說題比賽 比拼素養
——數學教師說題比賽觀摩實錄與思考

廣東省佛山市順德區第一中學高中部(528300) 楊志龍

1 比賽簡介

2019年11月21日至24日,由廣東省教育研究院等單位承辦的第二屆廣東省青年教師教學能力大賽高中數學決賽在廣東省佛山市順德區舉辦,由順德一中提供會場.共有來自廣東省各地市級的22 名青年優秀教師參加決賽.比賽分說題和上課兩個環節.其中說題環節,采取封閉式的考試流程.每位選手抽簽后,經歷候考、解題考試(30 分鐘)、說題準備(15 分鐘)、說題(10 分鐘)+答辯(5 分鐘)四個環節.所有的選手說的是同一個題目,其中說題與答辯環節允許部分場外觀眾觀摩.作為一名一線教師,筆者有幸全程觀摩了22位選手的說題與答辯.欣賞到很多選手卓越表現的同時,也感受到不少選手的遺憾與失落.所謂“臺上三分鐘,臺下十年功”,高強度比賽下的說題非常體現一位教師的基本功、解題能力及相應數學專業素養.

文獻研究中,文[1]中提及說題若以說題基本流程為明線,以核心素養的落實為暗線,則能為沒有基本模式的說題添上“思維的隱形翅膀”[1].文[1]中還設計了一套以六個核心素養為脈絡的說題設計模板.

本文嘗試從本次比賽中22 位選手的差異性研究入手,與各位同行探討好的說題設計應該具備的特征, 既作為文[1]研究的后續,也希望對以后參賽的青年教師有所幫助.

2 試題呈現

(第二屆廣東省青年教師教學能力大賽高中數學決賽)

已知圓T過定點Q(p,0)(p >0), 圓心T在拋物線C:y2=2px上運動,GH為圓T在y軸上截得的弦.

(Ⅰ)當T運動時,|GH|是否有變化? 并證明你的結論;

(Ⅱ)當p= 1 時,過點O(0,0)且斜率存在的直線l與拋物線交于O,A兩點,動點E滿足(λ>1),當λ依次取a,時,得到動點E所在曲線為Ci(i= 1,2,3,4,5),且直線l的點B(異于點O)在曲線C1上.

求證: ①求證: 若直線l上的點M在曲線C2上, 則|OA|,|OM|,|OB|成等差數列.

②若直線l上的點M在曲線Ci(i= 3,4,5)上時,提出與①類似的命題.(不必證明)

表1 2019年廣東省高中數學說題評分標準[2]

3 試題分析與選手的差異性研究

3.1 試題分析

本題是一個與代數結合的解析幾何綜合題,難度略高于高考題.第(Ⅰ)問考查拋物線與圓的標準方程,解析幾何中的定值問題等;第(Ⅱ)問考查相關點法求軌跡方程,弦長問題,等差、等比數列,各類均值等.運用了數形結合,轉化與化歸等數學思想.

3.2 選手的差異性研究

表2 選手答題情況統計表(觀摩實錄統計)

為了表述的方便,筆者將試題按要求的難度分成了A、B、C、D 四個層次,其中第(Ⅰ)問為A 層次,第(Ⅱ)問的第①問為B 層次,第(Ⅱ)問的第②問為C 層次,數學文化和數學思想方法等層面進行拓展的為D 層次.根據現場來看，在A層次的問題中, 19 位教師基本答對或完全答對, 通過率達86.4%,只有3 位教師答錯或未答.在B 層次的問題中,18 名教師基本答對或完全答對,通過率達81.8%,有4 位教師答錯或未答,但完全答對的人數減少了.在C 層次的問題中,由于難度增大,12 人答錯或未答,10 人基本答對或完全答對,通過率為45.5%.在D 層次的問題中,17 人答錯或未答,5 人基本答對或完全答對,通過率為22.7%.

3.3 試題對教師基本功的要求及數學核心素養的體現

表3 試題對選手基本功要求及學科素養的體現分析

3.4 說題比賽中選手的閃光點與不足

表4 選手答題情況一覽表(觀摩實錄統計)

3.5 解法賞析

(Ⅰ)略

(Ⅱ)解法1 (設而不求,順勢而為)

①當p=1 時,拋物線的方程y2=2x.設直線y=kx與拋物線y2= 2x的交點為A(x1,y1), 設E(x,y).則由有,

設B(xB,yB),則有=a|OA|, 同理,∴2|OM|=|OA|+|OB|,即|OA|,|OM|,|OB|成等差數列.

(Ⅱ) ②由(Ⅱ) ①知C3:y2=同樣的,當點M位于C3時,|OM|=成等比數列.當點M位于C4時,|OM|=由成等差數列.或者稱|OM|為|OA|與|OB|的調和平均數.當點M位于C5時,|OM|=∴|OA|2,|OM|2,|OB|2成等差數列.或者稱|OM|為|OA|與|OB|的平方平均數.

