中考數學文化試題探究

江蘇省常州市實驗初級中學(213000) 王成良

在2019年各地中考中,出現了一些滲透中國古代數學文化的試題,令人耳目一新,回味無窮.這不僅有利于培養學生數學素養和愛國情懷,也為今后在數學教學中注重人文素養、愛國情懷的有效滲透指明了方向.現從古代數的計算、函數與方程、幾何與圖形、統計與概率、綜合與實踐等五個方面選取部分試題,與讀者共同品味其中的數學文化.

1 古代數的計算

例1 (江西)我國古代數學名著《孫子算經》有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.見方求斜,七之,五而一”譯文為:如果正方形的邊長為五,則它的對角線長為七.已知正方形的邊長,求對角線長,則先將邊長乘以七再除以五.若正方形的邊長為1,由勾股定理得對角線長為√依據《孫子算經》的方法,則它的對角線的長是____.

分析: 根據勾股定理的方法,求邊長為1 的正方形的對角線長, 我們都能求出為本題要求的是根據《孫子算經》的方法,即先將邊長乘以七再除以五.

解1×7÷5=1.4

注:《孫子算經》是中國古代重要的數學著作.成書大約在四、五世紀,作者生平和編寫年不詳.傳本的《孫子算經》共三卷.卷上敘述算籌記數的縱橫相間制度和籌算乘除法,卷中舉例說明籌算分數算法和籌算開平方法.卷下第31 題,可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖,后來傳到日本,變成“鶴龜算”.

例2(浙江紹興)我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方: 將1 ～9 這九個數字填入3×3 的方格內,使三行、三列、兩對角線上的三個數之和都相等.如圖1 的幻方中,字母m所表示的數是____.

分析: 先求出幻方中所有九個數的和, 再求出每行、每列、每條對角線上的三個數之和就容易解決問題了.

解1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,根據“每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等”,可知三行、三列、兩對角線上的三個數之和都等于45÷3=15,∴第一列第三個數為: 15?2?5=8,∴m=15?8?3=4,故答案為: 4

注:《洛書》古稱龜書,是陰陽五行術數之源.其甲殼上有此圖象,結構是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數,四隅黑點為陰數.關于洛書的來源,《周易?系辭》上載:“河出圖,洛出書,圣人則之.”又相傳為大禹治水時發現,三階幻方又稱九宮圖,顯出了數學的其妙性.

圖1

圖2

2 函數與方程

例3(湖北武漢)如圖2,“漏壺”是一種古代計時器,在它內部盛一定量的水,不考慮水量變化對壓力的影響,水從壺底小孔均勻漏出,壺內壁有刻度.人們根據壺中水面的位置計算時間,用x表示漏水時間,y表示壺底到水面的高度,下列圖象適合表示y與x的對應關系的是( )

分析: 關鍵是判斷出y與x是什么函數.

解∵不考慮水量變化對壓力的影響,“漏壺”是圓柱體,水從壺底小孔均勻漏出,∴y隨x的增大而減小,符合一次函數圖象,故選A.

注:“漏壺”在鐘表未發明之前,這些就成為日常生活所不可缺少的計時之器,作為一種古代計時器,與古代人們生活息息相關,這里竟包含函數的思想.

例4(四川綿陽)公元三世紀, 我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”如圖3 所示,它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是125,小正方形面積是25,則(sinθ ?cosθ)2等于( )

圖3

分析: 先根據題意分別求出大、小正方形的邊長,再找出直角三角形中它們與的三角函數值得關系.

解: ∵大正方形的面積是125,小正方形面積是25,∴大正方形的邊長為小正方形的邊長為5,= 5, ∴cosθ ?sinθ=∴(cosθ ?sinθ)2=故選A.

注: 本題根據三角函數函數與方程的思想解決問題,中國關于勾股定理的內容最早就出現在《周髀算經》中,顯出了古代人民的智慧,“趙爽弦圖”尤有經典,曾作為2002年在北京舉辦的國際數學家大會的會標.

例5(山東濟寧) 世界文化遺產“三孔”景區已經完成5G 基站布設,“孔夫子家”自此有了5G 網絡.5G 網絡峰值速率為4G 網絡峰值速率的10 倍,在峰值速率下傳輸500 兆數據,5G 網絡比4G 網絡快45 秒,求這兩種網絡的峰值速率.設4G 網絡的峰值速率為每秒傳輸x兆數據,依題意,可列方程是( )

分析: 根據5G 網絡比4G 網絡快45 秒列出分式方程即可.

解設4G 網絡的峰值速率為每秒傳輸x兆數據,則5G網絡峰值速率為每秒傳輸10x兆數據,傳輸500 兆數據,4G網絡所用的時間為,5G 網絡所用的時間,為可列方程是:=45,故選A.

