借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),發(fā)展幾何直觀*

廣東省廣州市南沙東涌中學(xué)(511453) 麥鳳珊

2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中,“幾何直觀”以核心概念的“身份”出現(xiàn),發(fā)展學(xué)生的幾何直觀成為課改的重要目標(biāo)之一,明確指出: 幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問(wèn)題,借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象.2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中確立“直觀想象”是六個(gè)核心素養(yǎng)之一,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化, 利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).由此可見(jiàn),在中學(xué)階段發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要性,幾何直觀是中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),是指學(xué)生利用相關(guān)實(shí)驗(yàn)工具,如紙張、模具、測(cè)量軟件(工具)、作圖工具、計(jì)算器(機(jī))等,在一定的實(shí)驗(yàn)環(huán)境或條件下進(jìn)行的數(shù)學(xué)思維活動(dòng),其目的在于通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取某些數(shù)學(xué)知識(shí)或驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)結(jié)論,解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題,是一種以學(xué)生親身動(dòng)手參與實(shí)驗(yàn)操作為特征的數(shù)學(xué)探究實(shí)踐活動(dòng).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀有其獨(dú)特的作用,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)馨殉橄蟆?fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)以生動(dòng)、直觀的形象展現(xiàn)于學(xué)生面前,使抽象的內(nèi)容直觀化、具體化,幫助學(xué)生更好地理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí).借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)展學(xué)生幾何直觀已成為了一條重要的途徑.

1 利用折紙實(shí)驗(yàn),發(fā)展幾何直觀

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力方面有著重要的教育價(jià)值和作用,幾何直觀為邏輯推理提供有力的支撐,學(xué)生通過(guò)所看到的圖形可以進(jìn)行思考、想象.一直以來(lái),初中學(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)幾何是困難的,尤其是立體幾何更是頭痛.因?yàn)槌踔袑W(xué)生的理解能力、認(rèn)知能力大部分還建立在直觀操作、動(dòng)手實(shí)踐的基礎(chǔ)上,要解決初中學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的困難,就必須使幾何變得形象和直觀.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是將抽象難以理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題,借助幾何圖形形象直觀地呈現(xiàn)出來(lái),讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更形象、更直觀、更具體.

案例1 折紙?zhí)骄空襟w平面展開(kāi)圖

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備剪刀、印有平面展開(kāi)圖的紙片.

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟

1.如圖1,先觀察圖形,思考下面哪些圖形可以折成一個(gè)正方體?

圖1

2.動(dòng)手做一做,驗(yàn)證你的想法,結(jié)合上面的思考與實(shí)驗(yàn)操作你能得到什么結(jié)論?

3.以下是正方體的展開(kāi)圖,請(qǐng)說(shuō)出各組相對(duì)的面的文字;動(dòng)手做一做,驗(yàn)證你的想法.

圖2

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 發(fā)展幾何直觀通常以圖形為載體,初一學(xué)生的空間想象能力偏弱,設(shè)計(jì)一些觀察、動(dòng)手操作的活動(dòng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).利用平面圖形的折疊實(shí)驗(yàn)探究,通過(guò)觀察、分析、猜想、驗(yàn)證、推理、反思等一系列實(shí)驗(yàn)活動(dòng),讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知→實(shí)驗(yàn)操作→推理論證→得出結(jié)論”的過(guò)程,從具體到抽象,再?gòu)某橄蟮骄唧w的螺旋式上升過(guò)程,從簡(jiǎn)單關(guān)系到復(fù)雜關(guān)系,進(jìn)而深層次地理解和重建新的知識(shí);讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn),經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過(guò)程,感受立體圖形與平面圖形之間的直觀轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力、幾何直觀,發(fā)展學(xué)生空間的觀念.

2 利用拼圖實(shí)驗(yàn),發(fā)展幾何直觀

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,學(xué)生往往會(huì)對(duì)一些數(shù)學(xué)定理、公式或概念的本質(zhì)屬性理解不夠,從而造成認(rèn)知困惑,進(jìn)而產(chǎn)生數(shù)學(xué)很抽象、難于理解的感覺(jué).其實(shí),很多的概念、法則、定理、公式都能用相應(yīng)的幾何圖形進(jìn)行解釋,數(shù)學(xué)家黎曼曾說(shuō):每個(gè)數(shù)學(xué)公式背后都有反映其本質(zhì)的幾何模型.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)揮其重要作用,把抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)為形象直觀的,借助圖形對(duì)其進(jìn)行直觀化推理教學(xué),可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題提供必要的幫助,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用,更能發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.

