圓錐曲線中與離心率相關(guān)的性質(zhì)

云南省彌勒市第一中學(xué)(652399) 孔繁文

題目(2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)模擬試題(十一)第20 題)已知橢圓C:= 1(a ＞0,b ＞0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(1,)在橢圓C上且MF垂直于x軸.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),直線PM與x=4 交于點(diǎn)N,求證: 點(diǎn)N到直線PF的距離為定值,并求出這個(gè)定值.

答案(Ⅰ)橢圓C的方程為=1;(Ⅱ)定值為3.

本題著重考查橢圓的方程,點(diǎn)和直線、點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系,直線和直線的方程,點(diǎn)到直線的距離等知識(shí),同時(shí)還考查劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及綜合運(yùn)算的能力.筆者對(duì)(Ⅱ)進(jìn)行深入探究,得到了圓錐曲線中與離心率相關(guān)的性質(zhì).

命題1F和l分別是橢圓Γ:=1(a ＞b ＞0)的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線,若一條直線與橢圓Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于x軸,則點(diǎn)C到直線AF的距離是橢圓Γ 的通徑與其離心率之比的一半.

證明依題意, 設(shè)F(c,0), 則直線l的方程為x=設(shè)A(x0,y0),,t); 將x=c代入= 1 解得y=, 于是因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以因?yàn)橹本€AF的方程為y=即y0x ?(x0?c)y ?cy0=0,所以點(diǎn)C到直線AF的距離

其中e是橢圓Γ 的離心率,所以點(diǎn)C到直線AF的距離是橢圓Γ 的通徑與其離心率之比的一半.

又由于直線AB的方程為c), 將點(diǎn)C的坐標(biāo),t) 代入AB的方程解得t=所以所以直線CF的斜率kCF=又因?yàn)橹本€AB的斜率kAB=所以kAB ?kCF=即|kAB ?kCF|=e(其中e是橢圓Γ 的離心率).于是又得

命題2F和l分別是橢圓Γ:=1(a ＞b ＞0)的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線,若一條直線與橢圓Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于x軸,則直線AB的斜率與直線CF的斜率之差的絕對(duì)值是橢圓Γ 的離心率.

命題3F和l分別是雙曲線Γ := 1(a ＞0,b ＞0)的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線,若一條直線與雙曲線Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于x軸,則點(diǎn)C到直線AF的距離是雙曲線Γ 的通徑與其離心率之比的一半.

證明與命題1 類似,從略.

命題4F和l分別是雙曲線Γ := 1(a ＞0,b ＞0)的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線,若一條直線與雙曲線Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于x軸,則直線AB的斜率與直線CF的斜率之差的絕對(duì)值是雙曲線Γ 的離心率.

證明與命題2 類似(略)

命題5F和l分別是拋物線Γ :y2= 2px(p ＞0)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,若一條直線與拋物線Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于x軸,則點(diǎn)C到直線AF的距離是拋物線Γ 的通徑與其離心率之比的一半.

證明依題意,設(shè)0),則直線l的方程為x=設(shè)A(x0,y0),C(,t);將x=代入y2= 2px解得y=±p,于是,±p);因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以

即?py0=因?yàn)橹本€AF的方程為y=即y0x ?(x0?= 0,又=2px0,所以點(diǎn)C到直線AF的距離

其中1 是拋物線Γ 的離心率,所以點(diǎn)C到直線AF的距離是拋物線Γ 的通徑與其離心率之比的一半.

又由于直線AB的方程為y ?(±p) =將點(diǎn)C的坐標(biāo),t) 代入AB的方程解得t=所以所以直線CF的斜率

又因?yàn)橹本€AB的斜率

所以kAB ?kCF==?1, 即|kAB ?kCF|= 1(其中1 是拋物線Γ 的離心率) .于是又得

命題6F和l分別是拋物線Γ :y2= 2px(p ＞0)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,若一條直線與拋物線Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于x軸,則直線AB的斜率與直線CF的斜率之差的絕對(duì)值是拋物線Γ 的離心率.

由上述命題可得圓錐曲線中與離心率相關(guān)的如下兩個(gè)性質(zhì):

性質(zhì)1F和l分別是圓錐曲線Γ 的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線,若一條直線與Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于F所在的軸,則點(diǎn)C到直線AF的距離是Γ 的通徑與其離心率之比的一半.

性質(zhì)2F和l分別是圓錐曲線Γ 的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線,若一條直線與Γ 相交于A、B兩點(diǎn),與l相交于C點(diǎn),且BF垂直于F所在的軸,則直線AB的斜率與直線CF的斜率之差的絕對(duì)值是Γ 的離心率.