論任意速度下導彈追擊軌道的求解與條件

高浩淵

（陜西科技大學，陜西 西安 710021）

0 研究背景和研究方法

目前，有關導彈追擊的研究包括多倍速導彈追擊軌道[1]和制導系統運用[2]。其中，僅通過解微分方程組來求解ESR 模型[2]存在方程難以求解或者出現無意義解的問題，也忽略了導彈速度小于目標速度時根本不能成功攔截的情況。該文通過構建ESR 模型中相同條件模型的理論，給出了在該模型中判定和求解任意速度下導彈追擊軌道方程和時間的可行方法。

該文所使用的研究方法包括近似建模和優化算法，這些也是在導彈總體設計優化過程中實現一體化優化的關鍵要素[3-8]。求解問題時運用求導鏈式法則、換元積分法、分離變量法和物理量綱分析；數值計算時運用MATLAB 求解高次方程和微分方程。該文研究的重點是基于優化方案合理地對現實問題進行抽象，建立近似模型，得到有速度參數的軌道方程，并給出對速度參數賦值計算軌道方程和打擊時間的方法，從而討論所需的條件。

ESR 模型：目標以恒定速率v在xy平面內沿y=xtanφ+b的直線飛行（φ 為目標運動方向與x軸方向的夾角；b為常數），當時間t=0 時，在（h′，0）點。導彈在t=0 時從原點出發，以恒定的速率V 運動，速度方向始終指向目標。求導彈的運動軌道和擊中目標的時間可以轉化為以下模型進行求解。

1 以垂直距離為導彈發射條件模型

1.1 無引力場的導彈追擊模型

當φ=π/2 時，目標以恒定速率v在xy平面內沿x=h向y正半軸方向直線飛行，當時間t=0 時，在（h，0）點。導彈在t=0 時從原點出發，以恒定的速率V運動，速度方向始終指向目標。根據以上初始條件便可以求出導彈的運動軌道和導彈擊中目標的時間。設t時刻導彈位于（x，y），此時目標位于（h，vt）點，如公式（1）、公式（2）所示。

用x對公式（2）的兩端求導得到公式（4）。

公式（7）為導彈的軌道方程。

當導彈擊中目標時，導彈與目標同時位于（h，vt）點，將y=vt、x=h代入公式（7）得到公式（8）。

公式（8）為導彈擊中目標的時間。

當V=nv（n為正整數）時[1]，化為多倍速導彈的追擊軌道方程和打擊時間，如公式（9）～公式（10）所示。

對公式（7）～公式（8）進行物理量綱分析發現，該模型中的導彈軌道方程和打擊時間函數在物理學條件下成立。根據公式（8）可以發現：當V＜0 時，t＜0，即導彈不能成功攔截或擊中目標。同理，當V=0（即導彈沒有發射）時，t=0，即意味只有目標經過原點時才能成功攔截目標；只有當V＞v時，導彈才能成功攔截或擊中目標。如果要使導彈在一定時間內能成功攔截或擊中目標，即有給定時間T，根據公式（8）可以得到公式（11）。

從公式（12）中可以發現，在不清楚敵方目標速度的情況下，己方的導彈速度自然是越高越有把握在一定時間內擊中目標。

1.2 有引力場的導彈追擊模型

目標以恒定的水平速率v在xy平面內向y軸正半軸方向飛行，受到沿x軸負半軸方向大小為g的重力加速度（進行平拋運動），當時間t=0 時，在（h，0）點。導彈在t=0 時從原點出發，在受到同樣的沿x軸負半軸方向大小為v的重力加速度的情況下，以初速率V運動，速度方向始終指向目標。根據以上初始條件便可以求出導彈的運動軌道和導彈擊中目標的時間。可以證明的是，如果目標與導彈位于相同的引力場下，導彈擊中目標的時間不變。

導彈擊中目標時的坐標和時間如公式（13）所示。

2 以圓形半徑為導彈發射條件模型

2.1 當cosφ＜0時，轉化成求解模型

2.1.1 導彈成功攔截目標

導彈成功攔截目標，即將y=r2h2--vt、x=h代入公式（18）得到公式（19）。

公式（19）為導彈擊中目標的時間。同理，對公式（19）進行物理量綱分析可以發現，該模型中的打擊時間函數也在物理學條件下成立。從中可以發現，只有當V和v滿足公式（20）的條件時，導彈才能夠成功攔截目標。

