基于高考數學試題情境創設的主題教學思考

廣西壯族自治區桂林市首附實驗中學(541199) 韋 剛

高考數學學科內容改革的路徑主要有功能定位、考查內容、考查要求、考查載體四個方面.試題情境是實現考查內容和考查要求的載體, 情境化試題是指提供一定的情境材料,要求學生在充分理解材料的基礎上, 尋求解決問題的途徑.通過情境化試題能深刻反映學生分析問題、解決問題的能力.

1 高考數學試題情境的創設

1.1 課程學習情境的創設

課程學習情境主要指向數學概念建構、數學原理習得、數學運算學習、數學推理學習,注重高考評價體系中的基礎性.主要考查學生對數學概念的理解,數學原理的掌握和基本的數學推理能力.

例1(2020 高考全國Ⅲ卷理科數學第3 題) 在一組樣本數據中, 1, 2, 3, 4 出現的頻率分別為P1,P2,P3,P4, 且則下面四種情形中,對應樣本的標準差最大的一組是

A.P1=P4=0.1,P2=P3=0.4

B.P1=P4=0.4,P2=P3=0.1

C.P1=P4=0.2,P2=P3=0.3

D.P1=P4=0.3,P2=P3=0.2

本題考查統計中描述數據特征信息的數字特征之一: 標準差.考查學生對統計基本概念的理解程度.學生只要對標準差的概念的建構沒有問題,較好理解標準差的概念,理解標準差是反映一組數據離散程度最常用的一種量化形式,此題不需要計算便可以較快得到答案.本題亦可通過嚴格的計算得到答案.

課程學習情境的創設, 其材料主要源于課程學習.在2020年高考數學(理科) 全國Ⅲ卷中此類題目占比超過60%,主要是檢驗學生學習的基礎,考查理性思維、邏輯推理等學科素養以及統計中的樣本、頻率、標準差等必備知識.

1.2 探索創新情境的創設

探索創新情境包括推演數學命題、數學探究、數據分析、數學實驗等.探索創新情境選取的材料依然源于課程學習,但是要找到問題情境與課程學習材料的聯系有一定的難度,需要學生有較好的運用所學知識分析問題和解決問題的能力.重點考查學生邏輯推理、數學應用、數學探索的學科素養,要求學生從材料出發,聯系所學知識,對材料問題進行轉化,創造性運用所學知識解決問題.此類問題在高考評價體系中主要指向關鍵能力的考查,充分體現了考查的綜合性和創新性.

例2(2019年高考北京卷理科數學)數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線, 曲線C:x2+y2= 1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結論:

①曲線C恰好經過6 個整點(即橫、縱坐標均為整數的點);

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過√

③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3.

其中,所有正確結論的序號是

A.① B.② C.①② D.①②③

本題考查知識源于解析幾何及不等式與不等關系,從數的角度分析,由x2+y2=1+|x|y聯想到方程,而命題①正好可看成方程的解的問題,進而與二次方程進行聯系,轉化為關于y的方程y2?|x|y+x2?1=0 的解的問題,由圖可知,判別式?≥0;解得x2≤從而可得,曲線C恰好經過(0,±1),(±1,0),(±1,1)6 個整點.在解決命題②時,因為題目設計不等關系,則需要把x2+y2= 1+|x|y這個等量關系變為不等關系,此時需要借助于不等式中的基本不等式課程學習知識,通過計算得到x2+y2≤2.命題3○則從圖形面積的角度出發,將不規則圖形轉化為規則的可求面積的圖形,運用轉化的思想方法尋求問題的解決途徑.

探索創新情境的創設突出對關鍵能力的考查,可以較好區分學生探究能力、數學學習能力及有效認識問題、分析問題、解決問題的能力,具有較好的選拔功能.同時促進學生從整體上建構知識框架,形成合理的認知結構.

1.3 生活實踐情境的創設

生活情境的創設包括模型識別情境的創設、現象解釋情境的創設和決策提供情境的創設.這些情境的材料源于社會生活中的實際問題,問題情境不一定直接呈現數學條件、數學方法、數學模型,而需要學生聯系自己的課程學習,掌握一定的數學知識和數學方法,對材料問題進行數學抽象,獲取相關信息,建構相應數學模型,根據數學模型進行數學運算,通過數據幫助進行決策判斷.

