遵循認知規律 引入圖示教學
——基于核心素養的高考不等式證明題探析

江蘇省無錫市第一女子中學(214002) 惠 宇

當下教育改革不斷深入,數學學科對學生的評價不僅僅停留在知識層面,更指向學生的核心素養與數學能力.不等式證明作為高考熱門考點之一,要求學生在掌握基本方法的基礎上,綜合考察學生邏輯推理與數學運算、數學抽象與直觀想象等數學核心素養及分析問題、解決問題的能力.筆者在教學中發現,有一類結論雖不出現在考綱內,但常常作為高考題的命制背景出現在試題中,若運用合理,在處理一類不等式證明題中,對學生尋找證明思路、探明證明方向有很大啟示作用.

1 問題提出

2018年高考數學全國卷I 理科第21 題試題如下: 已知函數

(1) 討論f(x) 的單調性; (2) 若f(x) 存在兩個極值點x1,x2,證明

證: (1)略;(2)證法一: 同答案解析(略);

諸如此類不等關系,雖未直接出現在教材或考綱中,但也屢次登陸高考試題, 再如: 2018 全國卷1 理科第21 題、2014 陜西理科卷第21 題、2010 天津理科卷第21 題等.筆者在高二“直接證明”章節教學中結合圖示,引導學生對常用不等關系進行多種角度的探索,為學生主動學習、自主探究、深入思考埋下伏筆,起到了良好的教學效果.

那么, 高考不等式證明試題中常用到的不等關系有哪些? 如何教學能使學生既熟悉和應用這些公式,又不加重學生負擔? 在證明方法上是否具有可探求的共性規律?

2 問題研究

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確要求“注重提升學生數學學科核心素養”,六種數學核心素養既相互獨立,又相互交融,是一個有機的整體.不等式的證明不僅考察學生邏輯推理與數學運算能力,也引導學生可從數學抽象與幾何直觀的角度對證明思路進行指引與優化.筆者通過對高考試題的探究,歸納出以下幾類常用不等關系,通過將其與圖示(表1)相結合,實現形與數,數學直觀與數學抽象的融合發展.

表1 圖示與不等式的抽象關系(證明略)

數學抽象與直觀想象等核心素養是學生在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學學習是學生獨立探索、發現和解決問題的過程.利用圖示進行直觀教學可激發學生的認知沖突.這種“無聲證明”無疑比抽象的代數式子更具沖擊力.筆者在教學中并不直接呈現代數結論,而是啟發學生從圖形中主動抽象出數學問題,嘗試用數學語言進行推理論證,引導學生將結論進行遷移與應用.使學生在發現問題的過程中引發認知沖突,在提出問題的過程中培養數學表達,在解決問題的過程中提高邏輯推理能力和理性思維水平,不斷獲得成功的喜悅,樹立學生解決思維難題的信心.

3 典例評析

3.1 利用不等關系“ln x ≤x ?1”進行證明

例1(2016 數學山東卷理科第20 題) 已知f(x) =a(x ?lnx)+,a ∈R.

(1) 討論f(x) 的單調性; (2) 當a= 1 時, 證明f(x)>對于任意的x ∈[1,2]成立.

證(1)略;(2)設g(x)=f(x)?f′(x)?;當a=1 時,設則h′(x)=?由導數分析h(x)單調性可知:h(x)≥h(2)=0,兩次等號不同時成立,故g(x)=f(x)?f′(x)?>0;即f(x)>f′(x)+對于任意的x ∈[1,2]成立.

評析此題若直接對函數g(x)求導,證明g(x)>0 恒成立則較為復雜.由于所證函數是帶有lnx的超越函數,當解析式中帶有lnx這樣的項并且難以處理時,我們常可以聯系函數y= lnx的圖象,結合圖示①中抽象出的不等關系進行適當放縮,使解題思路得到提煉,解題過程得以簡化.

3.2 利用不等關系“ex ≥x+1”進行證明

例2(2014 數學全國卷1 理科第21 題) 設函數曲線y=f(x)在點(1,f(x))處的切線方程為y=e(x ?1)+2.

(1)求a,b;(2)證明:f(x)>1.

證(1)略;(2)由(1)知a=1,b=2,則f(x)=exlnx+又ex≥x+1, 則ex?1≥x, 故f(x)≥x(e lnx+)=exlnx+2;令h(x)=exlnx+2,由導數分析h(x)單調性可知:h(x) ≥= 1,兩次等號不同時成立;所以f(x)>1.

