數(shù)學(xué)習(xí)題課中多角度思維教學(xué)探究

廣東省廣州市鐵一中學(xué)(510600) 于曉聞

教學(xué)中的多角度思維是指對試卷中的試題或教材中的部分內(nèi)容從不同角度進(jìn)行分析、綜合、歸納、比較的方法.這種方法的應(yīng)用既有助于學(xué)生對基本理論的深入理解,在頭腦中建立起立體的、較為豐滿的知識結(jié)構(gòu),又可促進(jìn)學(xué)生在課堂教學(xué)中的思維活動(dòng)由被動(dòng)變成主動(dòng), 在掌握知識的同時(shí),提高對題目和教學(xué)內(nèi)容的分析能力、綜合能力、養(yǎng)成多維思考、探索新路的思維習(xí)慣.

1 多角度思維培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

通過一題多解的訓(xùn)練,讓學(xué)生從多角度、多途徑尋求解決問題的方法,開拓解題思路,并從多種解法的對比中選最佳解法, 總結(jié)解題規(guī)律, 使分析問題、解決問題的能力提高,使思維的發(fā)散性增強(qiáng).

例1 (2012 江蘇高考試題)如圖1, 在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若的值是_____.

解析方法一: 利用向量坐標(biāo)表示.如圖2, 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(x,2).故

延長CD到G使得DG=FC, 即GF=DC,連接GE.在Rt?ADG中,AD= 2,DG=∴AG2=AD2+DG2= 22+在Rt?ABE中,AB=BE= 1,∴AE2=AB2+BE2=在Rt?ECG中,EC= 1,CG=?1,∴EG2=EC2+CG2= 12+= 10?∵矩形ABCD, ∴AB=DC且AB//CD, ∴AB=FG且AB//FG, ∴四邊形ABFG是平行四邊, ∴BF=AG且

通過此例可見,數(shù)量積的計(jì)算方法有三種.在平時(shí)的教學(xué)中,不但要教會(huì)學(xué)生常規(guī)解題的方法,還要注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容多選擇一些一題多解的試題,一題多解不僅能復(fù)習(xí)較多的知識,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且能培養(yǎng)學(xué)生從多角度地分析問題,得出多解的解題方法,更能活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,充分挖掘問題的本質(zhì),使學(xué)生的發(fā)散性思維得到提高.

2 多角度思維培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師在一道數(shù)學(xué)題中,從多角度、多方位向?qū)W生提出不同的數(shù)學(xué)問題,以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解.利用一題多變能夠培養(yǎng)學(xué)生融會(huì)貫通、舉一反三、觸類旁通的能力,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.下面以一道習(xí)題為例進(jìn)行說明.

例2(2013 全 國Ⅰ卷(理) 第20 題) 已 知 圓M:(x+1)2+y2= 1, 圓N: (x ?1)2+y2= 9, 動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)略.

解析如圖4, 設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r, 因?yàn)閯?dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切.所以即|PM|+|PN|=4>2.所以由橢圓定義可知圓心P的軌跡為橢圓(除左頂點(diǎn)).所以2a=4,所以a=2.因?yàn)閏=1.所以所以曲線C的方程為=1(x ?=?2).

變式1已知點(diǎn)M(?1,0),圓N:(x ?1)2+y2=9,動(dòng)圓P過點(diǎn)M且與圓N相切,則圓P的圓心軌跡為曲線C,求C的方程.

解析如圖5,設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)M且與圓N內(nèi)切.所以即|PM|+|PN|=3>2.所以由橢圓定義可知圓心P的軌跡為橢圓.所以2a= 3,所以因?yàn)閏= 1.所以b=所以曲線C的方程為

結(jié)論已知定圓N且半徑為R,定點(diǎn)M在圓N內(nèi)且不和圓心N重合,動(dòng)圓P過點(diǎn)M且與圓N相切,則圓P的圓心軌跡是: 以點(diǎn)M,N為焦點(diǎn),長軸長為R的橢圓.

變式2已知點(diǎn)M(?1,0),圓N:(x ?1)2+y2=9,點(diǎn)P是圓N上任意一點(diǎn),線段MP的垂直平分線l和半徑NP交于點(diǎn)Q(或點(diǎn)Q在線段NP上,且|MQ|=|QP|),則點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,求C的方程.

