極值點偏移問題及其變式的研究*

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 殷大僑

1 極值點偏移問題

在高中數學教學中,我們常遇到極值點偏移問題,那么什么是極值點偏移問題呢? 我們用一個具體的例子說明.

例題已知函數f(x) =(e 為自然對數的底數), 若方程f(x) =a有兩個不等實根x1,x2(x1< x2), 求證:x1+x2>2.

我們先研究函數f(x) =的圖象, 因為f′(x) =所以當x<1 時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當x>1時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.用幾何畫板畫出f(x)的圖象如下(圖1):

圖1 函數圖象

其中虛線y=a與實線f(x) =相交于兩點,橫坐標分別為x1,x2(x1

從圖中可以看出,函數f(x)在直線x= 1 的左邊增長較快,右邊下降較慢,形成極值點x=x0向x=x1偏移的現象,即極值點左移;如果將函數圖象沿著直線x= 1 對折,不難看出極值點x=x0向x=x2偏移,即極值點右移,我們把這兩種現象統稱極值點偏移現象,把比較(x1+x2)與極值點x0的大小,叫做極值點偏移問題.

2 極值點偏移問題的兩種常規解法

2.1 構造函數法

構造函數分兩步: 第一步,先用函數的單調性的定義,將證明x1+x2>2 轉換為證明對應函數值的大小.過程如下:要證x1+x2>2,需證x1>2?x2,由函數f(x)的單調性知x1<1f(2?x2).

第二步, 構造函數.∵f(x1) =f(x2), ∴只需證f(x2)>f(2?x2),構造函數g(x)=f(x)?f(2?x)(x≥1),則g(x) =(x≥1),g′(x) = (1?x)·∵x>1,∴g′(x)>0,g(x)單調遞增,∵g(1)=0,∴g(x)>0在(1,+∞)上成立,即f(x)?f(2?x)>0,∴原命題得證.

特別說明, 這里構造的函數實際上是將f(x) 在直線x= 1 的左邊部分沿著該直線翻折過去,得到y=f(2?x),再與f(x)做比較,從而證明第一步結論.

2.2 構造齊次式,換元

兩式相減得:

上述方法的核心是構造“齊次式”,將兩個變量x1,x2整體用一個新變量替換,變為單變量問題求解.

3 極值點偏移問題的幾種變式

3.1 變式一: 變換函數

題目條件不變,求證:x1+x2

結論的結構相似,但右邊不再是2 倍的f(x)的極值點,那么我們要尋求一個新函數,使得它的極值點是?lna.

∵f(x) =a,∴aex ?x= 0,考察函數g(x) =aex ?x,∵g′(x) =aex ?1, 當a≤0 時,g′(x)<0, ∴g(x)單調遞減,不可能有兩個零點,舍去.當a >0 時,令g′(x) = 0,得x=?lna,當x < ?lna時,g′(x)<0 ∴g(x)單調遞減;當x>?lna時,g′(x)>0 ∴g(x)單調遞增,∴x=?lna為函數g(x)的極值點,且g(?lna)<0,即0

接下來的做法可以參考“構造函數法”或“構造齊次式,換元”,這里不再贅述.

3.2 變式二: 換元

題目條件不變,求證: ex1+ex2>2e.

結論的結構相似,但左邊不再是x1+x2,這時可以通過換元變換成x1+x2的形式.

令t1= ex1,t2= ex2, 則問題變為求證:t1+t2

3.3 變式三: 直接引入新變量

題目條件不變,求證: 3x1+x2>3.

令x2=tx1,t >1(因為0< a <所以x1=aex1>0,x2=aex2>0,故t>1),∵即∴etx1=tex1,兩邊取對數,得:tx1=lnt+x1,∴x1=要證3x1+x2>3,只需證: (t+3)lnt >3(t ?1),設g(t) =(t+3)lnt?3(t?1)(t>1),g′(t)=當0< t <3 時,g′′(t)<0,g′(t) 單調遞減; 當t >3 時,g′′(t)>0,g′(t)單調遞增, ∴g′(t) ≥g′(3) = ln 3?1>0,∴g(t)單調遞增,∴g(t)>g(1)=0,得證.

4 推廣價值

上述解法分別從構造函數、多元變量變換成單元變量等角度,解決極值點偏移問題及其變式,具有很強的推廣價值.比如, 可以用引入新變量的方法證明x1+x2>2, ∵x1=故只需證明方法同上.