嚴謹答題 深刻反思 有錯必糾

戴回娟

不知同學們是否有這樣的感受：“銳角三角函數”這一章在學習時并不感到困難，但到了做作業或考試時卻經常出錯。這方面的錯誤類型較多，下面列舉部分典型錯誤，以期同學們引以為戒。

一、忽視范圍致多解

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的對邊分別是a、b，且滿足a2-ab-b2=0，求tanA。

【錯解】a2-ab-b2=0，所以，所以

。所以

或

。

【錯因分析】這個解答錯在哪里呢？一般來說，求出多解時要考慮是否都符合條件。顯然，tanA不能為

。造成這一錯誤的原因是忽略了銳角三角函數值的范圍。銳角三角函數值是直角三角形邊的比值，所以sinA>O、cosA >O、tanA >O。更需要注意的是：當A為銳角時，O

【正解】求出

后，因為tanA>0，所以tanA=

。

因此，無論是在解題過程中還是解題結束后，我們都需要反思：這樣的過程正確嗎？概念運用正確嗎？結果符合題干要求嗎？符合實際意義嗎？我們只有養成反思的習慣，才能提高自身的思維品質。

二、毫無根據地想當然

例2 如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC于點D，且AD=4，AC=2

，求sin∠CAB的值。

【錯解】Rt△ACB中，因為AD=4，AC=2

，所以

=2，

。因為AD平分∠CAB，所以

。

【錯因分析】這是錯誤地以為由角成倍數關系可以推出對應的三角函數值也成倍數關系，即由∠CAB=2∠CAD想當然地得到sin∠CAB=2sin∠CAD。這個判斷正確嗎？我們不妨看一個特例：60°=2×30°，而sin60°=

，很明顯，sin60°≠2sin30°。其

實我們可以給出二倍角正弦關系的幾何證明：如圖2，△ABC內接于⊙0，其中AB為⊙0的直徑，連接OC，作CDIAB，D為垂足，設∠A=a，則∠BOC=2a，則sin2a

由此可見sin2a≠2sina。產生這個錯誤的原因是解題無依據，全憑自己的想象。

【正解】Rt△ABC中，因為AD=4， AC=

，所以

，所以

，所以∠CA D=30°。因為AD平分∠CAB，所以∠CA B=60°，所以

。

數學是邏輯的科學，由數學的定義、公理、定理、公式、定律組成嚴密的邏輯體系。解題要言之有理、言而有據，形成理性精神。

三、考慮不周致漏解

例3 在△ABC中，AB=

，AC=13，

，則BC邊的長為 。

【錯解】17。

【錯因分析】我們來看滿足AB=12

、AC=13的△ABC是什么形狀。由

得∠B=45°，如圖3，作∠B=45°，在∠B一邊上截取AB=

，過點A作另一邊的垂線，D為垂足，可得△ABD為等腰直角三角形，從而AD=12。以A為圓心，13為半徑畫弧交直線BD于點C，由于AD

【正解】由上可知：在Rt△ADC中，CD=

。當點C在點D左側時，BC=12-5=7;當點C在點D右側時，BC=12+5 =17。綜上所述，BC=7或17。

數學解題講究嚴謹。由于考慮不周密、不嚴謹，我們在遇到圖形問題時會因為位置不全而導致漏解，遇到代數問題時會因為沒有排除而導致多解。所以解題時我們一定要以嚴謹的態度、踏實的精神，仔細思考、認真反思，確保解題過程完整、結果完美。 （作者單位：江蘇省泰興市實驗初級中學）