例3(2020 高考全國Ⅲ卷理科數學第18 題)某學生興趣小組隨機調查了某市100 天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次,整理數據得到下表(單位: 天):

空氣質量等級鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]1(優)2 16 25 2(良)5 10 12 3(輕度污染)6 7 8 4(中度污染)7 2 0

(1)分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4 的概率;

(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表);

(3)若某天的空氣質量等級為1 或2,則稱這天“空氣質量好”;若某天的空氣質量等級為3 或4,則稱這天“空氣質量不好”.根據所給數據,完成下面的2×2 列聯表,并根據列聯表,判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關?

人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好

本題通過某學生信息小組的調查,呈現調查結果,學生需通過調查結果估計該市一天的空氣質量的等級的分布情況并求出鍛煉人次的估計值.材料所隱含的知識圖表認識、概率計算與數據統計,源于課程學習知識,考查學生運用課程學習知識分析問題解決問題的能力.同時在第(3)問中,學生需要根據問題情境,進行數據的重新梳理,并運用獨立性檢驗知識,對兩個變量的相關性進行判斷.實際生活情境的創設,建立可與其他學科和社會實踐的關聯,拓展了數學應用的渠道,考查學生數學應用素養、理性思維素養、數學探索素養.

2 試題情境作為考查載體凸顯主題教學的必要性

《普通高中數學課程標準(2017年版)》依據數學學科特點,關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯,重視數學實踐和數學文化.為了更好落實學科素養與核心素養,必修課程分為預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模與活動探究活動五個主題,并將數學文化融入課程內容.

高考評價體系下高考數學試題情境作為考查的載體,試題情境的創設使得試題的立意、背景、設問、形式和內容都有了不同程度的創新.基于高考數學試題情境創設,為了更好培養學生的學科素養,高中數學課堂教學應該開展基于課程標準的主題教學,系統整合教學內容,把握主題知識的內在聯系,學習過程中讓學生充分經歷知識的形成過程,順應學科考查要求,關注學生未來工作、學習必備的知識基礎和學科主干內容,在教學中注重核心概念的背景,以及基于生活實例的數學抽象,注重對概念數學本質的理解.

3 主題教學中教師應該關注的問題

課程學習情境例1 及生活實踐情境例3 對應的是課標中主題四——概率與統計,課標要求在概率單元學習中幫助學生結合具體實例,理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件,會計算古典概型中簡單隨機事件的概率等.要較好解決例1和例3, 在統計教學中, 教師應引導學生根據實際問題的需求,選擇抽樣方法,理解數據蘊含的信息;通過典型案例利用數字特征(平均值、方差、標準差等)和數據直觀圖表(直方圖、散點圖)等進行數據分析.讓學生經歷較為系統的數據處理全過程,在實際問題解決中習得數據分析的方法,理解核心概念,理解數據分析的思路,從而形成運用所學知識和方法解決實際問題的能力.

探索創新情境例2 對應的是主題二——幾何與代數,該主題研究的對象是幾何圖形,所用的研究方法主要是代數方法,應注重引導學生根據問題情境特點,根據幾何問題和圖形特點,用代數語言把幾何問題轉化為代數問題,探索問題解決的思路.運用代數方法得到的結論,解釋和解決幾何問題.

主題教學要做好主題內容確定,分析教學要素,編制主題教學目標,設計主題教學流程,評價、反思及修改.在教學設計中應注意數學學科素養的落實,數學教學中要關注數學本質,數學文化、數學思想,同一主題不同內容間的聯系,根據學情適當處理教材,用好教材,教學設計要關注問題情境的創設,培養學生在課程學習中運用數學知識、科學方法分析問題,解決問題的能力.

4 結語

課程學習情境、探索創新情境、生活實踐情境在高考數學中發揮著不同的作用,教學中要基于課程標準,結合不同情境在高考試題中的具體創設、呈現特點,基于《數學課程標準》的核心素養、高考數學學科素養及高考評價體系的學科素養,有效開展主題教學.通過課堂教學改革積極回應高考評價體系倡導的“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的評價理念.