可以通過MATLAB 在給定數值的情況下進行判定（具體方法如程序1 所示）。用MATLAB 判定是否滿足不等式的程序1（在MATLAB 中輸入以下程序）。

＞＞ syms V v h r H#設置變量#

＞＞V=3，v=1，h=10，r=100；#給變量賦值，對其他數值的計算只需把相關數字代入即可#

ans =

1 #其中1 表示成立，0 表示不成立。#

程序1 的結果意味當V=3、v=1、h=10 且r=100 時，不等式成立，導彈在這種條件下能成功攔截目標。

2.1.2 導彈沒有擊中目標

對公式（21）進行物理量綱分析發現，該公式有時間的量綱，因此該公式在物理學條件下成立。從中可以發現，當V=0時，意味導彈在目標移動到與導彈的最短距離前沒有發射，即可轉化為以垂直距離為導彈發射條件的模型（h為導彈沿x軸正半軸方向與目標的距離），如公式（22）所示。

聯立公式（21）和公式（23）可得到關于H的方程。

詩人感慨現實中缺少后羿這樣的英雄。月亮既然已經淪沒而迷惑不清，還有什么可看的呢！可詩人心中的憂憤反而加深了，不忍一走了之，憂心如焚。

事實上，可以通過MATLAB 來求解H的值，因為該方程為高次方程，所以沒有通解，但可以通過給V和v賦值來進行數值計算，解出H的近似值（具體方法和計算如程序2 所示）。當H沒有非負實數解時，意味導彈成功攔截目標，從而轉化成2.1.1 節所述的方法來求解。如果H有非負實數解，則如公式（24）所示。

公式（24）為攔截所用的總時間。值得一提的是，如果要求在時間T內功成功攔截目標，那么在V＜v且V、v滿足公式（25）時得到關于最低成本的最優解。

用MATLAB 為H賦值并求解的程序2（在MATLAB 中輸入以下程序）。

-15.5367 + 2.1040i#可知此條件下H 無實數解，方程不成立，導彈攔截成功#

程序2 的結果意味當V=213.23、v=445.6、h=12 且r=57 時，方程解無實數，方程不成立，即H不存在，導彈在y=r2h2--vt之前就與目標相撞，只有當方程的解為非負實數時，得出的結果才為H的值。只需要再將數值代入公式（19）即可得到導彈擊中目標所用的時間。當解出的時間大于0 時，得出的結果為攔截所用的時間，否則意味導彈不能成功攔截目標。

2.2 當cos φ＞0時轉化成模型的求解

公式（31）為導彈擊中目標的時間。對公式（31）進行物理量綱分析可知，該模型在物理學條件下成立。從中可以發現，只有當V、v滿足公式（32）的條件時，導彈才能夠成功攔截目標。

可以在給定數值的情況下用計算機來進行判定（具體方法如程序3 所示）。

用MATLAB 判定是否滿足不等式的程序3（在MATLAB中輸入以下程序）。

＞＞ syms V v h r H#設置變量#

＞＞ V=3，v=1，h=10，r=100；#給變量賦值，對其他數值的計算只需把相關數字代入即可#

＞＞V*（（（r+（r^2-h^2）^（1/2））^2-h^2）*V+（（r+（r^2-h^2）^（1/2））^2+h^2）*v）/（（V^2-v^2）*（r+（r^2-h^2）^（1/2）））＞2*（r^2-h^2）^（1/2）

ans =

1 #其中1 表示成立，0 表示不成立。#

程序3 的結果意味當V=3、v=1、h=10 且r=100 時，不等式成立，導彈在這種條件下能夠成功攔截目標。只需要將相應的數值代入公式（31）就可以解得導彈成功攔截目標所用的時間。

3 結語

該文通過建立以垂直距離和圓形半徑為導彈發射條件的模型來解決在ESR 模型中任意速度下導彈追擊的軌道和時間問題，并對這些軌道方程和時間函數進行分析，得到了導彈成功攔截目標的必要條件和相關數值計算的方法。從工程技術的角度來看，這些模型中的導彈軌道公式過于理想，但是通過利用這種最優化方案可以從復雜的物理現象中合理地抽象出理想的數學模型，最終運用一系列計算手段和方法找到最優化解。該文所論述的模型的計算方法和條件對未來我國太空反導防御系統的設計具有一定的實際意義。