利用“K字型”模型求點坐標

王春龍

一、“K字型”模型再認識

如圖1，點B、E、C三點在同一條直線上，AB⊥BE，DC⊥CE，AE⊥ED，易證△ABE-△ECD。只要兩個三角形的相似比及其中一個三角形的一邊長已知，就可求出三角形所有邊的長。

若將此圖形置于平面直角坐標系中，且點E坐標已知（定點），那么通過相似求得EC、CD后，即可通過平移點E的坐標求得點D的坐標。

一般情況下，兩個三角形的相似比不會直接給出，如圖2，連接AD，若∠DAE是一個大小確定的角（定角），則根據tan∠DAE=DE/AE=k就可以確定△ECD和△ABE的相似比。如果AE和點E的坐標也已知，那么類比圖1的方法也可求得點D的坐標。

因此，我們可以利用這個模型求點D的坐標。如果題目只告訴我們∠DAE的大小和該角一邊上的點E的坐標，那么我們需要構造如圖2這樣的“K字型”解決問題。

模型建立：如圖3，當一角確定（角度或該角的三角函數值確定）時，在該角的一邊（由兩個定點組成的邊）上找到一已知坐標的點（除角的頂點外的另一個定點），過已知點作垂線與角的另一邊相交，可構造直角三角形（這個直角三角形的形狀和大小是確定的），然后過直角頂點所在直線構造“K字型”即可確定點D的坐標

二、利用“K字型”模型求點坐標

例1 （2019·江蘇常州二模）已知，如圖4，二次函數y=-x2+2x+3的圖像與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點D為該拋物線的頂點，點E（2，3）是拋物線上一點，連接AD、AE。若在該拋物線上有一點M，使得∠DA E=∠MCB。（1）略;（2）略;（3）求點M的坐標。

【分析】由（1）（2）的求解可知tan ∠DA E=1/3;第（3）問因為∠DA E=∠MCB，所以∠MCB是一個定角，又因為BC是一條定邊，所以可套用模型，過定邊BC上的點B作BF⊥BC，交CM的延長線于點F，然后以直角頂點B所在直線構造“K字型”求解。

【略解】分類討論：①若M在BC上方（如圖5）時，∠M1 CB=∠DAE，作BF⊥BC交CM1的延長線于點F，過點F作FG⊥BG于點Go由△COB-△BGF得BG=FG=1。由B（3，0）平移得F（4，1），所以直線CF的表達式為y=- 1/2x+3，得交點M1（5/2，7/4）。②若M在BC下方（如圖6）時，∠M2CB=∠DAE，作BF⊥BC交CM2于點、F，作FH⊥BH，CQ⊥BQ，垂足為H、Q。同理可得M2（4，-5）。

【點評】過定角一邊上的定點作垂線構造直角三角形是正確建立“K字型”模型的關鍵步驟。

例2 （2020·江蘇常州二模）已知二次函數y=ax2+bx+6的圖像開口向下（如圖7），與x軸交于點A（-6，0）和點B（2，0），與y軸交于點C。（1）略;（2）略;（3）如圖8，該函數圖像的頂點為D，在該函數圖像上是否存在點E，使得∠EAB=2∠DA C？若存在，請直接寫出點E的坐標;若不存在，請說明理由。

【分析】要使得∠EAB=2∠DAC，就要先確定∠EAB的大小。可以通過作點D關于AC的對稱點構造2倍角，然后構造Rt△DHA確定tan∠DAH的大小。當∠EAB大小確定，在∠EAB的一邊AB上過定點B作垂線即可解決問題。

【略解】作點D關于AC的對稱點D'（如圖9），連接AD'，作DH⊥AD'于點H。計算發現△DAC是一個直角三角形，然后在Rt△DAH中可得tan ∠DAH=3/4。由于∠EAB=2∠DAC，∠DA H=2∠DAC，所以∠EAB=∠DAH。分類討論（如圖10）：①過點B作BF⊥AB交AE1于點F，易得F（2，6），直線AF的表達式為Y=3/4x+9/2，得交點E1（1/2，39/8）;②過點B作BG⊥AB交AE2于點G，同理可得E2（7/2，-57/8）。

【點評】由于定角的一邊在坐標軸上，所以此題的“K字型”模型簡化成了一個直角三角形。此題求解的關鍵是構造得到2∠DAC的角，然后∠EAB才能符合模型中的定角原則。

例3 （2020·江蘇常州）如圖11，二次函數y=x2+bx+3的圖像與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，拋物線過點C（l，0），且頂點為D，連接AC、BC、BD、CD。（1）略;（2）點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1，直線PC交直線BD于點Q，若∠CQD=∠ACB，求點P的坐標;（3）略。

【分析】此題確定tan ∠ACB=2的方法和例2相同，但定角∠CQD的兩邊都不是定邊，此時不符合模型所需的條件。因此我們可構造平行線轉化角。如圖12，過點C作CE∥BD交AB于點E，得到∠ECQ=∠CQD，而∠ECQ的一邊CE是定邊，此時構造模型解題。

【略解】①若Q在點D上方（如圖12），過點C作CE∥BD交AB于點E，易求得點E（ 2.5，3），然后利用“K字型”相似求得點F（ 8.5，0），發現點F在x軸上，即點P是拋物線與x軸的交點，易得點P（3，O）;②若Q在點D下方（如圖13），過點C作CE∥BD交y軸于點E，同理可得點F（4，-4），所以直線CF的表達式為y=一4/3x+4/3，最后求得交點P（5/3，-8/9）。

【點評】解決此題的關鍵是通過平行轉化角，使得角的一邊滿足模型中的定邊這一條件。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區茅麓中學）