案例2 拼圖驗(yàn)證公式:a2?b2=(a+b)(a ?b)

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備剪刀、正方形紙片.

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟

實(shí)驗(yàn)探究一:

1.如圖3,在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形(a > b),則余下面積為:____.

2.探究:

(1)如圖4, 沿虛線部分把紙片剪開(kāi),得到兩塊長(zhǎng)方形紙片;

圖3

(2)把小長(zhǎng)方形紙片與大長(zhǎng)方形紙片重新組合成一個(gè)新的長(zhǎng)方形,如圖5;

(3)可得新的長(zhǎng)方形的面積為:____.

由此可得結(jié)論:____.

圖4

圖5

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常以裁剪、拼接為載體,引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作,自主探究,通過(guò)觀察圖形,計(jì)算陰影部分的面積,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)行歸納,初步感受平方差公式可以利用圖形的前后變化, 進(jìn)行直觀的驗(yàn)證.剪去小正方形后, 圖3 中余下的面積為a2?b2.把圖4 沿虛線剪開(kāi),拼成圖5 的長(zhǎng)方形,其長(zhǎng)為(a+b),寬為(a ?b),所以圖形面積為(a+b)(a ?b).而圖4、圖5 的面積是相等的, 由此可得出平方差公式:a2?b2=(a+b)(a ?b).

實(shí)驗(yàn)探究二: 除上述拼接方法表示紙片的面積外,你還可以用怎樣的方法表示呢? 根據(jù)前后兩者圖形的變化,你還能驗(yàn)證平方差公式嗎?

如圖6, 沿虛線部分把紙片剪開(kāi), 得到兩塊直角梯形紙片,把兩塊紙片按不同方式進(jìn)行拼接,可以得到圖7 的矩形、圖8 的平行四邊形、圖9 的等腰梯形.

圖6

圖7

圖8

圖9

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 由圖7 可非常直觀地得出矩形的面積為(a+b)(a ?b);同樣,由圖8 也可直觀地得出平行四邊形的面積為(a+b)(a ?b); 圖9 中梯形的上下底長(zhǎng)分別為2b、2a, 而梯形的高為a ?b, 根據(jù)梯形面積公式可知圖9 的面積為(2b+2a)(a ?b) = (a+b)(a ?b), 同樣可 得到:a2?b2=(a+b)(a ?b),因而平方差公式得到驗(yàn)證.本實(shí)驗(yàn)從另一角度進(jìn)行探究驗(yàn)證,無(wú)論怎樣拼接,都能得出平方差公式,讓學(xué)生進(jìn)一步感受可以利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平方差公式,是如何此的直觀、快捷.

3 信息技術(shù)實(shí)驗(yàn),發(fā)展幾何直觀

華羅庚曾說(shuō):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”,一直以來(lái),“數(shù)與代數(shù)”的知識(shí)給人以“符號(hào)化、抽象化”的特征,學(xué)生能利用圖形解決代數(shù)問(wèn)題的觀念相對(duì)薄弱.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為數(shù)與形的轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件,通過(guò)挖掘問(wèn)題中所隱含的幾何背景,借助幾何直觀,促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展,關(guān)注數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形的直觀性來(lái)研究和解決問(wèn)題.

案例3 利用幾何畫(huà)板探究絕對(duì)值最小值

問(wèn)題:a、b、c、x都是實(shí)數(shù), 并且a < b < c, 試求|x ?a|+|x ?b|+|x ?c|的最小值.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備裝有幾何畫(huà)板的計(jì)算機(jī).

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟

1.利用幾何畫(huà)板出直線l.

2.如圖10,在直線l上從左到右分別選取3 個(gè)點(diǎn),分別標(biāo)為a、b、c(顯然,直線l被分成4 部分).

3.如圖11, 在直線l上任取一點(diǎn), 標(biāo)為x, 利用幾何畫(huà)板的測(cè)量功能, 分別量出xa、xb、xc、ac的長(zhǎng)度, 再計(jì)算出“xa+xb+xc”的長(zhǎng)度(為了方便觀察,對(duì)相應(yīng)線段進(jìn)行加粗,并配以不同的顏色以示區(qū)別).

4.在直線l移動(dòng)x點(diǎn),觀察“xa+xb+xc”的長(zhǎng)度變化情況.