評析本題是一類含指數型函數的典型不等式證明問題,若直接對函數f(x)求導,后續運算極難處理.因此當所證不等式中含有ex這樣的項時,往往可聯系圖示②,先用不等關系ex≥x+1 或ex≥ex先進行放縮,為進一步證明探明方向.

3.3 利用不等關系“xa ≤x,α>1,x ∈[0,1]”進行證明

例3(2016 數學浙江卷文科第20 題) 設函數f(x) =

證明: (1)f(x)≥1?x+x2;

證(1)略;(2)由(1)知f(x)≥1?x+x2=(x ?兩次等號不同時成立, 故又x3≤x,x ∈[0,1], 則f(x) =x3+=x+1+當x= 1 時兩次等號同時成立;所以f(x)≤,即

評析由于本題中x的范圍為[0,1],因此可利用不等關系xa≤x,α >1,x ∈[0,1]對含x高次冪的項進行降冪處理.學生對此類不等關系應是有認知基礎的,其本質反映了冪指數大于1 的冪函數的圖象性質.此類不等式的證明不僅體現化高次為一次,化繁為簡的數學思想,更滲透了放縮、極限、等價無窮小等數學方法,是建立知識聯系、鏈接數學思維脈絡、實現素養能力發展的紐帶與橋梁.

3.4 利用不等關系“sin x ≤x,x ∈[0,+∞)”進行證明

例4(2018 南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市高三第二次調研測試第20 題)設函數f(x)=x ?asinx(a>0).

(1)若函數y=f(x)是R 上的單調增函數,求實數a的取值范圍;(2)設a=,g(x) =f(x)+blnx+1(b ∈R,b ?=0),g′(x)是g(x)的導函數.①若對任意的x >0,g′(x)>0,求證: 存在x0,使g(x0)<0; ②若g(x1)=g(x2)(x1?=x2),求證:x1x2<4b2.

證(1) 略; (2) ①略; ②由g(x1) =g(x2) 得:x1?+blnx1+ 1 =x2?+blnx2+ 1; 即?b(lnx2?lnx1) =x2?x1?(sinx2?sinx1); 由 于sinx < x,x ∈(0,+∞); 所以?b(lnx2?lnx1)> x2?(x2?x1); 不妨設0< x1< x2, 所以?2b >>0; 利用對數均值不等式(需先證明)可得:?2b>即x1x2<4b2.

評析指數函數、對數函數、三角函數、冪函數等出現在不等式的證明時,直接構造原函數,進行求導的方法往往并不方便.因此,我們可嘗試利用本文中提及的不等關系先進行放縮,將問題進行化簡與轉化.此題即利用sinx與x函數值之間的關系,通過放縮化解了直接求導帶來的難點,若學生能迅速在頭腦中聯系圖示④,即可簡化證明過程,使證明思路變得清晰和顯然.

需要指出的是, 導數是研究“形”所反映數量關系的基本方法之一.數缺形時少直觀的同時, 形少數時則難入微.在結合圖示運用這些不等關系時, 應先求導對所用不等式進行必要證明, 做到思路清晰又不缺直觀, 證法靈巧而不失嚴密.在這基礎上, 我們還可結合圖示進行無窮小量的分析與探究, 將數學知識引向深入, 將圖形語言引向深刻.例如: 聯系圖示①可得ln(1+x)～x,聯系圖示②可得ax ?1～xlna,聯系圖示3○可得(1+ax)b ?1～abx,聯系圖示④可得sinx ～x等,這既是數學知識的延續,又是學科思想的傳承,更是發現和提出問題的源泉,分析和解決問題的起點.

4 結語

章建躍先生指出:“我們要把如何抽象(數學對象),如何發現和提出(數學問題)作為教學的關鍵任務.”在不等式證明的教學中結合圖示進行教學,將抽象的數與直觀的形相結合,學生心底的好奇心和求知欲被點燃,這迫使他們主動提出和思考一系列反應本質的真正的數學問題,如: 圖示所反映的數學結論是什么,為什么有這樣的特征,結論如何證明,能否推廣,結論有哪些應用等等.學生在發現和提出問題、分析和解決問題的過程中完成對知識的建構,促使能力真正發展,實現素養真實落地.