任爾東西南北風，立根原在教材中

許小玲

基于銳角三角函數來解決實際問題，因其能考查數學抽象與建模能力、數學分析與推理能力、數學運算與反思能力而備受命題者的關注與青睞。此類問題源于現實生活，背景與形式可謂千變萬化，但仔細研究發現：無論問題如何變化，其基本圖形、解題思路、思想方法均源自教材，可以引用清代畫家鄭板橋的詩句并改編成“任爾東西南北風，立根原在教材中”。不妨先來看這樣一道中考題：

例1 （2020·河南）位于河南省登封市境內的元代觀星臺，是中國現存最早的天文臺，也是世界文化遺產之一。某校數學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度。如圖1所示，他們在地面一條水平步道MP 上架設測角儀，先在點M 處測得觀星臺最高點A 的仰角為22°，然后沿MP 方向前進16m到達點N 處，測得點A 的仰角為45°。測角儀的高度為1.6m。求觀星臺最高點A 距離地面的高度。（結果精確到0.1m。參考數據：sin22° ≈0.37，cos22° ≈0.93，tan22° ≈0.40，2≈1.41）

【略解】過點A 作AD⊥PM 于點D，延長BC交AD 于點E，如圖2，易得BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m。設AE=x，在Rt△ACE 中，因為∠ACE=45°，所以CE=AE=x，在Rt△AEB 中，tan ∠ABE=

，所以BE=

，而BE-CE=BC，所以

，所以x≈10.7（m），故AD=10.7+1.6=12.3（m）。

該題是通過作垂線，將實際測量問題轉化為解直角三角形問題。圖形的特點是：兩個直角三角形有一條公共的直角邊，且這兩個三角形在公共直角邊的同側。這樣的圖形、這樣的思路雖然出現在河南中考試卷中，但是在我們的數學課本里也能找到源頭。

例2 （蘇科版數學教材九年級下冊第115頁問題3）為了測量停留在空中的氣球高度，小明在某處利用測角儀測得氣球的仰角（從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角）為27°，然后他沿正對氣球方向前進了50m，再次測得氣球的仰角為40°。如果測角儀高度忽略不計，那么氣球的高度是多少？（精確到0.1m）

例3 （蘇科版數學教材九年級下冊第116頁練習1）飛機沿水平直線飛行時，測得正前方停泊在海面上某船只的俯角（從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角）為15°，面向船只方向繼續飛行10km后測得該船只的俯角為52°。求飛機飛行的高度。（精確到1m）

仔細觀察3個例題，我們不難發現有四個共同特點：

一是都需要數學建模。三個問題背景不同，但考查本質是一樣的，都需要將實際問題轉化為數學問題，即運用建立模型的思想來解決問題，構建適當的數學關系（如公式、函數、方程或基本圖形）使現實的問題情境轉化為易于解決的數學模型。用相關知識求解數學模型（解模），其流程圖如圖所示。

二是圖形基本相同。它們都是由具有公共直角邊的兩個直角三角形組成。

三是構圖方式相同。都需要通過作輔助線（垂線）構造直角三角形，再運用解直角三角形的知識。

四是解題方法相同。由于線段長度不能直接求出，故運用間接的方法，即設立輔助未知數，利用公共直角邊為相等關系，建立方程解決問題。如例2中，設CD=x，利用三角函數表示出BD=

和AD=

，再根據AD-BD=AB 列出關于x 的方程。同樣，在例3中，設CD=x，利用三角函數表示出BC=tan52° 和AC=tan15°，再根據AC-BC=AB 列出關于x 的方程。

所以，數學學習的關鍵是：從教材中來，回到教材中去。

（作者單位：江蘇省泰興市濟川初級中學）