解法2 (設而求之,化為斜率)

接(**) 將直線的方程y=kx(k >0) 代入y2=2x中得到將直線的y=kx(k >0) 代入y2=(1+a)x中得

解法3 (化斜為直,簡化運算)

接(*)

由于線段|OA|,|OM|,|OB|均為以坐標原點O為始點的線段,且均在一條直線上,故其長度的比可化歸為其橫坐標的絕對值的比.由題設可知,|xB|=a|xA|,所以|OB|=a|OA|,當點M在C2上時,|xM|=所以|OM|=∴2|OM|=|OA|+|OB|, 即|OA|,|OM|,|OB|成等差數列.同理, 當點M在Ci(i=3,4,5)上時,可得相應結論.

3.6 試題拓展

拓展1 對于平均數的本質的挖掘

調和平均數與平方平均數等代數均值的本質是換元以后的算術平均數.

已知x,y,z ∈R+,

力學性能要求：Rp0.2≥300MPa，Rm≥480MPa，A≥20%，AK V≥50J（20℃時）。超聲波無損檢測的檢驗等級按EN12680一級，質量等級按SN320第10部分進行驗收。

(i)z=成等差數列;

(ii)z=成等差數列;

拓展2 題目的條件的挖掘

聯想到由各種平均數而組成的不等式鏈條,從而可設計一些變式題.具體如下:

變式題1: 設點Mi(i= 2,3,4,5) 分別為直線與曲線Ci(i= 2,3,4,5)的交點,試判斷|OMi|(i= 2,3,4,5)的大小關系.

變式題2: 當λ=時,設點E的軌跡為C6,點M6為直線與C6的交點,試判斷|OM2|,|OM3|,|OM6|大小關系.

4 好的說題設計應具備的特征

在短短15 分鐘的時間里,如何能將一個題目說清楚? 如何通過自己的表達,吸引評委的眼球? 如何在簡短的表述中,呈現出一個數學教師的扎實的專業素質與能力?

筆者通過觀察比賽中脫穎而出的優秀選手所體現出來的共性,結合文獻研究,提出好的說題設計應具有以下六大特征.

4.1 模式性

說題設計可以按照一定模式來設計,如采用文[1]按照具體的說題流程為明線,以核心素養的落實為暗線的思路所提供的說題模式.又如喬治.波利亞在《怎樣解題》中所提到解題有弄清題意,擬定計劃,執行計劃,回顧(檢驗)反思四個步驟[4],我們也可以按照這四個步驟設計說題模式.這些都是較為常見而有效的設計模板.在具體的說題中,我們可以將要說的內容套用到模式中去.

4.2 針對性

模式是形式化的東西,就好像帽子,說的內容是具體化的東西,就好像腦袋.如果一個人戴著一個大大的帽子,卻只有一個小小的腦袋,就會顯得不自然.同樣如果說題的模板與說題的內容不匹配,聽眾聽起來會感到別扭、難受.

因此說題的內容必須針對本次比賽的試題來展開.要結合對本題的深入思考提出自己的見地.

說題者通常在不能完全解答試題的情況下,會出現內容空洞甚至離題的現象.筆者建議,就算是不能完全做出,就將自己所解決的步驟認真講好,不必講一些空泛的理論及不相關的數學結論.

4.3 準確性

要想把題說好,首先自己能夠把試題解出來.要做到審題準確,結論推理準確,數據計算準確.準確的解題,是說好題的必備條件.

4.4 教學性[2]

說題的對象在解題的比賽中通常是評委老師.但我們在設計時,可以將說題的對象假設為平時教學的學生,與評委老師一起進入教學的模擬環境.圍繞著試題的教學功能設計說題,分析學生可能出現的情況,既是一線教師最熟悉和最擅長的.基于教學性的視角,我們會更重視通性通法,注重解法是否實用,會思考解法的根源與本質.

4.5 技術性

現代技術的使用對于提高交互的效率是非常重要的.賽場中通常會提供實物投影,電子白板,下載了PPT 或幾何畫板軟件或GEOGEBRA 軟件的電腦等設備.如果時間允許,要合理的運用場館里所提供的這些設備,制作課件,讓自己的說題有一定的技術支持.

4.6 創新性

所謂創新性,就是在說題中能運用新的教育、教學理論,或發現試題本身的來源與數學本質,及在不同視角下提出一些新的解法、新的變式及拓展等.創新點并不一定很大,但要有特別之處.如本次比賽中的運算的“化斜為直”的運用,解題中合情推理的方法的使用,換元法及轉化與化歸思想方法的應用等,都能體現創新性.

作為一名一線教師,全程觀摩這項活動,筆者可謂受益匪淺,對于日后的教學、教研工作有了不少啟示.如要重視新課標的研究;要形成良好的解題習慣,所謂參考答案不唯一,數學需要你思考[5],平時的解題教學中,要形成不依賴答案,從試題中的背景、解法、變式、拓展等角度進行挖掘,深度思考的好習慣;考慮說題的形式可否遷移到課堂教學中去[6]等.