巧用軸對稱化曲為直求最值

朱季生

【摘要】兩線段和差的最值問題是困擾初中生的一類難題，利用軸對稱知識在不改變總長度的同時化曲為直巧妙的化難為易.

【關鍵詞】最值；軸對稱；化曲為直

新課改下的數學教學要求教師“要創造性地使用教材，積極開發、利用各種教育資源為學生提供豐富多彩的學習素材；關注學生的個性差異，有效地實施差異教學，使每名學生都得到發展”.

本文從巧用軸對稱化曲為直求最值問題入手，在挖掘課本教育資源、注重培養學生知識遷移能力方面作一些嘗試與探索，與大家共同交流.

一、課本原型（人教版八年級下冊數學教科書42頁）

探究：

圖1

要在燃氣管道m上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮供氣，泵站建在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

（1）若點A，B在直線m異側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：直接連接AB，與直線m交點就是所求點P，此時AB=AP+PB.

（2）若點A，B在直線m同側，在直線M上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線M的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值.

引申：（3）若點A，B在直線m異側，在直線m上找一點P，使AP-BP的值最大，做法如下：作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP-BP的值最大.

在解決這個問題中，通過軸對稱，將管道同側的一個點映射到另一側，而不改變路徑的總長度，利用“兩點之間，線段最短”化曲為直使問題得到解決.利用此數學模型能夠將一類最值問題化難為易.

二、應用延伸

圖2

例1（2014·莆田）如圖2，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值是27.

本題屬于模型第二種情況：點B，E在直線AC的同一側.利用菱形關于對角線AC對稱，顯然點B關于直線AC的對稱點就是點D.連接DB，DE，設DE交AC于M，連接MB，DF.易證只有點F運動到點M時，EF+BF取最小值，再根據菱形的性質、勾股定理求得最小值27.

圖3

例2（2013·莆田）如圖3，拋物線L1：y=x2+x-6與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，把拋物線L1向右平移n個單位長度（n>0）得到拋物線L2，拋物線L2與x軸交于E，F兩點（點E在點F的左側），與y軸交于點D，OD=OF，圖中的虛線為拋物線L2的對稱軸.

（1）求n的值.

（2）點P在拋物線L2的對稱軸上，當PF-PD的值最大時，求點P的坐標.

（3）若點Q在拋物線L2的對稱軸上，且使得AQ+DQ的值最小，那么在拋物線L1，拋物線L2上是否分別存在點M，點N，使得以PQ，MN為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由.

（1）略解：n=2既L2：y=x2-3x-4

（2）分析：點D，F在直線x=32的兩側，屬于第三種情況.

E-1，0，F4，0，對稱軸方程x=32，∵點F關于直線x=32對稱點即為點E，連接ED的直線與直線x=32的交點即為所求點P32，-10.此時PF-PD的最大值就是ED=（-1）2+（-4）2=17.

（3）分析：點D，A在直線x=32的同一側，屬于第二種情況.

A-3，0關于直線x=32對稱點A，6，0連接A，D與直線x=32的交點即為所求Q32，-3.

在拋物線L1，拋物線L2上分別存在點M，點N，使得以PQ，MN為邊的四邊形是平行四邊形.設Ma，b，則Na，b+7或Na，b-7.

b=a2+a-6，b+7=a2-3a-4或b=a2+a-6，b-7=a2-3a-4.

解得a=-54，b=-9116或a=94，b=2116.

M-54，-9116，N-54，2116或M94，2116，N94，-9116.

分析解決本道題的關鍵在于P，Q兩點坐標的確定，充分利用探究所得結論，利用軸對稱知識輕而易舉的求出兩點坐標從而順利解決了本題.

要創造性地使用教材，積極開發、利用各種教育資源為學生提供豐富多彩的學習素材，在此基礎上建立數學模型，學以致用，激發學生學習興趣，提高學生解決問題能力.

【參考文獻】

[1]吳水文.回歸基礎，用好教材——數學高考題來源引發的幾點教學及復習思考[J]..福建中學數學，2015（1）.

[2]潘龍生.有思·有行！有味——一節探究課的教學實踐與思考[J].福建中學數學，2015（1）.