解析如圖6,設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,因?yàn)榫€段MP的垂直平分線l和半徑NP交于點(diǎn).所以|MQ|=|QP|,因?yàn)閨QP|=|NQ|+|QP|= 3,所以|MQ|+|NQ|= 3>2.所以由橢圓定義可知點(diǎn)Q的軌跡為橢圓.所以2a= 3, 所以因?yàn)閏= 1.所以b=所以曲線C的方程為

結(jié)論已知定圓N且半徑為R, 定點(diǎn)M在圓N內(nèi)且不和圓心N重合,點(diǎn)P是圓N上任意一點(diǎn),線段MP的垂直平分線l和半徑NP交于點(diǎn)Q(或點(diǎn)Q在線段NP上,且|MQ|=|QP|),則點(diǎn)Q軌跡是: 以點(diǎn)M,N為焦點(diǎn),長軸長為R的橢圓.

愛因斯坦說:“想象力比知識更重要, 因?yàn)橹R是有限的,而想象力概括著世界上的一切,推動(dòng)著進(jìn)步,并且是知識進(jìn)化的源泉.”要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,就必須拓寬學(xué)生的思維空間.思維空間的拓展就為學(xué)生的想象留下了思考的余地,為引導(dǎo)學(xué)生擺脫課本的束縛創(chuàng)造了條件.我們可以有目的進(jìn)行合理引導(dǎo)學(xué)生的想象,以激發(fā)學(xué)生的想象力.

3 多角度思維培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

所謂逆向思維,就是用反向探索的思維對現(xiàn)有的問題進(jìn)行逆向分析、比較、概括,并將之具體話的一種思維方式.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是當(dāng)我們正面思考遇到困難時(shí),我們要用運(yùn)逆向思維,這樣往往會(huì)是問題迎刃而解,達(dá)到事半功倍的效果.心理學(xué)研究表明,每一個(gè)思維過程都有一個(gè)與之相反的思維過程,在這個(gè)過程中存在正逆向思維之間的聯(lián)系,所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意利用多角度思維培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, 且a1=?1,an=SnSn?1(n≥2),求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

解析因?yàn)閍1= 2,an=SnSn?1(n≥ 2).所以Sn ?Sn?1=SnSn?1(n≥ 2), 因?yàn)镾n ?= 0, 所以=?1.所以數(shù)列是等差數(shù)列, 所以+ (n ?1)×(?1), 因 為a1=?1, 所以=?1 + (n ?1)×(?1) =?n.所以Sn=因?yàn)閍n=SnSn?1(n≥2),Sn=所以an=SnSn?1=當(dāng)n= 1 時(shí),a1?=?1,所以數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=

評注通過這道題訓(xùn)練時(shí), 我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本都掌握an=Sn ?Sn?1(n≥ 2) 這個(gè)知識點(diǎn), 但還是不知道怎么處理, 在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生都會(huì)這樣處理, 因?yàn)閍n=SnSn?1(n≥2), 所以an+1=Sn+1Sn(n≥1), 然后這兩個(gè)式子做差或做商來處理, 最后遇到障礙做不下去.當(dāng)正面利用公式思考問題遇到障礙時(shí),這時(shí)教師要啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生,讓他們從公式的逆向和變形來思考問題,這樣往往會(huì)使問題得到解決.

例4已知a>0,b>0,且a+b=1,求的最小值.

解析1因?yàn)閍>0,b>0 且a+b=1.所以當(dāng)時(shí), 因?yàn)閍 >0,b >0.所以a=?1,b=時(shí),2a+b的最小值為3+

解析2因?yàn)閍>0,b>0 且a+b=1.所以

當(dāng)b=時(shí), 因?yàn)閍 >0,b >0.所以a=?1,b=時(shí),2a+b的最小值為3+

評注通過這道題訓(xùn)練時(shí), 我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般會(huì)這樣處理.解法一: 用a表示b, 即b= 1?a代入中,即然后在處理; 解法二: 用兩次基本不等式, 即a+b= 1 ≥所以解法三: 設(shè)所以

總之,多角度思維它是沿著不同的方向去思考,重組眼前的信息和記憶系統(tǒng)中的信息,尋求思維的多向性,它避免了考慮問題的單一性,使思維不至僵化．在平時(shí)教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維,創(chuàng)新思維和逆向思維訓(xùn)練.