關于酒和水的數學問題新探

浙江省溫州市鹿城區錦繡路58 號(325000) 柯成森

有這樣一個關于酒和水的古老的問題: 木桶里裝著1 加侖水,葫蘆里裝著1 加侖酒.從葫蘆里取1 品脫酒倒入木桶里,攪勻,然后從木桶里取1 品脫混合物倒入葫蘆里.做了這些之后,問: 葫蘆里的水多還是木桶里的酒多?

分析1我們知道,原先木桶里的水和葫蘆里的酒是一樣多的,最后木桶和葫蘆里盛的液體還是一樣多,說明木桶里的一部分水被葫蘆里的一部分酒代替了,顯而易見,葫蘆里的水和木桶里的酒是一樣多的.接下去我們定量計算一下,因為1 加侖=8 品脫,所以從葫蘆里取1 品脫酒倒入水里后,木桶里酒的濃度p= 1/9(這里濃度指該液體和混合液體積比,下同)從木桶里取1 品脫混合物倒入葫蘆里后,葫蘆里水的濃度p′= (1?1/9)?(1/8) = 1/9.p=p′,因此木桶里酒和葫蘆里水濃度相等, 都等于1/9(即11.11%), 且它們的量都是1/9 加侖.

分析2我們把上述問題里的1 品脫換成a加侖,(a<1,為敘述方便, 單位還是用了加侖, 實際就是所取酒的量與原來葫蘆里總酒量之比為a) , 這樣從葫蘆里取a加侖酒倒入木桶里后, 木桶里酒的濃度p=攪勻, 再從木桶里取a加侖混合物倒入葫蘆里, 則葫蘆里水的濃度說明木桶里酒的濃度和葫蘆里水的濃度相等,又由于置換之后木桶和葫蘆里液體量相等,因此它們的量也相等.(注:p——代表木桶里酒的濃度;p′——代表葫蘆里水的濃度,以下將用下標代表第幾次置換動作)

分析3在第一次置換的基礎上, 我們再從葫蘆里取a加侖酒倒入木桶里,攪勻,然后從木桶里取a加侖混合物倒入葫蘆里,這時葫蘆里的水多還是木桶里的酒多? 木桶里酒的濃度葫蘆里水的濃度可見第二次置換后說明第二次置換后,木桶里酒的濃度和葫蘆里水的濃度還是相等,當然,它們的量也相等.

再重復上述動作, 我們不難得到第三次置換后的結果:木桶里酒的濃度葫蘆里水的濃度可見第三次置換后

重復下去,我們得到的結果:

…………

這些數值表達式是很有規律的,不難發現分子與(a+1)n二項式展開式有密切關聯! 列表對照如下:

原來等式中的分子是分母二項式展開式的奇數項或偶數項之和,當次數為奇數時,為奇數項之和,當次數為偶數項時,為偶數項之和.

寫成通式:pn=或寫作:n為奇數時,

n為偶數時,

分析4關于上式的證明(數學歸納法): 上面已經證明,n= 1 時,,n= 2 時,

假定n為奇數時,

將等式1 代入上式,得到

上式與n為偶數次時pn+1表達式相符(因為又置換了一次),證明等式成立.同理,以n為偶數次時pn表達式代入等式3,可以得到n為奇數次時pn+1表達式,且與等式1 相符.

分析5通過觀察,以上通項公式也可寫成:

上式可以通過數學歸納法方便地證明(證明從略).

且易知:當n →∞時,由此可知,重復無數次置換操作之后,木桶里、葫蘆里的酒、水濃度將趨近一樣,都是50%,也就是最后兩個容器里的溶液將變成一樣.

分析6現在我們變一下題目: 木桶里裝1 加侖水,但含有少許酒,假設酒的濃度為x,葫蘆里裝1 加侖酒,但含有少許水,假設水的濃度為y,每次從葫蘆里取a加侖液體倒入木桶里,攪勻,再取a加侖液體倒回葫蘆,這樣經過n次置換后,問: 木桶里酒的濃度和葫蘆里水的濃度各是多少?

第1 次, 木桶里酒的濃度p11==葫蘆里水的濃度p12= [(1?p11)a+y(1?

第2 次,木桶里酒的濃度p21= [p11+(1?p12)a]/(1+葫蘆里水的濃度p22= [(1?p21)a+p12(1?a)]/1=

[附注:p21,p22也可以通過p21(x,y)和p22(x,y)的復合函數求得,方法略]

第3 次,木桶里酒的濃度p31=[p21+(1?p22)a]/(1+a)葫蘆里水的濃度p32=[(1?p31)a+p22(1?a)]/1=

第4 次,木桶里酒的濃度p41=[p31+(1?p32)a]/(1+a)葫蘆里水的濃度p42= [(1?p41)a+p32(1?a)]/1 =

……

結論: 當n為奇數時,

當n為偶數時,

結合“分析5”,通過觀察,pn1表達式前半部分即等式4,后半部分可寫成:故pn1=即pn1=同理pn2=

(pn1為置換n次后木桶里酒的濃度,pn2為置換n次后葫蘆里水的濃度)