圖10

圖11

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 從數(shù)的角度去解決本問(wèn)題,要運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義,分情況開(kāi)絕對(duì)值的符號(hào),要從x≤a、a < x≤b、bc這四種情況進(jìn)行分析討論,運(yùn)算過(guò)程相當(dāng)煩瑣.借助幾何畫(huà)板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究,把數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化圖形問(wèn)題就容易多了,利用數(shù)軸將絕對(duì)值求和轉(zhuǎn)化為求線段的和,使問(wèn)題變得非常直觀、簡(jiǎn)潔.|x ?a|表示點(diǎn)x和點(diǎn)a之間的距離,|x ?a|+|x ?b|+|x ?c|表示了點(diǎn)x到點(diǎn)a、b、c的距離之和.顯然,這三條線段沒(méi)有重疊部分時(shí)和最小,此時(shí)x=b,這最小和為點(diǎn)a、c之間的距離,為|a ?c|=c ?a.借助幾何圖形的直觀性,將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化、直觀化,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化,不僅把復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單,有利于分析問(wèn)題,還可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,拓展解題思路,掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.

讓學(xué)生把握好函數(shù)與其圖象之間的關(guān)系,從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想以及掌握函數(shù)的性質(zhì)是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一.初中學(xué)生的抽象思維還相對(duì)較弱,在開(kāi)始接觸函數(shù)時(shí),大部分學(xué)生都難以理解函數(shù)及其圖象之間的相互聯(lián)系.為了直觀、生動(dòng)地探究一次函數(shù)圖象及其性質(zhì),讓學(xué)生借助幾何畫(huà)板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究,通過(guò)參數(shù)數(shù)值的變化,可動(dòng)態(tài)直觀展現(xiàn)函數(shù)圖象的變化,讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形的變化與參數(shù)值的變化關(guān)系,動(dòng)態(tài)地研究圖象的生成及變化,直觀地了解函數(shù)的性質(zhì),把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象直觀.

案例4 探究一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

先用幾何畫(huà)板做好一個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)的一次函數(shù)圖像,讓學(xué)生通過(guò)拖動(dòng)控制點(diǎn),讓圖形動(dòng)起來(lái),這樣可以動(dòng)態(tài)探究圖像的變化規(guī)律.

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟

實(shí)驗(yàn)探究一: 探究一次函數(shù)y=kx+b(k ?=0)的圖像

1.先讓學(xué)生沿著x軸拖動(dòng)點(diǎn)A進(jìn)行移動(dòng)(并提醒學(xué)生注意觀察畫(huà)面)形成如圖12 所示.

圖12

2.思考: 一次函數(shù)的圖象都是一條直線嗎? (讓學(xué)生利用幾何畫(huà)板隨機(jī)再多畫(huà)幾個(gè)一次函數(shù)進(jìn)行探究驗(yàn)證,讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感悟.)

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 讓學(xué)生借助幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示功能,觀察滿足函數(shù)關(guān)系式的點(diǎn)的坐標(biāo)與位置的動(dòng)態(tài)變化,感受到無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的點(diǎn)形成的圖象是一條直線.讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到一次函數(shù)的圖像是由無(wú)數(shù)個(gè)滿足函數(shù)關(guān)系式的點(diǎn)所組成的,突破傳統(tǒng)教學(xué)采用描幾個(gè)點(diǎn)所畫(huà)的圖象來(lái)猜測(cè)函數(shù)圖形的制約,讓學(xué)生直觀地看到一次函圖像動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程.

實(shí)驗(yàn)探究二: 探究一次函數(shù)的性質(zhì)

1.探究一個(gè)一次函數(shù)的性質(zhì)

課前把幾何畫(huà)板設(shè)置好,讓學(xué)生利用幾何畫(huà)板進(jìn)行自主探究,探究k、b值的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響, 讓學(xué)生分別拖動(dòng)點(diǎn)k、b,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真注意觀察k點(diǎn)、b點(diǎn)變化時(shí)一次函數(shù)圖像的變化情況,要求學(xué)生及時(shí)做好實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄.函數(shù)值y、隨著自變量x的變化而變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程得到了充分的、直觀的演示(如圖13、圖14),這樣的操作實(shí)驗(yàn)會(huì)在學(xué)生的大腦中留下深刻的印記.

圖13

圖14

2.探究?jī)蓚€(gè)一次函數(shù)的關(guān)系

先利用幾何畫(huà)板做好兩個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)的一次函數(shù),讓學(xué)生通過(guò)拖動(dòng)k1、k2、k1、k2,分別探究1○k相同,b不同; 2○k不同,b相同的圖像之間的變化規(guī)律,如圖15、圖16.