注:“三孔”景區作為世界文化遺產,已成為著名的旅游景區,再加上新興的5G 網絡,給大家帶來了期待,以二者相結合為文化背景編制的分式方程數學題目給同學們帶來極大的興趣.

3 幾何與圖形

例6(四川達州)剪紙是我國傳統的民間藝術,下列剪紙作品中,是軸對稱圖形的是

分析: 弄清軸對稱圖形的概念是一個圖形沿著一條直線折疊,兩旁的圖形能完全重合.

解蝴蝶是軸對稱圖形,故選D.

注: 剪紙是我國傳統的民間藝術,深得人們喜愛,所剪成的圖案形象鮮明生動,有的就是軸對稱圖形,有的則是中心對稱圖形,顯示了數學的美感.

例7(臺灣)如圖4,直角三角形ABC的內切圓分別與AB、BC相切于D點、E點,根據圖中標示的長度與角度,求AD的長度為何? ( )

分析: 題目出現了直角三角形及其內切圓,可運用切線性質及勾股定理列方程求解.

解設AD=x,根據切線長定理可得BD=BE= 1,AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,在Rt?ABC中,根據勾股定理得(x+1)2+52=(x+4)2,即x2+2x+1+25=x2+8x+16,?6x=?10,x=所以AD的長度為故選D.

注: 勾股容圓,中國古典幾何問題,即闡述直角三角形中內切圓問題.此類問題最早見于《九章算術》“勾股”章第16題“今有勾八步,股十五步.問勾中容圓,徑幾何? ”現在可將問題進行變式,培養學生的思維能力.

圖4

圖5

4 概率與統計

例8(甘肅天水)如圖5,正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖,現隨機向正方形內擲一枚小針,則針尖落在黑色區域內的概率為( )

分析: 觀察可知,黑色圖形的面積恰為圓的面積的一半,而圓的直徑和正方形的邊長相等.所以可以找出圓和正方形面積的關系即可.

解設圓的半徑為a,則正方形ABCD的邊長為2a,針尖落在黑色區域內的概率為故選C.

注: 本題考查的是概率問題,太極是中國傳統文化,構圖美觀,在中、高考均有涉及.比如2017年高考全國Ⅰ卷理科第2 題、文科第4 題是這個題目,考查了學生關于概率的基礎知識,又弘揚了傳統文化.

例9(揚州)只有1 和它本身兩個因數且大于1 的正整數叫做素數.我國數學家陳景潤哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2 的偶數都表示為兩個素數的和”.如20=3+17.

(1)從7、11、19、23 這4 個素數中隨機抽取一個,則抽到的數是7 的概率是____;

(2)從7、11、19、23 這4 個素數中隨機抽取1 個數,再從余下的3 個數中隨機抽取1 個數,用畫樹狀圖或列表的方法,求抽到的兩個素數之和等于30 的概率.

分析: 本題為概率與統計相關內容的經典題目,第(1)、(2)題分別是隨機抽取一次和兩次,求相關問題的概率.

解(1)在四個數中,7 是其中一個,抽到的數是7 的概率是

(2)根據題意得,因為12 種結果的出現是等可能的,∴抽到兩個素數之和等于30 的概率是4÷12=

注: 第(2)小題雖然是求概率問題,但在解題過程中也用到了統計的知識,本題的背景是源于哥德巴赫猜想,我國數學家陳景潤在自己不懈努力下,取得領先的成果,激勵了中國一代又一代人勇攀科學的高峰.

5 綜合與實踐

例10(江蘇蘇州)“七巧板”是我們祖先的一項卓越創造, 可以拼出許多有趣的圖形, 被譽為“東方魔板”, 圖6 是由邊長10cm 的正方形薄板分成7 塊制作成的“七巧板”,圖7 是用該“七巧板”拼成的一個“家”的圖形,該“七巧板”中7塊圖形之一的正方形邊長為____cm(結果保留根號)

圖6

圖7

分析: 求關鍵是先找出所求的正方形面積與大正方形面積的關系,求出其面積,進而求出其邊長.

解大正方形的面積為10×10 = 100(cm2),所求正方形的面積為大正方形面積的所以邊長為(cm),故答案為

注: 七巧板是我國古代的發明,由7 塊基本圖形包括5個等腰直角三角形、1 個正方形、1 個平行四邊形組成,彼此的邊角也有一定的關系,能拼成豐富多樣的圖案,鍛煉我們的思維能力及動手操作能力.

從以上例題中,我們可以看出有些數學中考試題蘊含著豐富的數學文化,能使學生開闊視野,擴大知識面,感受文化的熏陶,培養學生的愛國情懷,鍛煉數學思維能力,領略其中的數學探究精神,極大培養學生的興趣.在以后的教學中,帶領學生一起去品鑒文化試題,欣賞數學的美,不斷提高數學文化素養.