自我設問巧架“橋梁”

張杰

數學學習需要研究解題的思路，更需要掌握科學的研究方法。學會自我設問，將數學問題分解成若干個子問題，驅動自己的思路拓寬和思維發展，是一種行之有效的學習方法。從解題思路來說，要善于架設橋梁，如架設連接幾個已知條件之間的橋梁、架設未知與已知之間的橋梁。這里以解直角三角形中兩個問題的探究為例，和大家聊聊自我設問的探究方法、巧架橋梁的解題思路。

例1 （蘇科版數學教材九年級下冊第110頁例3）如圖1，在△ABC 中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°，求AB。

【自我設問】我們可以從以下幾個方面給自己提出問題：

第一，從哪個地方入手？△ABC 不是直角三角形，但已知兩角和一邊的三角形是確定的，換言之，所有未知的邊和角都可求，但現有的手段就是解直角三角形，故設法作垂線構造直角三角形，達到“化斜為直”的目的。如圖1，過點C 作CD⊥AB 得到兩個直角三角形△ACD 和△BCD。

第二，從邊入手考慮有何發現？顯然，連接△ADC 和△BDC 的橋梁是公共邊CD。

第三，出現兩個直角三角形后可直接解決什么問題？

在Rt△ADC 中，AC=8、∠A=30°已知，其他元素都可求，如∠ACD=60°，CD=4，AD=4 3。

第四，求AB 的突破口在哪里？在Rt△BDC 中，∠B=45°已知，還差一條邊。這條邊非CD 莫屬，至此，CD 邊“登場”。

【巧架橋梁】

許多求圖形線段長度和角的度數的問題都能歸結到解直角三角形。學習了“解直角三角形”以后，同學們都知道，在一個直角三角形中，除直角外的五個元素中，至少知道兩個元素，其中至少一個元素是邊，即已知一邊一角或兩邊，就能求出其他元素，這個過程就叫作解直角三角形。有時，問題中的直角三角形可能不止一個，這就需要研究問題中幾個直角三角形邊與邊、邊與角的關系，并以這些關系作為“橋梁”連接幾個三角形，從而使問題得以解決。

由此可見，解題的關鍵是抓住這兩個直角三角形的公共邊CD，它是連接兩個直角三角形的橋梁。

例2 如圖2，水庫堤壩的橫截面成梯形ABCD，DC∥AB，背水坡AD 的坡角為45°，坡長為3 2m，壩頂寬DC=2m，壩底寬AB=9m。求迎水坡BC 的坡度i。

【自我設問】

第一，由梯形ABCD 想到什么？

第二，由“AD 的坡角為45°，坡長為3 2m”能得到什么？

第三，求迎水坡BC 的坡度i 需要求哪些量？

請同學們自主回答設問的問題。

【巧架橋梁】

我們知道，坡度=鉛垂高度∶水平寬度，要得到鉛垂高度和水平寬度，自然聯想到作CE⊥AB，將求坡度轉化為求CE 和EB 長的問題。從條件“AD 的坡角為45°，坡長為3 2m”應該想到過點D作DF⊥AB，這樣將梯形分割成矩形DCEF 和兩個直角三角形（Rt△AFD 和Rt△BEC），這兩個直角三角形有一組邊相等，這樣就架設了溝通Rt△AFD 和Rt△BEC 的橋梁。抓住梯形中相等的高這個橋梁，問題解決可謂不費吹灰之力。請同學們自主完成解答過程。

縱觀這兩個例題，最后都轉化為解直角三角形。所以，我們以后無論遇到幾個這樣的直角三角形，只要緊扣這些直角三角形邊之間的關系，學會自我設問，巧妙架設橋梁，解題思路便信手拈來。

（作者單位：江蘇省泰興市濟川初級中學）