設(shè)計(jì)說(shuō)明: 采用傳統(tǒng)的教學(xué)手段,僅靠幾幅靜態(tài)圖形和教師講解很難反映出圖象變化的實(shí)質(zhì)和影響因素,不能直觀地觀察數(shù)量之間的關(guān)系,在實(shí)驗(yàn)操作中引導(dǎo)學(xué)生思考:k、b的變化對(duì)一次函數(shù)的影響,讓學(xué)生總結(jié)出k、b的變化情況,形象直觀地感受k、b值對(duì)影響一次函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限等一系列結(jié)論,加深學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解與掌握.這樣不需要教師多費(fèi)言語(yǔ)進(jìn)行講解歸納,學(xué)生也能根據(jù)圖象概括出一次函數(shù)的性質(zhì).

圖15

圖16

而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芤砸粋€(gè)直觀形象的方式呈現(xiàn),為抽象的數(shù)學(xué)提供直觀;使靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài),使抽象的知識(shí)直觀化與具體化,為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供直觀形象的展現(xiàn);使抽象難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笾庇^的感性知識(shí),通過(guò)借助形象直觀的數(shù)學(xué)思維促進(jìn)學(xué)生把感性的知識(shí)上升為理性的知識(shí).

4 關(guān)于發(fā)展幾何直觀的思考

4.1 抽象的數(shù)學(xué)需要幾何直觀

數(shù)學(xué)是集抽象思維和邏輯思維于一身的學(xué)科,對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō), 他們的抽象思維能力還在逐步形成和成長(zhǎng)之中,在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)更多的是借助形象思維,借助實(shí)物操作或者具體的圖形、圖像.數(shù)學(xué)家希爾伯特曾指出: 圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題;有助于尋求解決問(wèn)題的思路;有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果.幾何直觀是人腦對(duì)圖形直接感知的一種思維活動(dòng),人們認(rèn)知事物,一般經(jīng)歷抽象→形象,再由形象→抽象的的思維過(guò)程.因此,幾何直觀能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維,從而更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué).

4.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力

2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“動(dòng)手實(shí)踐”是一種重要的學(xué)習(xí)方式,與其它自然科學(xué)一樣,可以進(jìn)行觀察、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng).人教社李海東強(qiáng)調(diào): 中學(xué)的幾何教學(xué)需要直觀實(shí)驗(yàn),不能只有直觀而沒(méi)有推理,也不能只重視推理而沒(méi)有直觀,要做好幾何直觀與邏輯推理的過(guò)渡,體現(xiàn)直觀實(shí)驗(yàn)的教育價(jià)值.而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)質(zhì)就是為學(xué)生提供了大量動(dòng)手實(shí)踐操作的機(jī)會(huì), 學(xué)生在動(dòng)手中做數(shù)學(xué)、在動(dòng)腦中思考數(shù)學(xué),在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué),主動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題,提高了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),通過(guò)操作演示或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證,將抽象轉(zhuǎn)化為形象直觀,使研究的問(wèn)題變得顯而易見(jiàn);引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形的直觀性去歸納、探究數(shù)學(xué)知識(shí),或通過(guò)數(shù)學(xué)可視化的演示去驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論,就是讓學(xué)生借助幾何直觀的手段來(lái)理解、掌握抽象的知識(shí),從而理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué).

4.3 信息技術(shù)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的直觀教學(xué)開(kāi)辟新天地

幾何直觀以圖形為載體,通過(guò)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變換進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象.幾何畫(huà)板具有豐富的圖像功能,能畫(huà)出初中階段的所有函數(shù)圖像,通過(guò)參數(shù)數(shù)值的變化,可動(dòng)態(tài)展現(xiàn)函數(shù)圖像的變化,讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形的變化與參數(shù)值的變化關(guān)系,直觀地掌握函數(shù)的圖象變化規(guī)律及其性質(zhì);進(jìn)行幾何的動(dòng)態(tài)演示,使得直觀材料更加的生動(dòng)、形象、準(zhǔn)確,增加了學(xué)生對(duì)具體圖形的直觀形象的體驗(yàn),使教學(xué)的問(wèn)題變得更加形象,更加簡(jiǎn)明,更加容易;幾何畫(huà)板融入了測(cè)量、運(yùn)算等功能,使得教師不僅可以進(jìn)行直觀地展示圖片,還可以進(jìn)行定理、公理的直觀探究驗(yàn)證.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要途徑,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為數(shù)學(xué)教學(xué)提供直觀的展示,使抽象的數(shù)學(xué)直觀化、具體化,讓靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的過(guò)程,為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供直觀的材料,讓學(xué)生對(duì)原本抽象、難以理解的數(shù)學(xué)知識(shí)有了較為深刻的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓數(shù)學(xué)更直觀、更易于理解,我們要重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究,發(fā)展學(xué)生幾何直觀.