,應用正弦定理,便有

注意到α ∈(0,45?),因此得到50??α= 30?,α= 20?,故BD是∠ABC的角平分線.命題3 獲證.

命題4在?ABC中,∠A= 100?,BD是∠ABC的平分線,AD+BD=BC,則AB=AC.

證法1設∠ABD= ∠DBC=α,α ∈(0,40?), 由于AD+BD=BC,即有又由正弦定理,得到

記f(α) =由于α ∈(0,40?), 則0?＜α,50?+α,10?+α ＜90?,在區間(0?,90?)上,cosα,cos(50?+α) 均為減函數,也為減函數, 因此,f(α) =為減函數.又由于當α= 20?時,f(α) =f(20?) == sin 40?, 由此可知,f(α) == sin 40?, 在區間(0?,90?)上只有唯一解α= 20?.故要使sin 40?sin(10?+α) =cosαcos(50?+α)成立,在原題的條件下,當且僅當α=20?,這時,∠ABC=∠ACB=40?,即AB=AC.證畢.

評注命題1、命題2 證法都不難,我們分別給出了平幾證法和三角證法,命題3 給出了三角證法,是否有簡捷的平幾證法值得探討.命題4 證明較為困難,但命題4 內涵深刻,除了上文的解法之外,還可以通過代數方法求解,限于篇幅,此處從略.

三、對命題4 的深入探討

作為命題4 的推廣,我們可以證明如下的

命題5在?ABC中,∠A=θ,θ ∈(90?,180?),BD是∠ABC的 平 分 線,∠ABD= ∠DBC=α,AD+BD=BC.則

(2)對于確定的θ,滿足式(1)的α值有且只有一個.

證明(1) 如圖, 依題意有由于AD+BD=BC, 即,由正弦定理,得到

(2) 由于α ∈(0?,45?),θ ∈(90?,180?), 則α+∈(45?,135?) 因此, cosα,cos(α+為α的減函數, 從而cosαcos(α+為α的減函數;同時有α+θ ∈(90?,180?),因此cos(α+θ)為α的減函數,從而也的減函數.所以,關于α的函數在區間α ∈(0,45?)上是減函數.

又由于當α= 0?時,＞0,當α=45?時,(90?,135?),則cos(45?+)＜0;45?+θ ∈(135?,225?),則cos(45?+θ)＜0, 因此, 有＜0, 所以, 關于α的函數在區間α ∈(0,45?) 上只有一個零點, 即滿足式的α值有且只有一個.命題5 獲證.

在上面命題4 中,θ= 100?,可得到α= 20?.下面再舉一個特例.

例在?ABC中,∠A= 120?,θ ∈(90?,180?),BD是∠ABC的平分線,∠ABD=∠DBC=α,AD+BD=BC.求α值.

解由命題5 可知,α有且僅有一個值滿足

解得sin(α+30?)=合題意應舍去, 因此得到sin(α+30?) =由于30?＜α+30?＜75?, 故α+30?=即?30?≈10.5?.

還可以對本文開頭提出的問題作一些相關的探索,限于篇幅就此而止.

通過對以上一個問題四個命題的探究和證明,啟發我們在研究問題時,要善于對問題的條件與結論進行轉換,從而對問題有更加深刻的認識,同時從不同的角度對問題進行探討,這有助于提高數學思維能力.